Страница 283 - гдз по алгебре 8 класс учебник Макарычев, Миндюк

1281. Найдите целые значения х, при которых функция принимает целые значения.

$$\begin{gathered} y=\sqrt{20+2\sqrt{91+6x-x^2}}-\sqrt{20-2\sqrt{91+6x-x^2}} \\ {y}^2={(\sqrt{20+2\sqrt{91+6x-x^2}}- \\ -\sqrt{20-2\sqrt{91+6x-x^2}})}^2 \\ {y}^2=20+2\sqrt{91+6x-x^2}+20-2\sqrt{91+6x-x^2}- \\ -2\sqrt{\left(20+2\sqrt{91+6x-x^2}\right)\left(20-2\sqrt{91+6x-x^2}\right)} \\ {y}^2=40-2\sqrt{400-4\left(91+6x-x^2\right)} \\ {y}^2=40-2\sqrt{4\left(100-91-6x+x^2\right)} \\ {y}^2=40-4\sqrt{9-6x+x^2} \\ {y}^2=40-4\sqrt{{\left(3-x\right)}^2} \\ {y}^2=40-4·\mathrm{\mid }3-x\mathrm{\mid } \\ {y}^2=40-4\mathrm{\mid }x-3\mathrm{\mid } \\ \mathrm{y}=\pm \sqrt{40-4\mathrm{\mid }\mathrm{x}-3\mathrm{\mid }} \\ y=\pm \sqrt{4\left(10-\mathrm{\mid }x-3\mathrm{\mid }\right)} \\ y=\pm 2\sqrt{10-\mathrm{\mid }x-3\mathrm{\mid }} \end{gathered}$$
$y=-2\sqrt{10-\mathrm{\mid }x-3\mathrm{\mid }}$ не подходит по условию y≥0
$$\begin{gathered} y=2\sqrt{10-\mathrm{\mid }x-3\mathrm{\mid }} \\ 10-\mathrm{\mid }x-3\mathrm{\mid }\ge 0 \\ \mathrm{\mid }x-3\mathrm{\mid }\le 10 \\ \left\{\begin{array}{l}x-3\ge 0\\ x-3\le 10\end{array}\right.\left\{\begin{array}{l}x\ge 3\\ x\le 13\end{array}\right.x\in [3; 13] \\ \left\{\begin{array}{l}x-3<0\\ 3-x\le 10\end{array}\right.\left\{\begin{array}{l}x<3\\ -x\le 7\end{array}\right.\left\{\begin{array}{l}x<3\\ x\ge -7\end{array}\right.x\in [-7; 3) \end{gathered}$$

Объединяя два промежутка, получим $x\in [-7; 13]x\; \backslash in\; [-7;\; 13]$

Так как $x\in Zx\; \backslash in\; Z$, то

$$\begin{gathered} ✓x=-7; y=2\sqrt{10-\mathrm{\mid }-7-3\mathrm{\mid }}=2·0=0\in Z \\ ✓x=-6; y=2\sqrt{10-\mathrm{\mid }-6-3\mathrm{\mid }}=2·1=2\in Z \\ x=-5; y=2\sqrt{10-\mathrm{\mid }-5-3\mathrm{\mid }}=2\sqrt{2}\notin Z \\ x=-4; y=2\sqrt{10-\mathrm{\mid }-4-3\mathrm{\mid }}=2\sqrt{3}\notin Z \\ ✓x=-3; y=2\sqrt{10-\mathrm{\mid }-3-3\mathrm{\mid }}=2·2=4\in Z \\ x=-2; y=2\sqrt{10-\mathrm{\mid }-2-3\mathrm{\mid }}=2\sqrt{5}\notin Z \\ x=-1; y=2\sqrt{10-\mathrm{\mid }-1-3\mathrm{\mid }}=2\sqrt{6}\notin Z \\ x=0; y=2\sqrt{10-\mathrm{\mid }0-3\mathrm{\mid }}=2\sqrt{7}\notin Z \\ x=1; y=2\sqrt{10-\mathrm{\mid }1-3\mathrm{\mid }}=2\sqrt{8}\notin Z \\ ✓x=2; y=2\sqrt{10-\mathrm{\mid }2-3\mathrm{\mid }}=2·3=6\in Z \\ x=3; y=2\sqrt{10-\mathrm{\mid }3-3\mathrm{\mid }}=2\sqrt{10}\notin Z \\ ✓x=4; y=2\sqrt{10-\mathrm{\mid }4-3\mathrm{\mid }}=2·3=6\in Z \\ x=5; y=2\sqrt{10-\mathrm{\mid }5-3\mathrm{\mid }}=2\sqrt{8}\notin Z \\ x=6; y=2\sqrt{10-\mathrm{\mid }6-3\mathrm{\mid }}=2\sqrt{7}\notin Z \\ x=7; y=2\sqrt{10-\mathrm{\mid }7-3\mathrm{\mid }}=2\sqrt{6}\notin Z \\ x=8; y=2\sqrt{10-\mathrm{\mid }8-3\mathrm{\mid }}=2\sqrt{5}\notin Z \\ ✓x=9; y=2\sqrt{10-\mathrm{\mid }9-3\mathrm{\mid }}=2·2=4\in Z \\ x=10; y=2\sqrt{10-\mathrm{\mid }10-3\mathrm{\mid }}=2\sqrt{3}\notin Z \\ x=11; y=2\sqrt{10-\mathrm{\mid }11-3\mathrm{\mid }}=2\sqrt{2}\notin Z \\ ✓x=12; y=2\sqrt{10-\mathrm{\mid }12-3\mathrm{\mid }}=2\in Z \\ ✓x=13; y=2\sqrt{10-\mathrm{\mid }13-3\mathrm{\mid }}=0\in Z \end{gathered}$$

Ответ: -7, -6, -3, 2, 4, 9, 12, 13

Для решения задачи сначала найдем область определения функции, затем упростим ее выражение и, наконец, найдем целые значения $x$, при которых функция принимает целые значения.

1. Область определения функции (ОДЗ)

Подкоренные выражения должны быть неотрицательными. Обозначим для удобства $z = 91 + 6x - x^2$.

