Страница 284 - гдз по алгебре 8 класс учебник Макарычев, Миндюк

1292. Сумма квадратов корней уравнения х² + рх + 1 = 0 равна 254. Найдите коэффициент р.

$$\begin{gathered} x^2+px+1=0 \\ {x}_1^2+x_2^2=254 \\ {\left(x_1+x_2\right)}^2-2x_1{x}_2=254 \end{gathered}$$
${\left(-p\right)}^2-2·1=254$, т.к. по теореме Виета $x_1+x_2=-p, x_1{x}_2=1$
$$\begin{gathered} p^2-2=254 \\ {p}^2=256 \\ p=16\text{ или }p=-16 \end{gathered}$$

Ответ: -16 или 16

Пусть $x_1$ и $x_2$ — корни квадратного уравнения $x^2 + px + 1 = 0$.

Согласно условию задачи, сумма квадратов этих корней равна 254. Это можно записать в виде уравнения:
$x_1^2 + x_2^2 = 254$.

Для решения задачи воспользуемся теоремой Виета. Для приведенного квадратного уравнения вида $x^2 + Bx + C = 0$ справедливы следующие соотношения для корней:
Сумма корней: $x_1 + x_2 = -B$
Произведение корней: $x_1 \cdot x_2 = C$

Применительно к нашему уравнению, где $B=p$ и $C=1$, получаем:
$x_1 + x_2 = -p$
$x_1 \cdot x_2 = 1$

Теперь выразим сумму квадратов корней через их сумму и произведение. Для этого воспользуемся формулой квадрата суммы: $(x_1 + x_2)^2 = x_1^2 + 2x_1x_2 + x_2^2$.
Отсюда следует:
$x_1^2 + x_2^2 = (x_1 + x_2)^2 - 2x_1x_2$.

Подставим в это выражение известные нам значения из условия и из теоремы Виета:
$254 = (-p)^2 - 2 \cdot 1$.

Теперь решим полученное уравнение относительно $p$:
$254 = p^2 - 2$
$p^2 = 254 + 2$
$p^2 = 256$
Извлекая квадратный корень из обеих частей уравнения, получаем два возможных значения для $p$:
$p = \pm\sqrt{256}$
$p = \pm 16$.

Необходимо также убедиться, что при найденных значениях $p$ уравнение имеет действительные корни. Условие существования действительных корней — неотрицательность дискриминанта ($D \ge 0$).
$D = b^2 - 4ac = p^2 - 4 \cdot 1 \cdot 1 = p^2 - 4$.
Так как мы нашли, что $p^2 = 256$, то $D = 256 - 4 = 252$.
Поскольку $D = 252 > 0$, уравнение имеет два различных действительных корня при $p = 16$ и при $p = -16$. Следовательно, оба значения подходят.

Ответ: $p = \pm 16$.

1293. При каком значении а сумма квадратов корней уравнения х² + (а – 1)х – 2а = 0 равна 9?

$$\begin{gathered} x^2+\left(a-1\right)x-2a=0x^2+(a-1)x\; -\; 2a=0 \\ {x}_1^2+x_2^2=9x\_1^2+x\_2^2=9 \end{gathered}$$

По теореме Виета

$$\begin{gathered} x_1+x_2=-\left(a-1\right)=1-a \\ x_1{x}_2=-2a \\ {x}_1^2+x_2^2={\left(x_1+x_2\right)}^2-2x_1{x}_2=9 \\ {\left(1-a\right)}^2-2\left(-2a\right)=9 \\ 1-2a+a^2+4a-9=0 \\ {a}^2+2a-8=0 \\ D=2^2-4·1·\left(-8\right)=4+32=36 \\ a=\frac{-2\pm \sqrt{36}}{2}; a=\frac{-2\pm 6}{2} \\ {a}_1=2\text{ или }{a}_2=-4 \end{gathered}$$

Если a=2, то $x^2+x-4=0$

$D=1^2-4·1·\left(-4\right)=1+16=17>0$ уравнение имеет два корня

Если a=-4, то $x^2-5x+8=0$

$D={\left(-5\right)}^2-4·1·8=25-32<0$ уравнение не имеет корней

Ответ: при a=2

Решение

Дано квадратное уравнение $x^2 + (a - 1)x - 2a = 0$. Для того чтобы уравнение имело действительные корни, его дискриминант $D$ должен быть неотрицательным ($D \ge 0$). Вычислим дискриминант:
$D = (a - 1)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-2a) = a^2 - 2a + 1 + 8a = a^2 + 6a + 1$.
Следовательно, для существования корней должно выполняться неравенство $a^2 + 6a + 1 \ge 0$.

Пусть $x_1$ и $x_2$ — корни данного уравнения. Согласно теореме Виета:
Сумма корней: $x_1 + x_2 = -(a - 1) = 1 - a$.
Произведение корней: $x_1 \cdot x_2 = -2a$.

По условию задачи, сумма квадратов корней равна 9, то есть $x_1^2 + x_2^2 = 9$. Выразим сумму квадратов корней через их сумму и произведение:
$x_1^2 + x_2^2 = (x_1 + x_2)^2 - 2x_1x_2$.

Теперь подставим выражения из теоремы Виета и заданное значение в эту формулу:
$9 = (1 - a)^2 - 2(-2a)$
$9 = 1 - 2a + a^2 + 4a$
$9 = a^2 + 2a + 1$
Приведем уравнение к стандартному виду:
$a^2 + 2a - 8 = 0$.

Решим полученное квадратное уравнение относительно $a$. Его корни можно найти, например, по теореме Виета для этого уравнения или разложив на множители: $(a + 4)(a - 2) = 0$.
Отсюда получаем два возможных значения для $a$: $a_1 = -4$ и $a_2 = 2$.

