Номер 1296, страница 284 - гдз по алгебре 8 класс учебник Макарычев, Миндюк

Задачи повышенной трудности - номер 1296, страница 284.

1296. Из города М в город N вышел автобус со скоростью 40 км/ч. Через четверть часа он встретил ехавшую из города N легковую автомашину. Эта машина доехала до города М, через 15 мин выехала обратно в город N и обогнала автобус в 20 км от города N. Найдите расстояние между городами М и N, если скорость легковой автомашины 50 км/ч.

1) $\frac{1}{4}·40=10\backslash frac\{1\}\{4\}\; \backslash cdot\; 40=10$ (км) - расстояние от М до места встречи автобуса и легковой автомашины

2) Пусть x ч - время, потраченное машиной на путь из N до места встречи, Тогда (50х+10)км - расстояние от M до N

3) $\frac{10}{50}\text{ч}=\frac{1}{5}\text{ч}$ - время, потраченное машиной от места встречи до города M

4) $\frac{15}{60}\text{ч}=\frac{1}{4}\text{ч}$ - время пребывания машины в городе М

5) $\frac{50x+10-20}{50}\text{ч}=\frac{50x-10}{50}\text{ч}$ - время, потраченное машиной на путь из города M до места обгона автобуса

За это время автобус потратил $\frac{50x+10-10-20}{40}\text{ч}=\frac{50x-20}{40}\text{ч}$

Составим уравнение

$$\begin{gathered} \frac{1}{5}+\frac{1}{4}+\frac{50x-10}{50}=\frac{50x-20}{40} \\ \frac{1}{5}+\frac{1}{4}+x-\frac{1}{5}=\frac{5}{4}x-\frac{1}{2} \\ \frac{1}{4}+\frac{1}{2}=\frac{5}{4}x-x \\ \frac{1}{4}x=\frac{3}{4} \\ x=\frac{3}{4}:\frac{1}{4} \\ x=3 \end{gathered}$$

6) s=50x+10=50*3+10=160 (км)

Ответ: 160 км

Для решения задачи введем следующие обозначения: $S$ – искомое расстояние между городами $M$ и $N$ (в км), $v_б = 40$ км/ч – скорость автобуса, $v_л = 50$ км/ч – скорость легковой машины.

Решение можно разбить на несколько логических этапов.

1. Определение параметров первой встречи

Автобус выехал из города $M$ и через четверть часа ($t_1 = 15$ мин $= 0.25$ ч) встретил легковую машину. За это время автобус проехал расстояние:

$S_1 = v_б \cdot t_1 = 40 \text{ км/ч} \cdot 0.25 \text{ ч} = 10 \text{ км}$.

Таким образом, первая встреча произошла в точке $P_1$, находящейся на расстоянии 10 км от города $M$.

2. Анализ движения от первой встречи до обгона

Рассмотрим промежуток времени от момента первой встречи (в точке $P_1$) до момента, когда легковая машина обогнала автобус (в точке $P_2$). Точка обгона $P_2$ находится в 20 км от города $N$, то есть на расстоянии $S - 20$ км от города $M$.

Движение автобуса:

За этот промежуток времени автобус проехал от точки $P_1$ (10 км от $M$) до точки $P_2$ ($S - 20$ км от $M$). Расстояние, которое он преодолел, равно:

$S_{автобус} = (S - 20) - 10 = S - 30 \text{ км}$.

Время, затраченное автобусом на этот путь:

$t_{автобус} = \frac{S_{автобус}}{v_б} = \frac{S - 30}{40} \text{ ч}$.

Движение легковой машины:

За тот же промежуток времени легковая машина сначала доехала от точки встречи $P_1$ до города $M$. Расстояние равно 10 км. Время в пути составило: $t_{л1} = \frac{10}{v_л} = \frac{10}{50} = 0.2$ ч.

Затем она стояла в городе $M$ 15 минут, что составляет $t_{стоянка} = 0.25$ ч.

После этого она выехала из $M$ в $N$ и доехала до точки обгона $P_2$. Расстояние равно $S - 20$ км. Время в пути составило: $t_{л2} = \frac{S - 20}{v_л} = \frac{S - 20}{50}$ ч.

Суммарное время, затраченное легковой машиной от первой встречи до обгона, равно:

$t_{машина} = t_{л1} + t_{стоянка} + t_{л2} = 0.2 + 0.25 + \frac{S - 20}{50} = 0.45 + \frac{S - 20}{50} \text{ ч}$.

3. Составление и решение уравнения

Так как промежуток времени от первой встречи до обгона для автобуса и легковой машины один и тот же, мы можем приравнять найденные выражения для времени:

$t_{автобус} = t_{машина}$

$\frac{S - 30}{40} = 0.45 + \frac{S - 20}{50}$

Перенесем члены с переменной $S$ в одну сторону:

$\frac{S - 30}{40} - \frac{S - 20}{50} = 0.45$

Приведем дроби к общему знаменателю 200:

$\frac{5(S - 30)}{200} - \frac{4(S - 20)}{200} = 0.45$

$\frac{5S - 150 - (4S - 80)}{200} = 0.45$

$\frac{5S - 150 - 4S + 80}{200} = 0.45$

$\frac{S - 70}{200} = 0.45$

Теперь найдем $S$:

$S - 70 = 0.45 \cdot 200$

$S - 70 = 90$

$S = 90 + 70$

$S = 160$

Таким образом, расстояние между городами $M$ и $N$ равно 160 км.

Ответ: 160 км.