Для существования функции должны выполняться два условия:

1. 1) $z = 91 + 6x - x^2 \ge 0$
2. 2) $20 - 2\sqrt{z} \ge 0$

Рассмотрим второе неравенство:

$20 \ge 2\sqrt{z}$

$10 \ge \sqrt{z}$

Возведем обе части в квадрат:

$100 \ge z$

Подставим выражение для $z$:

$100 \ge 91 + 6x - x^2$

$x^2 - 6x + 9 \ge 0$

$(x-3)^2 \ge 0$

Это неравенство верно для любого действительного значения $x$.

Теперь рассмотрим первое неравенство:

$91 + 6x - x^2 \ge 0$

Умножим на -1 и сменим знак неравенства:

$x^2 - 6x - 91 \le 0$

Найдем корни квадратного трехчлена $x^2 - 6x - 91 = 0$.

Дискриминант $D = (-6)^2 - 4(1)(-91) = 36 + 364 = 400 = 20^2$.

Корни уравнения: $x_1 = \frac{6 - 20}{2} = -7$ и $x_2 = \frac{6 + 20}{2} = 13$.

Неравенство $(x+7)(x-13) \le 0$ выполняется при $x \in [-7, 13]$.

Таким образом, область определения функции для $x$ — это отрезок $[-7, 13]$. Поскольку по условию $x$ — целое число, то $x$ может принимать целые значения от -7 до 13 включительно.

2. Упрощение выражения для функции

Упростим данное выражение. Заметим, что из области определения $20 + 2\sqrt{z} \ge 20 - 2\sqrt{z}$, поэтому $y \ge 0$. Возведем $y$ в квадрат:

$y^2 = \left(\sqrt{20 + 2\sqrt{z}} - \sqrt{20 - 2\sqrt{z}}\right)^2$

$y^2 = (20 + 2\sqrt{z}) - 2\sqrt{(20 + 2\sqrt{z})(20 - 2\sqrt{z})} + (20 - 2\sqrt{z})$

$y^2 = 40 - 2\sqrt{20^2 - (2\sqrt{z})^2} = 40 - 2\sqrt{400 - 4z} = 40 - 2\sqrt{4(100-z)}$

$y^2 = 40 - 4\sqrt{100-z}$

Ранее мы нашли, что $100-z \ge 0$. Подставим выражение для $z$:

$100 - z = 100 - (91 + 6x - x^2) = 9 - 6x + x^2 = (x-3)^2$.

Тогда:

$y^2 = 40 - 4\sqrt{(x-3)^2} = 40 - 4|x-3|$.

Так как $y \ge 0$, извлечем квадратный корень:

$y = \sqrt{40 - 4|x-3|} = \sqrt{4(10 - |x-3|)} = 2\sqrt{10 - |x-3|}$.

Итак, мы получили упрощенное выражение для функции: $y = 2\sqrt{10 - |x-3|}$.

3. Поиск целых значений $x$

По условию, $x$ — целое число, следовательно, $|x-3|$ — целое неотрицательное число. Тогда и $10 - |x-3|$ является целым числом.

Для того, чтобы значение функции $y = 2\sqrt{10 - |x-3|}$ было целым, необходимо, чтобы выражение под корнем, $K = 10 - |x-3|$, было полным квадратом, то есть $K=n^2$ для некоторого целого $n \ge 0$.

Поскольку $x \in [-7, 13]$, то $x-3 \in [-10, 10]$, а значит $|x-3|$ принимает целые значения от 0 до 10. Следовательно, $K = 10 - |x-3|$ может принимать целые значения от $10-10=0$ до $10-0=10$.

Нам нужно найти такие значения $K$, которые являются полными квадратами в диапазоне $[0, 10]$. Это числа $0, 1, 4, 9$.

Рассмотрим каждый случай:

Случай 1: $10 - |x-3| = 9$

Тогда $|x-3| = 1$. Отсюда $x-3=1$ или $x-3=-1$. Получаем $x=4$ и $x=2$. При этих значениях $y=2\sqrt{9}=6$.

Случай 2: $10 - |x-3| = 4$

Тогда $|x-3| = 6$. Отсюда $x-3=6$ или $x-3=-6$. Получаем $x=9$ и $x=-3$. При этих значениях $y=2\sqrt{4}=4$.

Случай 3: $10 - |x-3| = 1$

Тогда $|x-3| = 9$. Отсюда $x-3=9$ или $x-3=-9$. Получаем $x=12$ и $x=-6$. При этих значениях $y=2\sqrt{1}=2$.

Случай 4: $10 - |x-3| = 0$

Тогда $|x-3| = 10$. Отсюда $x-3=10$ или $x-3=-10$. Получаем $x=13$ и $x=-7$. При этих значениях $y=2\sqrt{0}=0$.

Все найденные значения $x$ принадлежат области определения $[-7, 13]$.

Соберем все найденные целые значения $x$ в один список.

Ответ: $\{-7, -6, -3, 2, 4, 9, 12, 13\}$.

1282. Найдите все целые значения функции которые она принимает при целых х.

$$\begin{gathered} y=\sqrt{12+2\sqrt{35+2x-x^2}}-\sqrt{12-2\sqrt{35+2x-x^2}} \\ {y}^2=12+2\sqrt{35+2x-x^2}+12-2\sqrt{35+2x-x^2}- \\ -2\sqrt{(12+2\sqrt{35+2x-x^2})(12-2\sqrt{35+2x-x^2})} \\ {y}^2=24-2\sqrt{144-4(35+2x-x^2)} \\ {y}^2=24-2\sqrt{144-140-8x+4x^2} \\ {y}^2=24-2\sqrt{4-8x+4x^2} \\ {y}^2=24-2\sqrt{{\left(2x-2\right)}^2} \\ {y}^2=24-2\mathrm{\mid }2x-2\mathrm{\mid } \\ {y}^2=24-2·2\mathrm{\mid }x-1\mathrm{\mid } \\ {y}^2=24-4\mathrm{\mid }x-1\mathrm{\mid } \\ {y}^2=4\left(6-\mathrm{\mid }x-1\mathrm{\mid }\right) \\ y=\pm \sqrt{4\left(6-\mathrm{\mid }x-1\mathrm{\mid }\right)} \\ y=\pm 2\sqrt{6-\mathrm{\mid }x-1\mathrm{\mid }} \end{gathered}$$