Теперь необходимо проверить, удовлетворяют ли найденные значения $a$ условию существования корней исходного уравнения, то есть неравенству $D = a^2 + 6a + 1 \ge 0$.
1. Проверим $a = -4$:
$D = (-4)^2 + 6(-4) + 1 = 16 - 24 + 1 = -7$.
Поскольку $D < 0$, при $a = -4$ исходное уравнение не имеет действительных корней, следовательно, это значение не является решением.
2. Проверим $a = 2$:
$D = (2)^2 + 6(2) + 1 = 4 + 12 + 1 = 17$.
Поскольку $D > 0$, при $a = 2$ уравнение имеет два действительных корня, значит, это значение нам подходит.

Таким образом, единственное значение параметра, удовлетворяющее условию задачи, это $a=2$.
Ответ: 2.

1294. Докажите, что при любом натуральном n, большем 2, корни уравнения x +1x = n — иррациональные числа.

При n>2, n∈N,

$$\begin{gathered} x+\frac{1}{x}=n /·x\ne 0 \\ {x}^2+1=nx \\ {x}^2-nx+1=0 \\ D={\left(-n\right)}^2-4·1·1=n^2-4 \end{gathered}$$

Если , корней нет,

если $n^2-4=0n^2-4=0$, один корень
$$\begin{gathered} n^2=4 \\ n=2\in N, n=-2\notin N, \end{gathered}$$

если $n^2-4>0n^2-4>0$, два корня

$x=\frac{n\pm \sqrt{n^2-4}}{2}x=\backslash frac\{n\; \backslash pm\; \backslash sqrt\{n^2-4\}\}\{2\}$ - иррациональные числа при n>2

Для доказательства утверждения преобразуем исходное уравнение $x + \frac{1}{x} = n$. Область допустимых значений переменной $x$ — все числа, кроме нуля ($x \neq 0$). Умножим обе части уравнения на $x$:

$x^2 + 1 = nx$

Перенеся все слагаемые в одну сторону, получим стандартное квадратное уравнение:

$x^2 - nx + 1 = 0$

Для нахождения корней этого уравнения воспользуемся формулой корней квадратного уравнения. Дискриминант $D$ равен:

$D = (-n)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 1 = n^2 - 4$

Соответственно, корни уравнения:

$x_{1,2} = \frac{n \pm \sqrt{D}}{2} = \frac{n \pm \sqrt{n^2 - 4}}{2}$

Корни уравнения будут рациональными числами в том и только в том случае, если дискриминант $D = n^2 - 4$ является полным квадратом целого числа (так как $n$ — натуральное число). Докажем, что это невозможно при заданных условиях.

Докажем от противного. Предположим, что для некоторого натурального числа $n > 2$ выражение $n^2 - 4$ является полным квадратом. То есть, $n^2 - 4 = k^2$, где $k$ — некоторое неотрицательное целое число.

Перепишем равенство в виде $n^2 - k^2 = 4$ и разложим левую часть по формуле разности квадратов:

$(n - k)(n + k) = 4$

Так как $n$ — натуральное число, большее 2, и $k = \sqrt{n^2-4}$ — неотрицательное целое, то множители $(n-k)$ и $(n+k)$ являются целыми числами. Кроме того, $n^2 > n^2-4=k^2$, откуда $n>k$, следовательно $n-k$ — положительное целое число. Значит, оба множителя — натуральные числа, причем $n+k \ge n-k$.

Рассмотрим возможные варианты разложения числа 4 на два натуральных множителя:

1) $n - k = 1$ и $n + k = 4$. Сложив эти два уравнения, получаем $2n = 5$, откуда $n = 2.5$. Это значение не является натуральным, что противоречит условию задачи.

2) $n - k = 2$ и $n + k = 2$. Из этих уравнений следует, что $k=0$ и $n=2$. Это противоречит условию задачи, согласно которому $n > 2$.

Поскольку все возможные случаи приводят к противоречию, наше исходное предположение неверно. Следовательно, выражение $n^2 - 4$ не является полным квадратом ни для какого натурального числа $n > 2$.

Это означает, что $\sqrt{n^2 - 4}$ является иррациональным числом. Корни уравнения $x = \frac{n \pm \sqrt{n^2 - 4}}{2}$ являются результатом сложения или вычитания рационального числа ($n$) и иррационального ($\sqrt{n^2 - 4}$) с последующим делением на рациональное число (2). Результат таких операций всегда является иррациональным числом.

Таким образом, доказано, что при любом натуральном $n > 2$ корни уравнения являются иррациональными числами.

Ответ: Утверждение доказано. Корни уравнения сводятся к $x = \frac{n \pm \sqrt{n^2 - 4}}{2}$. Для любого натурального $n > 2$ дискриминант $n^2-4$ не является полным квадратом, поэтому $\sqrt{n^2 - 4}$ — иррациональное число. Это, в свою очередь, означает, что корни уравнения также являются иррациональными.

1295. Докажите, что функция y =x² + 22x + 2 + x² - 22x + 2, где - 2≤ x ≤ 2, линейная.

$y=\sqrt{x^2+2\sqrt{2}x+2}+\sqrt{x^2-2\sqrt{2}x+2},$ где $-\sqrt{2}\le x\le \sqrt{2}$

$$\begin{gathered} y=\sqrt{(x+\sqrt{2}{)}^2}+\sqrt{(x-\sqrt{2}{)}^2} \\ y=|x+\sqrt{2}|+|x-\sqrt{2}| \end{gathered}$$

Если $-\sqrt{2}\le x\le \sqrt{2}, \text{то} x+\sqrt{2}\ge 0, x-\sqrt{2}\le 0$

$$\begin{gathered} y=x+\sqrt{2}-(x-\sqrt{2}) \\ y=x+\sqrt{2}-x+\sqrt{2} \end{gathered}$$

$y=2\sqrt{2}$ - линейная функция

Для доказательства того, что заданная функция $y = \sqrt{x^2 + 2\sqrt{2}x + 2} + \sqrt{x^2 - 2\sqrt{2}x + 2}$ является линейной на промежутке $-\sqrt{2} \le x \le \sqrt{2}$, мы упростим ее выражение.

Сначала заметим, что выражения под знаками корня можно свернуть в полные квадраты, используя формулы квадрата суммы и квадрата разности $(a \pm b)^2 = a^2 \pm 2ab + b^2$.

Для первого подкоренного выражения: $x^2 + 2\sqrt{2}x + 2 = x^2 + 2 \cdot x \cdot \sqrt{2} + (\sqrt{2})^2 = (x + \sqrt{2})^2$.

Для второго подкоренного выражения: $x^2 - 2\sqrt{2}x + 2 = x^2 - 2 \cdot x \cdot \sqrt{2} + (\sqrt{2})^2 = (x - \sqrt{2})^2$.

Теперь исходная функция принимает вид:

$y = \sqrt{(x + \sqrt{2})^2} + \sqrt{(x - \sqrt{2})^2}$

Используя свойство арифметического квадратного корня $\sqrt{a^2} = |a|$, мы можем переписать функцию через модули:

$y = |x + \sqrt{2}| + |x - \sqrt{2}|$

Далее раскроем модули, учитывая заданный промежуток $-\sqrt{2} \le x \le \sqrt{2}$.

1. Оценим знак выражения в первом модуле. Так как по условию $x \ge -\sqrt{2}$, то $x + \sqrt{2} \ge 0$. Следовательно, $|x + \sqrt{2}| = x + \sqrt{2}$.

2. Оценим знак выражения во втором модуле. Так как по условию $x \le \sqrt{2}$, то $x - \sqrt{2} \le 0$. Следовательно, $|x - \sqrt{2}| = -(x - \sqrt{2}) = -x + \sqrt{2}$.

Подставим раскрытые модули в выражение для $y$:

$y = (x + \sqrt{2}) + (-x + \sqrt{2}) = x + \sqrt{2} - x + \sqrt{2} = 2\sqrt{2}$

Таким образом, на промежутке $-\sqrt{2} \le x \le \sqrt{2}$ функция тождественно равна константе $y = 2\sqrt{2}$. Функция вида $y = kx + b$ называется линейной. В нашем случае мы имеем $y = 0 \cdot x + 2\sqrt{2}$, где $k=0$ и $b=2\sqrt{2}$. Это соответствует определению линейной функции.

Ответ: На заданном промежутке функция упрощается до вида $y = 2\sqrt{2}$. Это уравнение является частным случаем линейной функции $y=kx+b$ (при $k=0$ и $b=2\sqrt{2}$), что и требовалось доказать.

1296. Из города М в город N вышел автобус со скоростью 40 км/ч. Через четверть часа он встретил ехавшую из города N легковую автомашину. Эта машина доехала до города М, через 15 мин выехала обратно в город N и обогнала автобус в 20 км от города N. Найдите расстояние между городами М и N, если скорость легковой автомашины 50 км/ч.

1) $\frac{1}{4}·40=10\backslash frac\{1\}\{4\}\; \backslash cdot\; 40=10$ (км) - расстояние от М до места встречи автобуса и легковой автомашины

2) Пусть x ч - время, потраченное машиной на путь из N до места встречи, Тогда (50х+10)км - расстояние от M до N

3) $\frac{10}{50}\text{ч}=\frac{1}{5}\text{ч}$ - время, потраченное машиной от места встречи до города M

4) $\frac{15}{60}\text{ч}=\frac{1}{4}\text{ч}$ - время пребывания машины в городе М

5) $\frac{50x+10-20}{50}\text{ч}=\frac{50x-10}{50}\text{ч}$ - время, потраченное машиной на путь из города M до места обгона автобуса

За это время автобус потратил $\frac{50x+10-10-20}{40}\text{ч}=\frac{50x-20}{40}\text{ч}$

Составим уравнение

$$\begin{gathered} \frac{1}{5}+\frac{1}{4}+\frac{50x-10}{50}=\frac{50x-20}{40} \\ \frac{1}{5}+\frac{1}{4}+x-\frac{1}{5}=\frac{5}{4}x-\frac{1}{2} \\ \frac{1}{4}+\frac{1}{2}=\frac{5}{4}x-x \\ \frac{1}{4}x=\frac{3}{4} \\ x=\frac{3}{4}:\frac{1}{4} \\ x=3 \end{gathered}$$

6) s=50x+10=50*3+10=160 (км)

Ответ: 160 км

Для решения задачи введем следующие обозначения: $S$ – искомое расстояние между городами $M$ и $N$ (в км), $v_б = 40$ км/ч – скорость автобуса, $v_л = 50$ км/ч – скорость легковой машины.

Решение можно разбить на несколько логических этапов.

1. Определение параметров первой встречи

Автобус выехал из города $M$ и через четверть часа ($t_1 = 15$ мин $= 0.25$ ч) встретил легковую машину. За это время автобус проехал расстояние:

$S_1 = v_б \cdot t_1 = 40 \text{ км/ч} \cdot 0.25 \text{ ч} = 10 \text{ км}$.

Таким образом, первая встреча произошла в точке $P_1$, находящейся на расстоянии 10 км от города $M$.

2. Анализ движения от первой встречи до обгона

Рассмотрим промежуток времени от момента первой встречи (в точке $P_1$) до момента, когда легковая машина обогнала автобус (в точке $P_2$). Точка обгона $P_2$ находится в 20 км от города $N$, то есть на расстоянии $S - 20$ км от города $M$.

Движение автобуса:

За этот промежуток времени автобус проехал от точки $P_1$ (10 км от $M$) до точки $P_2$ ($S - 20$ км от $M$). Расстояние, которое он преодолел, равно:

$S_{автобус} = (S - 20) - 10 = S - 30 \text{ км}$.