Т.к. $y\ge 0y\; \backslash ge\; 0$, то $y=2\sqrt{6-\mathrm{\mid }x-1\mathrm{\mid }}$

$$\begin{gathered} 6-\mathrm{\mid }x-1\mathrm{\mid }\ge 0 \\ \mathrm{\mid }x-1\mathrm{\mid }\le 6 \\ \left\{\begin{array}{l}x-1\ge 0\\ x-1\le 6\end{array}\right.\left\{\begin{array}{l}x\ge 1\\ x\le 7\end{array}\right.x\in [1; 7] \\ \left\{\begin{array}{l}x-1<0\\ -x+1\le 6\end{array}\right.\left\{\begin{array}{l}x<1\\ -x\le 5\end{array}\right.\left\{\begin{array}{l}x<1\\ x\ge -5\end{array}\right.x\in [-5; 1) \end{gathered}$$

Объединяя два промежутка, получим $x\in [-5; 7]x\; \backslash in[-5\; ;\; 7]$

Т.к. $x\in Zx\; \backslash in\; Z$, то

$$\begin{gathered} x=-5; y=2\sqrt{6-\mathrm{\mid }-5-1\mathrm{\mid }}=2·0=0\in Z\mathrm{✓} \\ x=-4; y=2\sqrt{6-\mathrm{\mid }-4-1\mathrm{\mid }}=2\in Z\mathrm{✓} \\ x=-3; y=2\sqrt{6-\mathrm{\mid }-3-1\mathrm{\mid }}=2\sqrt{2}\notin Z \\ x=-2; y=2\sqrt{6-\mathrm{\mid }-2-1\mathrm{\mid }}=2\sqrt{3}\notin Z \\ x=-1; y=2\sqrt{6-\mathrm{\mid }-1-1\mathrm{\mid }}=2·2=4\in Z\mathrm{✓} \\ x=0; y=2\sqrt{6-\mathrm{\mid }0-1\mathrm{\mid }}=2\sqrt{5}\notin Z \\ x=1; y=2\sqrt{6-\mathrm{\mid }1-1\mathrm{\mid }}=2\sqrt{6}\notin Z \\ x=2; y=2\sqrt{6-\mathrm{\mid }2-1\mathrm{\mid }}=2\sqrt{5}\notin Z \\ x=3; y=2\sqrt{6-\mathrm{\mid }3-1\mathrm{\mid }}=2·2=4\in Z\mathrm{✓} \\ x=4; y=2\sqrt{6-\mathrm{\mid }4-1\mathrm{\mid }}=2\sqrt{3}\notin Z \\ x=5; y=2\sqrt{6-\mathrm{\mid }5-1\mathrm{\mid }}=2\sqrt{2}\notin Z \\ x=6; y=2\sqrt{6-\mathrm{\mid }6-1\mathrm{\mid }}=2\in Z\mathrm{✓} \\ x=7; y=2\sqrt{6-\mathrm{\mid }7-1\mathrm{\mid }}=2·0=0\in Z\mathrm{✓} \end{gathered}$$

Ответ: 0; 2; 4

1. Найдем область определения функции.

Для того чтобы функция $y = \sqrt{12 + 2\sqrt{35 + 2x - x^2}} - \sqrt{12 - 2\sqrt{35 + 2x - x^2}}$ была определена, все выражения под знаками корней должны быть неотрицательными. Это приводит к системе неравенств:

а) $35 + 2x - x^2 \ge 0$

б) $12 - 2\sqrt{35 + 2x - x^2} \ge 0$

Рассмотрим первое неравенство:

$35 + 2x - x^2 \ge 0 \implies x^2 - 2x - 35 \le 0$.

Найдем корни квадратного трехчлена $x^2 - 2x - 35 = 0$. Используя формулу для корней квадратного уравнения или теорему Виета, получаем $x_1 = -5$ и $x_2 = 7$. Так как парабола $f(x) = x^2 - 2x - 35$ имеет ветви, направленные вверх, неравенство $f(x) \le 0$ выполняется между корнями: $-5 \le x \le 7$.

Рассмотрим второе неравенство:

$12 - 2\sqrt{35 + 2x - x^2} \ge 0 \implies 12 \ge 2\sqrt{35 + 2x - x^2} \implies 6 \ge \sqrt{35 + 2x - x^2}$.

Поскольку обе части неравенства неотрицательны, можно возвести их в квадрат:

$36 \ge 35 + 2x - x^2 \implies x^2 - 2x + 1 \ge 0 \implies (x-1)^2 \ge 0$.

Это неравенство справедливо для любых действительных значений $x$.

Таким образом, область определения функции задается условием $-5 \le x \le 7$. По условию задачи $x$ — целое число, поэтому $x \in \{-5, -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7\}$.

2. Упростим выражение для функции.

Определим знак функции $y$. Так как $\sqrt{35 + 2x - x^2} \ge 0$, очевидно, что $12 + 2\sqrt{35 + 2x - x^2} \ge 12 - 2\sqrt{35 + 2x - x^2}$. Следовательно, $\sqrt{12 + 2\sqrt{35 + 2x - x^2}} \ge \sqrt{12 - 2\sqrt{35 + 2x - x^2}}$, что означает $y \ge 0$.

Возведем обе части уравнения для $y$ в квадрат:

$y^2 = \left(\sqrt{12 + 2\sqrt{35 + 2x - x^2}} - \sqrt{12 - 2\sqrt{35 + 2x - x^2}}\right)^2$

$y^2 = (12 + 2\sqrt{35 + 2x - x^2}) - 2\sqrt{(12 + 2\sqrt{35 + 2x - x^2})(12 - 2\sqrt{35 + 2x - x^2})} + (12 - 2\sqrt{35 + 2x - x^2})$

Используя формулу разности квадратов $(a+b)(a-b)=a^2-b^2$ под корнем, получаем:

$y^2 = 24 - 2\sqrt{12^2 - (2\sqrt{35 + 2x - x^2})^2}$

$y^2 = 24 - 2\sqrt{144 - 4(35 + 2x - x^2)}$

$y^2 = 24 - 2\sqrt{144 - 140 - 8x + 4x^2}$

$y^2 = 24 - 2\sqrt{4 - 8x + 4x^2}$

$y^2 = 24 - 2\sqrt{4(x^2 - 2x + 1)}$

$y^2 = 24 - 2\sqrt{4(x-1)^2}$

$y^2 = 24 - 2(2|x-1|)$

$y^2 = 24 - 4|x-1|$

Так как мы установили, что $y \ge 0$, можно извлечь квадратный корень из обеих частей:

$y = \sqrt{24 - 4|x-1|} = \sqrt{4(6 - |x-1|)} = 2\sqrt{6 - |x-1|}$.