Время, затраченное автобусом на этот путь:

$t_{автобус} = \frac{S_{автобус}}{v_б} = \frac{S - 30}{40} \text{ ч}$.

Движение легковой машины:

За тот же промежуток времени легковая машина сначала доехала от точки встречи $P_1$ до города $M$. Расстояние равно 10 км. Время в пути составило: $t_{л1} = \frac{10}{v_л} = \frac{10}{50} = 0.2$ ч.

Затем она стояла в городе $M$ 15 минут, что составляет $t_{стоянка} = 0.25$ ч.

После этого она выехала из $M$ в $N$ и доехала до точки обгона $P_2$. Расстояние равно $S - 20$ км. Время в пути составило: $t_{л2} = \frac{S - 20}{v_л} = \frac{S - 20}{50}$ ч.

Суммарное время, затраченное легковой машиной от первой встречи до обгона, равно:

$t_{машина} = t_{л1} + t_{стоянка} + t_{л2} = 0.2 + 0.25 + \frac{S - 20}{50} = 0.45 + \frac{S - 20}{50} \text{ ч}$.

3. Составление и решение уравнения

Так как промежуток времени от первой встречи до обгона для автобуса и легковой машины один и тот же, мы можем приравнять найденные выражения для времени:

$t_{автобус} = t_{машина}$

$\frac{S - 30}{40} = 0.45 + \frac{S - 20}{50}$

Перенесем члены с переменной $S$ в одну сторону:

$\frac{S - 30}{40} - \frac{S - 20}{50} = 0.45$

Приведем дроби к общему знаменателю 200:

$\frac{5(S - 30)}{200} - \frac{4(S - 20)}{200} = 0.45$

$\frac{5S - 150 - (4S - 80)}{200} = 0.45$

$\frac{5S - 150 - 4S + 80}{200} = 0.45$

$\frac{S - 70}{200} = 0.45$

Теперь найдем $S$:

$S - 70 = 0.45 \cdot 200$

$S - 70 = 90$

$S = 90 + 70$

$S = 160$

Таким образом, расстояние между городами $M$ и $N$ равно 160 км.

Ответ: 160 км.

1297. Два мальчика стартовали по беговой дорожке длиной 50 м с интервалом 1 с. Мальчик, стартовавший вторым, догнал первого в 10 м от линии старта, добежал до конца дорожки и побежал обратно с той же скоростью. На каком расстоянии от конца дорожки он встретил первого мальчика, если известно, что эта встреча произошла через 10 с после старта первого мальчика?

Пусть х м/с - скорость первого мальчика, y м/с - скорость второго мальчика, тогда $\frac{10}{x}\text{с}$ - время, потраченное первым мальчиком на расстояние 10м, а $\frac{10}{y}\text{с}$ - время, потраченное вторым мальчиком на расстояние 10м. Зная, что первый мальчик потратил на это расстояние на 1с больше, чем второй, получим уравнение $\frac{10}{x}-\frac{10}{y}=1 \left(1\right)$

Вторая встреча произошла через 10c после старта первого мальчика и, значит, через 9с после старта второго мальчика.

Тогда 10х м пробежал первый мальчик и 9у м - второй. Зная, что второй мальчик пробежал всю дистанцию и побежал обратно, расстояние, которое они пробежали вдвоём равно 2*50=100м. Составим уравнение $10x+9y=100 \left(2\right)$

Получим систему уравнений

1) $\left\{\begin{array}{l}\frac{10}{x}-\frac{10}{y}=1 /xy\\ 10x+9y=100\end{array}\right.\left\{\begin{array}{l}10y-10x=xy\\ 10x+9y=100\end{array}\right.$$\left\{\begin{array}{l}19y=100+xy\\ 10x+9y=100\end{array}\right.\left\{\begin{array}{l}19y-xy=100\\ 10x+9y=100\end{array}\right.\left\{\begin{array}{l}y(19-x)=100\\ 10x+9y=100\end{array}\right.$$\left\{\begin{array}{l}y=\frac{100}{19-x}\\ 10x+9·\frac{100}{19-x}=100 /·(19-x)\end{array}\right.$

$$\begin{gathered} 10x(19-2)+900=100(19-x) \\ 190x-10x^2+900=1900-100x \\ -10x^2+190x+100x+900-1900=0 \\ -10x^2+290x-1000=0 /:(-10) \\ {x}^2-29x+100=D \\ D={(-29)}^2-4·1·100=841-400=441 \\ x=\frac{29\pm \sqrt{441}}{2}; x=\frac{29\pm 21}{2} \\ {x}_1=25; x_2=4 \end{gathered}$$

Если х=25, то 19-x=19-25<0,

если х=4, то 19-x=19-4=15≠0

$y=\frac{100}{19-x}=\frac{100}{19-4}=\frac{100}{15}=\frac{20}{3}=6\frac{2}{3}\text{м/с}$ - скорость второго мальчика

2) 4*10=40(м) - пробежал первый мальчик

3) 50-40=10(м)

Ответ: 10 м

Для решения задачи определим скорости обоих мальчиков. Пусть $v_1$ — скорость первого мальчика, а $v_2$ — скорость второго мальчика. Длина дорожки составляет $L = 50$ м.

Мальчики стартовали с интервалом в 1 секунду. Второй мальчик догнал первого на расстоянии 10 м от старта. Пусть $t$ — это время, которое бежал второй мальчик до момента обгона. Тогда первый мальчик к этому моменту бежал $(t + 1)$ секунд. Так как они оба пробежали 10 метров, мы можем составить уравнения для их скоростей:

$v_1 \cdot (t + 1) = 10$

$v_2 \cdot t = 10$

Отсюда можно выразить скорости через время $t$: $v_1 = \frac{10}{t+1}$ и $v_2 = \frac{10}{t}$.