3. Найдем все целые значения функции.

Мы получили упрощенную формулу для функции: $y = 2\sqrt{6 - |x-1|}$. Нам нужно найти, какие целые значения принимает $y$ при целых $x$ из отрезка $[-5, 7]$.

Для того чтобы $y$ было целым числом, выражение под корнем, $6 - |x-1|$, должно быть полным квадратом неотрицательного целого числа (например, $0, 1, 4, 9, ...$).

Найдем возможные значения $|x-1|$ для целых $x \in [-5, 7]$:

Если $x$ пробегает значения от $-5$ до $7$, то $x-1$ пробегает значения от $-6$ до $6$. Следовательно, $|x-1|$ может принимать целые значения от $0$ до $6$.

Проверим, при каких значениях $|x-1|$ выражение $6 - |x-1|$ является полным квадратом:

• Если $|x-1| = 6$ (это соответствует $x=-5$ и $x=7$), то $6 - 6 = 0 = 0^2$. В этом случае $y = 2\sqrt{0} = 0$.

• Если $|x-1| = 5$ (это соответствует $x=-4$ и $x=6$), то $6 - 5 = 1 = 1^2$. В этом случае $y = 2\sqrt{1} = 2$.

• Если $|x-1| = 4$ (это соответствует $x=-3$ и $x=5$), то $6 - 4 = 2$, что не является полным квадратом.

• Если $|x-1| = 3$ (это соответствует $x=-2$ и $x=4$), то $6 - 3 = 3$, что не является полным квадратом.

• Если $|x-1| = 2$ (это соответствует $x=-1$ и $x=3$), то $6 - 2 = 4 = 2^2$. В этом случае $y = 2\sqrt{4} = 4$.

• Если $|x-1| = 1$ (это соответствует $x=0$ и $x=2$), то $6 - 1 = 5$, что не является полным квадратом.

• Если $|x-1| = 0$ (это соответствует $x=1$), то $6 - 0 = 6$, что не является полным квадратом.

Таким образом, функция принимает целые значения только тогда, когда $6 - |x-1|$ равно $0, 1$ или $4$. Эти значения $y$ равны $0, 2, 4$.

Ответ: $\{0, 2, 4\}$.

1283. Представьте многочлен х⁸ + х⁴ + 1 в виде произведения четырёх многочленов ненулевой степени.

$$\begin{gathered} x^8+x^4+1=x^8+2x^4+1-x^4={\left(x^4+1\right)}^2-{\left(x^2\right)}^2= \\ =\left(x^4+1-x^2\right)\left(x^4+1+x^2\right)= \\ =\left(x^4+2x^2+1-3x^2\right)\left(x^4+2x^2+1-x^2\right)= \\ =\left({\left(x^2+1\right)}^2-3x^2\right)\left({\left(x^2+1\right)}^2-x^2\right)= \\ =\left(x^2+1+x\sqrt{3}\right)\left(x^2+1-x\sqrt{3}\right)\left(x^2+1-x\right)\left(x^2+1+x\right) \end{gathered}$$

Для разложения многочлена $x^8 + x^4 + 1$ на множители воспользуемся методом добавления и вычитания слагаемого для получения формулы разности квадратов.

Сначала добавим и вычтем $x^4$, чтобы выделить полный квадрат:

$x^8 + x^4 + 1 = (x^8 + 2x^4 + 1) - x^4$

Выражение в скобках является полным квадратом $(x^4 + 1)^2$, а $x^4$ можно представить как $(x^2)^2$. Таким образом, мы получаем разность квадратов:

$(x^4 + 1)^2 - (x^2)^2$

Применим формулу разности квадратов $a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)$, где $a = x^4 + 1$ и $b = x^2$:

$(x^4 + 1 - x^2)(x^4 + 1 + x^2) = (x^4 - x^2 + 1)(x^4 + x^2 + 1)$

Теперь у нас есть произведение двух многочленов. Чтобы получить четыре множителя, как требуется в условии, необходимо разложить каждый из этих двух многочленов.

Рассмотрим многочлен $x^4 + x^2 + 1$. Снова применим тот же метод. Добавим и вычтем $x^2$:

$x^4 + x^2 + 1 = (x^4 + 2x^2 + 1) - x^2 = (x^2 + 1)^2 - x^2$

Используя формулу разности квадратов, где $a = x^2 + 1$ и $b = x$, получаем:

$(x^2 + 1 - x)(x^2 + 1 + x) = (x^2 - x + 1)(x^2 + x + 1)$

Теперь рассмотрим многочлен $x^4 - x^2 + 1$. Для его разложения также выделим полный квадрат, но несколько иначе. Дополним $x^4 + 1$ до полного квадрата $(x^2+1)^2$ путем прибавления и вычитания $2x^2$:

$x^4 - x^2 + 1 = (x^4 + 2x^2 + 1) - 3x^2 = (x^2 + 1)^2 - (\sqrt{3}x)^2$

Это снова разность квадратов. Применим формулу, где $a = x^2 + 1$ и $b = \sqrt{3}x$:

$(x^2 + 1 - \sqrt{3}x)(x^2 + 1 + \sqrt{3}x) = (x^2 - \sqrt{3}x + 1)(x^2 + \sqrt{3}x + 1)$

Собирая все множители вместе, получаем окончательное разложение исходного многочлена на четыре множителя ненулевой степени (в данном случае, второй степени):

$(x^2 + x + 1)(x^2 - x + 1)(x^2 + \sqrt{3}x + 1)(x^2 - \sqrt{3}x + 1)$

Ответ: $(x^2 + x + 1)(x^2 - x + 1)(x^2 - \sqrt{3}x + 1)(x^2 + \sqrt{3}x + 1)$.