Следующая встреча произошла через 10 секунд после старта первого мальчика. За эти 10 секунд первый мальчик пробежал расстояние $S_1 = v_1 \cdot 10 = 10v_1$. Он всё время бежал от старта к финишу.

Второй мальчик к моменту второй встречи бежал в течение $10 - 1 = 9$ секунд. За это время он добежал до конца 50-метровой дорожки и побежал обратно с той же скоростью $v_2$. Общее расстояние, которое он преодолел, составляет $S_2 = v_2 \cdot 9 = 9v_2$.

Поскольку он добежал до конца и повернул, его положение на дорожке (расстояние от линии старта) в момент второй встречи можно вычислить следующим образом: он пробежал 50 м до конца дорожки, а затем оставшееся расстояние $S_{2,обратно} = 9v_2 - 50$ в обратном направлении. Таким образом, его расстояние от старта равно $x_2 = 50 - S_{2,обратно} = 50 - (9v_2 - 50) = 100 - 9v_2$.

В момент встречи их положения совпали, то есть расстояние от старта у них было одинаковым: $10v_1 = 100 - 9v_2$.

Теперь подставим в это уравнение выражения для скоростей, которые мы получили ранее:

$10 \cdot \left(\frac{10}{t+1}\right) = 100 - 9 \cdot \left(\frac{10}{t}\right)$

$\frac{100}{t+1} = 100 - \frac{90}{t}$

Разделим всё уравнение на 10 для упрощения:

$\frac{10}{t+1} = 10 - \frac{9}{t}$

Приведем правую часть к общему знаменателю: $\frac{10}{t+1} = \frac{10t - 9}{t}$.

Используем свойство пропорции (умножим крест-накрест):

$10t = (t+1)(10t - 9)$

$10t = 10t^2 - 9t + 10t - 9$

$10t = 10t^2 + t - 9$

Получаем квадратное уравнение: $10t^2 - 9t - 9 = 0$.

Решим его через дискриминант $D = b^2 - 4ac$:

$D = (-9)^2 - 4 \cdot 10 \cdot (-9) = 81 + 360 = 441 = 21^2$

$t = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{9 \pm 21}{20}$

Так как время $t$ (время движения второго мальчика) должно быть положительным, выбираем корень со знаком "плюс":

$t = \frac{9 + 21}{20} = \frac{30}{20} = 1.5$ с.

Это время, которое бежал второй мальчик до первого обгона. Теперь мы можем найти скорости мальчиков:

$v_1 = \frac{10}{t+1} = \frac{10}{1.5+1} = \frac{10}{2.5} = 4$ м/с.

$v_2 = \frac{10}{t} = \frac{10}{1.5} = \frac{20}{3}$ м/с.

Вторая встреча произошла через 10 с после старта первого мальчика. Найдем, какое расстояние от старта он пробежал за это время:

$S_{встречи} = v_1 \cdot 10 \text{ с} = 4 \text{ м/с} \cdot 10 \text{ с} = 40$ м.

В задаче спрашивается, на каком расстоянии от конца дорожки они встретились. Для этого вычтем найденное расстояние из общей длины дорожки:

Расстояние от конца дорожки = $L - S_{встречи} = 50 \text{ м} - 40 \text{ м} = 10$ м.

Ответ: 10 м.

1298. Расстояние между пристанями А и В теплоход проходит по течению за 5 ч, а против течения — за 6 ч. За сколько часов проплывает по течению это расстояние плот?

Примем расстояние от А до В за 1, тогда скорость теплохода по течению $\frac{1}{5}\backslash frac\{1\}\{5\}$, а скорость против течения - $\frac{1}{6}\backslash frac\{1\}\{6\}$. Скорость плота - это скорость течения

1) $\frac{{\displaystyle \frac{1}{5}-\frac{1}{6}}}{2}=\frac{{\displaystyle \frac{1}{30}}}{2}=\frac{1}{60}$ - скорость плота

2) $1:\frac{1}{60}=1·60=60\text{ч}$

Ответ: за 60ч

Для решения задачи введем следующие обозначения:
$S$ — расстояние между пристанями А и В (в км);
$v_т$ — собственная скорость теплохода (в км/ч);
$v_р$ — скорость течения реки (в км/ч).

Когда теплоход движется по течению, его скорость равна сумме собственной скорости и скорости течения: $v_{по~течению} = v_т + v_р$.
Когда теплоход движется против течения, его скорость равна разности собственной скорости и скорости течения: $v_{против~течения} = v_т - v_р$.

Используя основную формулу движения $S = v \cdot t$, где $t$ — время, составим систему уравнений на основе данных задачи:
1. По течению теплоход проходит расстояние $S$ за 5 часов: $S = (v_т + v_р) \cdot 5$
2. Против течения теплоход проходит то же расстояние $S$ за 6 часов: $S = (v_т - v_р) \cdot 6$

Из этих уравнений выразим скорости:
$v_т + v_р = \frac{S}{5}$
$v_т - v_р = \frac{S}{6}$

Нам необходимо найти время, за которое это расстояние проплывет плот. Скорость плота равна скорости течения реки ($v_{плота} = v_р$). Чтобы найти $v_р$, вычтем второе уравнение из первого в полученной системе:
$(v_т + v_р) - (v_т - v_р) = \frac{S}{5} - \frac{S}{6}$
$v_т + v_р - v_т + v_р = \frac{6S - 5S}{30}$
$2v_р = \frac{S}{30}$
$v_р = \frac{S}{60}$

Теперь мы можем найти время $t_{плота}$, необходимое плоту для преодоления расстояния $S$:
$t_{плота} = \frac{S}{v_{плота}} = \frac{S}{v_р}$
Подставим найденное значение $v_р$:
$t_{плота} = \frac{S}{S/60} = S \cdot \frac{60}{S} = 60$ часов.

Ответ: 60 часов.

1299. Катер прошёл по течению 90 км за некоторое время. За то же время он прошёл бы против течения 70 км. Какое расстояние за это время проплывёт плот?

Пусть х км/ч - скорость катера в стоячей воде, у км/ч - скорость течения, тогда (x+y)км/ч - скорость катера по течению,

(x-y)км/ч - скорость катера против течения.

$\frac{90}{x+y}$ч - время, которое шел катер по течению

$\frac{70}{x-y}\backslash frac\{70\}\{x-y\}$ч - время, которое шёл катер против течения

По условию задачи

$$\begin{gathered} \frac{90}{x+y}=\frac{70}{x-y} \\ 90(x-y)=70(x+y) \\ 90x-90y=70x+70y \\ 90x-70x=70y+90y \\ 20x=160y \\ x=8y \\ \frac{90}{8y+y}=\frac{90}{9y}=\frac{10}{y}\text{ч} \\ \frac{70}{8y-y}=\frac{70}{7y}=\frac{10}{y}\text{ч} \\ y=\frac{10}{y}=10\left(\text{км}\right) \end{gathered}$$

Ответ: 10 км

Для решения этой задачи введем следующие обозначения:

• $v_k$ – собственная скорость катера (скорость в стоячей воде),
• $v_t$ – скорость течения реки,
• $t$ – время, за которое катер прошел 90 км по течению.

Когда катер движется по течению, его скорость равна сумме его собственной скорости и скорости течения: $v_{по} = v_k + v_t$.

Когда катер движется против течения, его скорость равна разности его собственной скорости и скорости течения: $v_{против} = v_k - v_t$.

Плот не имеет собственной скорости и движется со скоростью течения реки, то есть его скорость равна $v_t$.

Используя основную формулу расстояния $S = v \cdot t$, составим систему уравнений на основе данных из условия задачи:

1. Расстояние, пройденное по течению за время $t$:
$S_{по} = (v_k + v_t) \cdot t = 90$ км.

2. Расстояние, пройденное против течения за то же время $t$:
$S_{против} = (v_k - v_t) \cdot t = 70$ км.

Раскроем скобки в этих уравнениях:

1. $v_k \cdot t + v_t \cdot t = 90$

2. $v_k \cdot t - v_t \cdot t = 70$

Мы получили систему из двух линейных уравнений. Нам необходимо найти расстояние, которое проплывёт плот за время $t$. Это расстояние вычисляется по формуле $S_{плот} = v_t \cdot t$.

Чтобы найти значение выражения $v_t \cdot t$, вычтем второе уравнение из первого:

$(v_k \cdot t + v_t \cdot t) - (v_k \cdot t - v_t \cdot t) = 90 - 70$

Раскрываем скобки в левой части уравнения:

$v_k \cdot t + v_t \cdot t - v_k \cdot t + v_t \cdot t = 20$

Приводим подобные слагаемые:

$2 \cdot (v_t \cdot t) = 20$

Отсюда находим искомое расстояние, которое проплывет плот:

$S_{плот} = v_t \cdot t = \frac{20}{2} = 10$ км.

Таким образом, за то же самое время плот проплывёт 10 км.

Ответ: 10 км.

1300. Из пунктов А и В одновременно навстречу друг другу выехали два велосипедиста и встретились в 30 км от пункта В. Прибыв в пункты А и В, они повернули обратно. Вторая встреча произошла в 18 км от пункта А. Найдите расстояние между пунктами А и В.

Пусть х км - расстояние между пунктами А и В, V₁ км/ч - скорость первого велосипедиста, V₂ км/ч - скорость второго велосипедиста, тогда время, потраченное велосипедистами до первой встречи равно $t=\frac{x-30}{V_1}=\frac{30}{V_2}t=\backslash frac\{x-30\}\{V\_1\}=\backslash frac\{30\}\{V\_2\}$, а время, потраченное велосипедистами до второй встречи

$$\begin{gathered} t=\frac{2x-18}{V_1}=\frac{x+18}{V_2} \\ \frac{V_1}{V_2}=\frac{x-30}{30}=\frac{2x-18}{x+18} \\ \frac{x-30}{30}=\frac{2x-18}{x+18} \\ \left(x-30\right)\left(x+18\right)=30\left(2x-18\right) \\ {x}^2+18x-30x-540=60x-540 \\ {x}^2-12x-60x=0 \\ {x}^2-72x=0 \\ x\left(x-72\right)=0 \\ \begin{array}{ccl}x=0& \text{или}& x-72=0\\ & & x=72\end{array} \end{gathered}$$

x=0 - не удовлетворяет условию $x>0x\; >\; 0$

Ответ: 72 км

Пусть $S$ — искомое расстояние между пунктами А и В (в км). Пусть $v_A$ и $v_B$ — скорости первого (из пункта А) и второго (из пункта В) велосипедистов соответственно.

Рассмотрим суммарное расстояние, которое проехали оба велосипедиста. К моменту первой встречи, двигаясь навстречу друг другу, они вместе преодолели всё расстояние между пунктами, то есть $S$.

К моменту второй встречи каждый из них сначала доехал до противоположного пункта, а затем повернул обратно и проехал еще часть пути. Таким образом, к моменту второй встречи они вместе преодолели расстояние $S$ трижды (один раз до первой встречи, и еще два раза в сумме с момента первой встречи до второй). Суммарное расстояние, пройденное обоими велосипедистами, равно $3S$.

Так как скорости велосипедистов постоянны, то время, затраченное на путь до второй встречи, в три раза больше времени, затраченного на путь до первой встречи. Следовательно, каждый из велосипедистов к моменту второй встречи проехал расстояние, в три раза большее, чем до первой.

Рассмотрим путь велосипедиста, выехавшего из пункта В.

До первой встречи он проехал 30 км (поскольку встреча произошла в 30 км от пункта В).

Следовательно, к моменту второй встречи он проехал расстояние в три раза большее: $3 \times 30 = 90$ км.