1284. Упростите выражение. Укажите допустимые значения переменных.

$$\begin{gathered} \frac{{\left(p^2-{\displaystyle \frac{1}{q^2}}\right)}^p{\left(p-\frac{1}{q}\right)}^{q-p}}{{\left(q^2-\frac{1}{p^2}\right)}^q{\left(q+\frac{1}{p}\right)}^{p-q}}= \\ =\frac{{\left(\left(p-\frac{1}{q}\right)\left(p+\frac{1}{q}\right)\right)}^p{\left(p-\frac{1}{q}\right)}^{q-p}}{{\left(\left(q-\frac{1}{p}\right)\left(q+\frac{1}{p}\right)\right)}^q{\left(q+\frac{1}{p}\right)}^{p-q}}= \\ =\frac{{\left(p-{\displaystyle \frac{1}{q}}\right)}^p{\left(p+\frac{1}{q}\right)}^p{\left(p-\frac{1}{q}\right)}^{q-p}}{{\left(q-\frac{1}{p}\right)}^q{\left(q+\frac{1}{p}\right)}^q{\left(q+\frac{1}{p}\right)}^{p-q}}= \\ =\frac{{\left(p-{\displaystyle \frac{1}{q}}\right)}^{p+q-p}{\left(p+\frac{1}{q}\right)}^p}{{\left(q-\frac{1}{p}\right)}^q{\left(q+\frac{1}{p}\right)}^{q+p-q}}= \\ =\frac{{\left(p-{\displaystyle \frac{1}{q}}\right)}^q{\left(p+\frac{1}{q}\right)}^p}{{\left(q-\frac{1}{p}\right)}^q{\left(q+\frac{1}{p}\right)}^p}=\frac{{\left(\frac{pq-1}{q}\right)}^q{\left(\frac{pq+1}{q}\right)}^p}{{\left(\frac{pq-1}{p}\right)}^q{\left(\frac{pq+1}{p}\right)}^p}= \\ ={\left(\frac{pq-1}{q}·\frac{p}{pq-1}\right)}^q·{\left(\frac{pq+1}{q}·\frac{p}{pq+1}\right)}^p= \\ ={\left(\frac{p}{q}\right)}^q·{\left(\frac{p}{q}\right)}^p={\left(\frac{p}{q}\right)}^{q+p}, \\ \text{где }p\ne 0, q\ne 0,\mathrm{\mid }p\mathrm{\mid }\ne 1, \mathrm{\mid }q\mathrm{\mid }\ne 1 \\ p\in \mathrm{\mathbb{Z}},q\in \mathrm{\mathbb{Z}} \end{gathered}$$

Упростите выражение

Исходное выражение:

$$ \frac{\left(p^2 - \frac{1}{q^2}\right)^p \left(p - \frac{1}{q}\right)^{q-p}}{\left(q^2 - \frac{1}{p^2}\right)^q \left(q + \frac{1}{p}\right)^{p-q}} $$

1. Разложим на множители выражения в скобках, используя формулу разности квадратов $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$:

$p^2 - \frac{1}{q^2} = \left(p - \frac{1}{q}\right)\left(p + \frac{1}{q}\right)$

$q^2 - \frac{1}{p^2} = \left(q - \frac{1}{p}\right)\left(q + \frac{1}{p}\right)$

2. Подставим эти разложения в исходное выражение:

$$ \frac{\left[\left(p - \frac{1}{q}\right)\left(p + \frac{1}{q}\right)\right]^p \left(p - \frac{1}{q}\right)^{q-p}}{\left[\left(q - \frac{1}{p}\right)\left(q + \frac{1}{p}\right)\right]^q \left(q + \frac{1}{p}\right)^{p-q}} $$

3. Используем свойство степени $(ab)^n = a^n b^n$:

$$ \frac{\left(p - \frac{1}{q}\right)^p \left(p + \frac{1}{q}\right)^p \left(p - \frac{1}{q}\right)^{q-p}}{\left(q - \frac{1}{p}\right)^q \left(q + \frac{1}{p}\right)^q \left(q + \frac{1}{p}\right)^{p-q}} $$

4. Сгруппируем степени с одинаковыми основаниями, используя свойство $a^m a^n = a^{m+n}$:

В числителе: $\left(p - \frac{1}{q}\right)^p \left(p - \frac{1}{q}\right)^{q-p} = \left(p - \frac{1}{q}\right)^{p+q-p} = \left(p - \frac{1}{q}\right)^q$.

В знаменателе: $\left(q + \frac{1}{p}\right)^q \left(q + \frac{1}{p}\right)^{p-q} = \left(q + \frac{1}{p}\right)^{q+p-q} = \left(q + \frac{1}{p}\right)^p$.

5. Выражение примет вид:

$$ \frac{\left(p - \frac{1}{q}\right)^q \left(p + \frac{1}{q}\right)^p}{\left(q - \frac{1}{p}\right)^q \left(q + \frac{1}{p}\right)^p} $$

6. Сгруппируем множители с одинаковыми показателями степени, используя свойство $\frac{a^n}{b^n} = \left(\frac{a}{b}\right)^n$:

$$ \left(\frac{p - \frac{1}{q}}{q - \frac{1}{p}}\right)^q \left(\frac{p + \frac{1}{q}}{q + \frac{1}{p}}\right)^p $$

7. Упростим дроби внутри скобок, приводя к общему знаменателю:

$\frac{p - \frac{1}{q}}{q - \frac{1}{p}} = \frac{\frac{pq-1}{q}}{\frac{pq-1}{p}} = \frac{pq-1}{q} \cdot \frac{p}{pq-1} = \frac{p}{q}$

$\frac{p + \frac{1}{q}}{q + \frac{1}{p}} = \frac{\frac{pq+1}{q}}{\frac{pq+1}{p}} = \frac{pq+1}{q} \cdot \frac{p}{pq+1} = \frac{p}{q}$

8. Подставим упрощенные дроби обратно в выражение:

$$ \left(\frac{p}{q}\right)^q \left(\frac{p}{q}\right)^p $$

9. Используем свойство $a^m a^n = a^{m+n}$ для завершения упрощения:

$$ \left(\frac{p}{q}\right)^{p+q} $$

Ответ: $\left(\frac{p}{q}\right)^{p+q}$

Укажите допустимые значения переменных

Для того чтобы исходное выражение было определено, необходимо выполнение нескольких условий. Будем исходить из того, что $p$ и $q$ — действительные числа, что требует положительности оснований степеней.

1. Знаменатели дробей не должны быть равны нулю: $p \neq 0$ и $q \neq 0$.

2. Знаменатель всего выражения не должен быть равен нулю:

$\left(q^2 - \frac{1}{p^2}\right)^q \left(q + \frac{1}{p}\right)^{p-q} \neq 0$

Это означает, что $q^2 - \frac{1}{p^2} \neq 0$ и $q + \frac{1}{p} \neq 0$.