С другой стороны, из условия задачи мы знаем, что вторая встреча произошла в 18 км от пункта А. Это означает, что велосипедист, выехавший из пункта В, сначала проехал всё расстояние от В до А (то есть $S$ км), а затем развернулся и проехал ещё 18 км от А в обратном направлении. Таким образом, общее расстояние, которое он проехал, равно $S + 18$ км.

Теперь мы можем приравнять два полученных выражения для расстояния, которое проехал второй велосипедист к моменту второй встречи:

$S + 18 = 90$

Решая это уравнение, находим $S$:

$S = 90 - 18$

$S = 72$

Таким образом, расстояние между пунктами А и В составляет 72 км.

Ответ: 72 км.

1301. Из А в В и из В в А выехали одновременно два мотоциклиста. Первый прибыл в В через 2,5 ч после встречи, а второй прибыл в А через 1,6 ч после встречи. Сколько часов был в пути каждый мотоциклист?

Примем путь от А до В за 1.

t - время, которое ехал каждый велосипедист до встречи

$V_1=\frac{1}{t+\mathrm{2,5}}$ км/ч - скорость первого мотоциклиста

$V_2=\frac{1}{t+\mathrm{1,6}}V\_2=\backslash frac\{1\}\{t+1,6\}$ км/ч - скорость второго мотоциклиста

$$\begin{gathered} \left(V_1+V_2\right)t=1 \\ {V}_1+V_2=\frac{1}{t} \\ \frac{1}{t+\mathrm{2,5}}+\frac{1}{t+\mathrm{1,6}}=\frac{1}{t} \\ t\left(t+\mathrm{1,6}\right)+t\left(t+\mathrm{2,5}\right)=\left(t+\mathrm{2,5}\right)\left(t+\mathrm{1,6}\right) \\ {t}^2+\mathrm{1,6}t+t^2+\mathrm{2,5}t=t^2+\mathrm{1,6}t+\mathrm{2,5}t+4 \\ 2t^2-t^2=4 \\ {t}^2=4 \end{gathered}$$

$t=2$ или - не удовлетворяет условию задачи t>0

2+2,5=4,5(ч) - первый велосипедист

2+1,6=3,6(ч) - второй велосипедист

Ответ: 4,5ч, 3,6ч

Пусть $v_1$ — скорость первого мотоциклиста (из А в В), а $v_2$ — скорость второго мотоциклиста (из В в А). Пусть $t$ — время, которое они ехали от начала движения до встречи.

До момента встречи первый мотоциклист проехал расстояние $S_1 = v_1 \cdot t$. Второй мотоциклист до встречи проехал расстояние $S_2 = v_2 \cdot t$.

После встречи первому мотоциклисту, чтобы добраться до пункта В, осталось проехать расстояние $S_2$. По условию задачи, он затратил на это $t_1 = 2,5$ часа. Таким образом, можно записать:

$S_2 = v_1 \cdot t_1 = v_1 \cdot 2,5$

Второму мотоциклисту после встречи, чтобы добраться до пункта А, осталось проехать расстояние $S_1$. Он затратил на это $t_2 = 1,6$ часа. Таким образом:

$S_1 = v_2 \cdot t_2 = v_2 \cdot 1,6$

Теперь мы можем сопоставить выражения для расстояний $S_1$ и $S_2$:

$v_1 \cdot t = S_1 = v_2 \cdot 1,6$

$v_2 \cdot t = S_2 = v_1 \cdot 2,5$

Из этих двух уравнений выразим отношение скоростей $\frac{v_1}{v_2}$:

Из первого уравнения: $\frac{v_1}{v_2} = \frac{1,6}{t}$

Из второго уравнения: $\frac{v_1}{v_2} = \frac{t}{2,5}$

Так как левые части обоих выражений равны, мы можем приравнять их правые части:

$\frac{1,6}{t} = \frac{t}{2,5}$

Решим это уравнение относительно $t$:

$t^2 = 1,6 \cdot 2,5$

$t^2 = 4$

$t = \sqrt{4} = 2$ часа.

Итак, время от старта до встречи составило 2 часа. Теперь найдем полное время в пути для каждого мотоциклиста.

Полное время в пути первого мотоциклиста равно времени до встречи плюс время после встречи до прибытия в B:

$T_1 = t + t_1 = 2 + 2,5 = 4,5$ часа.

Полное время в пути второго мотоциклиста равно времени до встречи плюс время после встречи до прибытия в А:

$T_2 = t + t_2 = 2 + 1,6 = 3,6$ часа.

Ответ: первый мотоциклист был в пути 4,5 часа, второй мотоциклист был в пути 3,6 часа.

1302. Из А в В и из В в А выехали одновременно два автомобиля и встретились через 3 ч. Первый автомобиль пришёл в В на 1,1 ч позже, чем второй в А. Во сколько раз скорость второго автомобиля больше скорости первого?

Пусть x км/ч - скорость первого автомобиля, y км/ч скорость второго автомобиля. Примем весь путь за 1. Зная, что они встретили через 3ч, составим уравнение 3(x+y)=1. $t_1=\frac{1}{y}\text{ч}$ - время, за которое прошёл всё расстояние первый автомобиль

$t_2=\frac{1}{y}\text{ч}$ - время, за которое прошёл всё расстояние второй автомобиль. Зная, что первый автомобиль потратил на весь путь на 1,1ч больше, чем второй, составим уравнение $\frac{1}{x}-\frac{1}{y}=1,1$

Получили систему

$$\begin{gathered} \left\{\begin{array}{l}3\left(x+y\right)=1\\ \frac{1}{x}-\frac{1}{y}=1,1\end{array}\right.\left\{\begin{array}{l}3x+3y=1\\ \frac{y-x}{xy}=1,1\end{array}\right.\left\{\begin{array}{l}3x+3y=1\\ y-x=1,1xy\end{array}\right. \\ \left\{\begin{array}{c}3x+3y=1\\ y-1,1xy=x\end{array}\right.\left\{\begin{array}{c}3x+3y=1\\ y(1-1,1x)=x\end{array}\right.\left\{\begin{array}{c}3x+3y=1\\ y=\frac{x}{1-1,1x}\end{array}\right. \\ 3x+3·\frac{x}{1-1,1x}=1 \\ 3x\left(1-1,1x\right)+3x=1-1,1x \\ 3x-3,3x^2+3x+1,1x-1=0 \\ -3,3x^2+7,1x-1=0\mathrm{/}·\left(-1\right) \\ 3,3x^2-7,1x+1=0 \\ D={\left(-7,1\right)}^2-4·3,3·1=50,41-13,2=37,21 \\ x=\frac{7,1\pm \sqrt{37,21}}{6,6}; x=\frac{7,1\pm 6,1}{6,6} \\ {x}_1=\frac{1}{6,6}=\frac{10}{66}=\frac{5}{33} \\ {x}_2=\frac{13,2}{6,6}=\frac{132}{66}=2 \end{gathered}$$

Если $x=2x=2$, то , что не соответствует условию задачи y>0,

если $x=\frac{5}{33}x=\backslash frac\{5\}\{33\}$, то

$$\begin{gathered} y=\frac{{\displaystyle \frac{5}{33}}}{1-1,1·{\displaystyle \frac{5}{33}}}=\frac{{\displaystyle \frac{5}{33}}}{1-{\displaystyle \frac{5,5}{33}}}=\frac{{\displaystyle \frac{5}{33}}}{1-{\displaystyle \frac{55}{330}}}= \\ =\frac{{\displaystyle \frac{5}{33}}}{1-{\displaystyle \frac{5}{30}}}=\frac{{\displaystyle \frac{5}{33}}}{1-{\displaystyle \frac{1}{6}}}=\frac{{\displaystyle \frac{5}{33}}}{{\displaystyle \frac{5}{6}}}=\frac{5}{33}:\frac{5}{6}=\frac{5·6}{33·5}=\frac{2}{11} \\ \frac{2}{11}:\frac{5}{33}=\frac{2·33}{11·5}=\frac{2·3}{5}=\frac{6}{5}=1,2 \end{gathered}$$

Ответ: в 1,2 раза

Пусть $v_1$ — скорость первого автомобиля (из А в В), а $v_2$ — скорость второго автомобиля (из В в А). Пусть $S$ — расстояние между А и В.

Автомобили выехали одновременно и встретились через 3 часа. За это время первый автомобиль проехал расстояние $S_1 = v_1 \cdot 3$, а второй — $S_2 = v_2 \cdot 3$. В момент встречи они вместе преодолели все расстояние $S$, следовательно:$S = S_1 + S_2 = 3v_1 + 3v_2 = 3(v_1 + v_2)$

Полное время, которое требуется первому автомобилю, чтобы проехать расстояние $S$, равно $t_1 = S/v_1$.Полное время, которое требуется второму автомобилю, чтобы проехать расстояние $S$, равно $t_2 = S/v_2$.

По условию задачи, первый автомобиль пришёл в В на 1,1 часа позже, чем второй в А. Это означает, что $t_1 = t_2 + 1.1$.Подставим выражения для $t_1$ и $t_2$:$\frac{S}{v_1} = \frac{S}{v_2} + 1.1$

Теперь подставим в это уравнение выражение для $S = 3(v_1 + v_2)$:$\frac{3(v_1 + v_2)}{v_1} = \frac{3(v_1 + v_2)}{v_2} + 1.1$

Разделим левую и правую части на слагаемые:$3(\frac{v_1}{v_1} + \frac{v_2}{v_1}) = 3(\frac{v_1}{v_2} + \frac{v_2}{v_2}) + 1.1$$3(1 + \frac{v_2}{v_1}) = 3(\frac{v_1}{v_2} + 1) + 1.1$$3 + 3\frac{v_2}{v_1} = 3\frac{v_1}{v_2} + 3 + 1.1$

Вычтем 3 из обеих частей уравнения:$3\frac{v_2}{v_1} = 3\frac{v_1}{v_2} + 1.1$

Вопрос задачи — найти, во сколько раз скорость второго автомобиля больше скорости первого, то есть найти отношение $\frac{v_2}{v_1}$. Обозначим это отношение как $k$:$k = \frac{v_2}{v_1}$Тогда отношение $\frac{v_1}{v_2}$ будет равно $\frac{1}{k}$.

Подставим $k$ в наше уравнение:$3k = \frac{3}{k} + 1.1$

Умножим обе части уравнения на $k$ (так как скорость не может быть равна нулю, $k \neq 0$):$3k^2 = 3 + 1.1k$

Перенесем все члены в одну сторону, чтобы получить квадратное уравнение:$3k^2 - 1.1k - 3 = 0$

Для удобства решения умножим уравнение на 10, чтобы избавиться от десятичной дроби:$30k^2 - 11k - 30 = 0$

Решим это квадратное уравнение с помощью дискриминанта $D = b^2 - 4ac$:$D = (-11)^2 - 4 \cdot 30 \cdot (-30) = 121 + 3600 = 3721$Найдем корень из дискриминанта: $\sqrt{3721} = 61$.

Теперь найдем корни уравнения по формуле $k = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$:$k_1 = \frac{11 + 61}{2 \cdot 30} = \frac{72}{60} = \frac{12}{10} = 1.2$$k_2 = \frac{11 - 61}{2 \cdot 30} = \frac{-50}{60} = -\frac{5}{6}$

Так как $k$ представляет собой отношение скоростей, которые являются положительными величинами, то и само отношение должно быть положительным. Поэтому выбираем корень $k = 1.2$.

Таким образом, скорость второго автомобиля в 1,2 раза больше скорости первого.

Ответ: в 1,2 раза.