Из $q^2 \neq \frac{1}{p^2}$ следует, что $p^2q^2 \neq 1$, то есть $|pq| \neq 1$.

Из $q \neq -\frac{1}{p}$ следует, что $pq \neq -1$, что уже учтено в условии $|pq| \neq 1$.

3. Основания степеней с действительными показателями должны быть положительными:

а) $p^2 - \frac{1}{q^2} > 0 \implies \frac{p^2q^2-1}{q^2} > 0 \implies p^2q^2 > 1 \implies |pq| > 1$.

б) $p - \frac{1}{q} > 0 \implies \frac{pq-1}{q} > 0$.

в) $q^2 - \frac{1}{p^2} > 0 \implies \frac{p^2q^2-1}{p^2} > 0 \implies p^2q^2 > 1 \implies |pq| > 1$.

г) $q + \frac{1}{p} > 0 \implies \frac{pq+1}{p} > 0$.

Из условия (а) следует, что $|pq| > 1$. Это автоматически удовлетворяет условию $|pq| \neq 1$. Рассмотрим два случая:

Случай 1: $pq > 1$.

В этом случае $pq-1 > 0$. Чтобы неравенство (б) $\frac{pq-1}{q} > 0$ выполнялось, необходимо, чтобы $q > 0$.

Если $q > 0$ и $pq > 1$, то и $p$ должно быть положительным ($p > 0$).

Проверим неравенство (г): $\frac{pq+1}{p} > 0$. Так как $p > 0$ и $pq+1 > 2 > 0$, это неравенство выполняется.

Таким образом, набор условий $p > 0$, $q > 0$ и $pq > 1$ является допустимым.

Случай 2: $pq < -1$.

В этом случае $pq-1 < -2 < 0$. Чтобы неравенство (б) $\frac{pq-1}{q} > 0$ выполнялось, необходимо, чтобы $q < 0$.

Если $q < 0$ и $pq < -1$, то $p$ должно быть положительным ($p = \frac{pq}{q} = \frac{\text{отриц.}}{\text{отриц.}} > 0$).

Проверим неравенство (г): $\frac{pq+1}{p} > 0$. Так как $p > 0$, необходимо, чтобы $pq+1 > 0$, то есть $pq > -1$.

Это противоречит нашему предположению $pq < -1$. Следовательно, этот случай невозможен.

Объединяя все условия, получаем, что допустимыми значениями переменных являются такие $p$ и $q$, для которых $p > 0$, $q > 0$ и $pq > 1$.

Ответ: $p > 0$, $q > 0$, $pq > 1$.

1285. Функция у от х задана формулой $\frac{y = ax + b}{cx + d}$, где ad – bc ≠ 0.

Пусть значениям аргумента х₁, х₂, х₃ и х₄ соответствуют значения функции у₁, у₂, у₃ и у₄. Докажите, что

$y=\frac{ax+b}{cx+d}y=\backslash frac\{ax+b\}\{cx+d\}$, где ad-bc≠0

$$\begin{gathered} \frac{y_3-y_1}{y_3-y_2}:\frac{y_4-y_1}{y_4-y_2}=\frac{x_3-x_1}{x_3-x_2}:\frac{x_4-x_1}{x_4-x_2} \\ {y}_3-y_1=\frac{a{x}_3+b}{c{x}_3+d}-\frac{a{x}_1+b}{c{x}_1+d}= \\ =\frac{\left(a{x}_3+b\right)\left(c{x}_1+d\right)-\left(a{x}_1+b\right)\left(c{x}_3+d\right)}{\left(c{x}_3+d\right)\left(c{x}_1+d\right)}= \end{gathered}$$
$=\frac{ac{x}_1{x}_3+ad{x}_3+bc{x}_1+bd-ac{x}_1{x}_3-ad{x}_1-bc{x}_3-bd}{\left(c{x}_3+d\right)\left(c{x}_1+d\right)}=$
$$\begin{gathered} =\frac{\left(ad{x}_3-ad{x}_1\right)+\left(bc{x}_1-bc{x}_3\right)}{\left(c{x}_3+d\right)\left(c{x}_1+d\right)}= \\ =\frac{ad\left(x_3-x_1\right)+bc\left(x_1-x_3\right)}{\left(c{x}_3+d\right)\left(c{x}_1+d\right)}= \\ =\frac{ad\left(x_3-x_1\right)-bc\left(x_3-x_1\right)}{\left(c{x}_3+d\right)\left(c{x}_1+d\right)}=\frac{\left(ad-bc\right)\left(x_3-x_1\right)}{\left(c{x}_3+d\right)\left(c{x}_1+d\right)} \end{gathered}$$

Аналогично,

$$\begin{gathered} y_3-y_2=\frac{\left(ad-bc\right)\left(x_3-x_2\right)}{\left(c{x}_3+d\right)\left(c{x}_2+d\right)} \\ {y}_4-y_1=\frac{\left(ad-bc\right)\left(x_4-x_1\right)}{\left(c{x}_4+d\right)\left(c{x}_1+d\right)} \\ {y}_4-y_2=\frac{\left(ad-bc\right)\left(x_4-x_2\right)}{\left(c{x}_4+d\right)\left(c{x}_2+d\right)} \\ \frac{y_3-y_1}{y_3-y_2}:\frac{y_4-y_1}{y_4-y_2}=\frac{\left(y_3-y_1\right)\left(y_4-y_2\right)}{\left(y_3-y_2\right)\left(y_4-y_1\right)}= \\ =\frac{{\displaystyle \frac{\left(ad-bc\right)\left(x_3-x_1\right)}{\left(c{x}_3+d\right)\left(c{x}_1+d\right)}·\frac{\left(ad-bc\right)\left(x_4-x_2\right)}{\left(c{x}_4+d\right)\left(c{x}_2+d\right)}}}{\frac{\left(ad-bc\right)\left(x_3-x_2\right)}{\left(c{x}_3+d\right)\left(c{x}_2+d\right)}·\frac{\left(ad-bc\right)\left(x_4-x_1\right)}{\left(c{x}_4+d\right)\left(c{x}_1+d\right)}}= \\ =\frac{{\displaystyle \frac{x_3-x_1}{c{x}_1+d}·\frac{x_4-x_2}{c{x}_2+d}}}{\frac{x_3-x_2}{c{x}_2+d}·\frac{x_4-x_1}{c{x}_1+d}}= \\ =\frac{x_3-x_1}{c{x}_1+d}·\frac{x_4-x_2}{c{x}_2+d}·\frac{c{x}_2+d}{x_3-x_2}·\frac{c{x}_1+d}{x_4-x_1}= \end{gathered}$$
$=\frac{\left(x_3-x_1\right)\left(x_4-x_2\right)}{\left(x_3-x_2\right)\left(x_4-x_1\right)}=\frac{x_3-x_1}{x_3-x_2}:\frac{x_4-x_1}{x_4-x_2},$ что и требовалось доказать

Для доказательства данного тождества необходимо выразить разность значений функции $y_i - y_j$ через соответствующие значения аргумента $x_i$ и $x_j$.

Функция задана формулой $y = \frac{ax+b}{cx+d}$. Найдем разность $y_i - y_j$ для двух произвольных аргументов $x_i$ и $x_j$:
$y_i - y_j = \frac{ax_i+b}{cx_i+d} - \frac{ax_j+b}{cx_j+d}$

Приведем дроби к общему знаменателю:
$y_i - y_j = \frac{(ax_i+b)(cx_j+d) - (ax_j+b)(cx_i+d)}{(cx_i+d)(cx_j+d)}$

Раскроем скобки в числителе и приведем подобные слагаемые:
$(ax_i+b)(cx_j+d) - (ax_j+b)(cx_i+d) = (acx_ix_j + adx_i + bcx_j + bd) - (acx_jx_i + adx_j + bcx_i + bd)$
$= acx_ix_j + adx_i + bcx_j + bd - acx_ix_j - adx_j - bcx_i - bd$
$= (adx_i - adx_j) + (bcx_j - bcx_i)$
$= ad(x_i - x_j) - bc(x_i - x_j)$
$= (ad-bc)(x_i - x_j)$

Таким образом, мы получили общую формулу для разности значений функции:
$y_i - y_j = \frac{(ad-bc)(x_i - x_j)}{(cx_i+d)(cx_j+d)}$

Теперь рассмотрим левую часть доказываемого тождества. Знак ":" в данном контексте означает деление.
Левая часть = $\frac{y_3 - y_1}{y_3 - y_2} : \frac{y_4 - y_1}{y_4 - y_2} = \frac{y_3 - y_1}{y_3 - y_2} \cdot \frac{y_4 - y_2}{y_4 - y_1}$

Подставим в это выражение полученную ранее формулу для каждой из разностей:
Левая часть = $\frac{\frac{(ad-bc)(x_3 - x_1)}{(cx_3+d)(cx_1+d)}}{\frac{(ad-bc)(x_3 - x_2)}{(cx_3+d)(cx_2+d)}} \cdot \frac{\frac{(ad-bc)(x_4 - x_2)}{(cx_4+d)(cx_2+d)}}{\frac{(ad-bc)(x_4 - x_1)}{(cx_4+d)(cx_1+d)}}$

Поскольку по условию $ad-bc \neq 0$, мы можем сократить этот множитель во всех дробях. Также сокращаются множители $(cx_3+d)$ в первой дроби и $(cx_4+d)$ во второй.
Левая часть = $\frac{\frac{x_3 - x_1}{cx_1+d}}{\frac{x_3 - x_2}{cx_2+d}} \cdot \frac{\frac{x_4 - x_2}{cx_2+d}}{\frac{x_4 - x_1}{cx_1+d}}$

Теперь упростим получившиеся "четырехэтажные" дроби:
Левая часть = $\left(\frac{x_3 - x_1}{x_3 - x_2} \cdot \frac{cx_2+d}{cx_1+d}\right) \cdot \left(\frac{x_4 - x_2}{x_4 - x_1} \cdot \frac{cx_1+d}{cx_2+d}\right)$

Перегруппируем множители и выполним сокращение:
Левая часть = $\left(\frac{x_3 - x_1}{x_3 - x_2} \cdot \frac{x_4 - x_2}{x_4 - x_1}\right) \cdot \left(\frac{cx_2+d}{cx_1+d} \cdot \frac{cx_1+d}{cx_2+d}\right)$
Левая часть = $\left(\frac{x_3 - x_1}{x_3 - x_2} \cdot \frac{x_4 - x_2}{x_4 - x_1}\right) \cdot 1 = \frac{(x_3 - x_1)(x_4 - x_2)}{(x_3 - x_2)(x_4 - x_1)}$

Это выражение в точности совпадает с правой частью исходного тождества:
Правая часть = $\frac{x_3 - x_1}{x_3 - x_2} : \frac{x_4 - x_1}{x_4 - x_2} = \frac{x_3 - x_1}{x_3 - x_2} \cdot \frac{x_4 - x_2}{x_4 - x_1} = \frac{(x_3 - x_1)(x_4 - x_2)}{(x_3 - x_2)(x_4 - x_1)}$

Таким образом, левая часть равна правой части, что и требовалось доказать.

Ответ: Тождество доказано.

1286. Найдите все пары натуральных чисел, удовлетворяющие уравнению х² – у² = 69.

$$\begin{gathered} x^2-y^2=69 \\ \left(x-y\right)\left(x+y\right)=69 \\ \left(x-y\right)\left(x+y\right)=1·69=69·1 \\ \left(x-y\right)\left(x+y\right)=3·23=23·3 \\ \begin{array}{lcl}\left\{\begin{array}{l}x-y=1\\ x+y=69\end{array}\right.& \text{или}& \left\{\begin{array}{l}x-y=69\\ x+y=1\end{array}\right.\\ \left\{\begin{array}{l}2x=70\\ x-y=1\end{array}\right.& & \left\{\begin{array}{l}2x=70\\ x+y=1\end{array}\right.\\ \left\{\begin{array}{l}x=35\\ 35-y=1\end{array}\right.& & \left\{\begin{array}{l}x=35\\ 35+y=1\end{array}\right.\\ \left\{\begin{array}{l}x=35\\ y=34\end{array}\right.& & \left\{\begin{array}{l}x=35\\ y=-34\notin N\end{array}\right.\end{array} \\ \begin{array}{lcl}\left\{\begin{array}{c}x-y=3\\ x+y=23\end{array}\right.& \text{или}& \left\{\begin{array}{c}x-y=23\\ x+y=3\end{array}\right.\\ \left\{\begin{array}{l}2x=26\\ x-y=3\end{array}\right.& & \left\{\begin{array}{l}2x=26\\ x+y=3\end{array}\right.\\ \left\{\begin{array}{l}x=13\\ 13-y=3\end{array}\right.& & \left\{\begin{array}{l}x=13\\ 13+y=3\end{array}\right.\\ \left\{\begin{array}{l}x=13\\ y=10\end{array}\right.& & \left\{\begin{array}{l}x=13\\ y=-10\notin N\end{array}\right.\end{array} \end{gathered}$$

Ответ: $\left(35; 34\right)(35;34)$ или $\left(13; 10\right)(13;10)$

Дано уравнение $x^2 - y^2 = 69$, где $x$ и $y$ — натуральные числа.

Разложим левую часть уравнения на множители, используя формулу разности квадратов $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$:

$(x - y)(x + y) = 69$

Поскольку $x$ и $y$ — натуральные числа, то $x \ge 1$ и $y \ge 1$. Следовательно, их сумма $x+y$ является натуральным числом, и $x+y \ge 1+1=2$.

Так как произведение $(x-y)(x+y) = 69$ положительно и множитель $x+y$ положителен, то и множитель $x-y$ должен быть положительным. Это означает, что $x > y$, и $x-y$ также является натуральным числом.

Таким образом, нам нужно найти два натуральных числа, $x-y$ и $x+y$, произведение которых равно 69. Кроме того, поскольку $y$ — натуральное число ($y>0$), то $x+y > x-y$.

Найдем все пары натуральных делителей числа 69. Разложим 69 на простые множители: $69 = 3 \times 23$. Делителями числа 69 являются 1, 3, 23, 69.

Составим пары множителей $(a, b)$, для которых $a \cdot b = 69$ и $a < b$ (так как $x-y < x+y$):

• $1 \times 69$
• $3 \times 23$

Это дает нам две возможные системы линейных уравнений.

Случай 1. Множители равны 1 и 69.

$\begin{cases} x - y = 1 \\ x + y = 69 \end{cases}$

Сложив два уравнения системы, получим: $(x-y)+(x+y) = 1+69$, что дает $2x = 70$, откуда $x=35$.

Подставим значение $x=35$ во второе уравнение: $35 + y = 69$. Отсюда $y = 69 - 35 = 34$.

Получили пару натуральных чисел $(35, 34)$.

Случай 2. Множители равны 3 и 23.

$\begin{cases} x - y = 3 \\ x + y = 23 \end{cases}$

Сложив два уравнения, получим: $(x-y)+(x+y) = 3+23$, что дает $2x = 26$, откуда $x=13$.

Подставим значение $x=13$ во второе уравнение: $13 + y = 23$. Отсюда $y = 23 - 13 = 10$.

Получили вторую пару натуральных чисел $(13, 10)$.

Других пар делителей для числа 69 не существует, следовательно, мы нашли все решения в натуральных числах.

Ответ: $(13, 10)$, $(35, 34)$.

1287. Докажите, что сумма, разность, произведение и частное чисел вида a + b 2, где а и b — рациональные числа, могут быть представлены в таком же виде.

Пусть даны два числа вида:

$c+d\sqrt{2}c+d\backslash sqrt\{2\}$ и $x+y\sqrt{2}x+y\backslash sqrt\{2\}$

Найдём сумму:

$c+d\sqrt{2}+x+y\sqrt{2}=\left(c+x\right)+\left(d+y\right)\sqrt{2}=a+b\sqrt{2}c+d\backslash sqrt\{2\}+x+y\backslash sqrt\{2\}=(c+x)+(d+y)\; \backslash sqrt\{2\}=a+b\backslash sqrt\{2\}$, где a=c+x, b=d+y

Найдём разность:

$\left(c+d\sqrt{2}\right)-\left(x+y\sqrt{2}\right)=c+d\sqrt{2}-x-y\sqrt{2}=$
$=\left(c-x\right)+\left(d-y\right)\sqrt{2}=a+b\sqrt{2},$ где a=c-x; b=d-y

Найдём произведение:

$\left(c+d\sqrt{2}\right)\left(x+y\sqrt{2}\right)=cx+cy\sqrt{2}+dx\sqrt{2}+2dy=$
$=\left(cx+2dy\right)+\left(cy+dx\right)\sqrt{2}=a+b\sqrt{2},$ где a=cx+2dy, b=cy+dx

Найдём частное:

$$\begin{gathered} \frac{c+d\sqrt{2}}{x+y\sqrt{2}}=\frac{\left(c+d\sqrt{2}\right)\left(x-y\sqrt{2}\right)}{\left(x+y\sqrt{2}\right)\left(x-y\sqrt{2}\right)}= \\ =\frac{cx-cy\sqrt{2}+dx\sqrt{2}-2dy}{x^2-2y^2}= \\ =\frac{\left(cx-2dy\right)+\left(dx-cy\right)\sqrt{2}}{x^2-2y^2}= \end{gathered}$$
$=\frac{cx-2dy}{x^2-2y^2}+\frac{dx-cy}{x^2-2y^2}\sqrt{2}=a+b\sqrt{2}$, где $a=\frac{cx-2dy}{x^2-2y^2}; b=\frac{dx-cy}{x^2-2y^2}$

Пусть даны два числа указанного вида: $x = a_1 + b_1\sqrt{2}$ и $y = a_2 + b_2\sqrt{2}$, где $a_1, b_1, a_2, b_2$ — рациональные числа. Докажем, что результаты арифметических операций над ними могут быть представлены в том же виде.

Сумма
Найдем сумму этих чисел:
$x + y = (a_1 + b_1\sqrt{2}) + (a_2 + b_2\sqrt{2}) = (a_1 + a_2) + (b_1 + b_2)\sqrt{2}$.
Так как сумма рациональных чисел является рациональным числом, то коэффициенты $(a_1 + a_2)$ и $(b_1 + b_2)$ являются рациональными числами. Следовательно, сумма представлена в требуемом виде.
Ответ: $(a_1 + a_2) + (b_1 + b_2)\sqrt{2}$.

Разность
Найдем разность этих чисел:
$x - y = (a_1 + b_1\sqrt{2}) - (a_2 + b_2\sqrt{2}) = (a_1 - a_2) + (b_1 - b_2)\sqrt{2}$.
Так как разность рациональных чисел является рациональным числом, то коэффициенты $(a_1 - a_2)$ и $(b_1 - b_2)$ являются рациональными числами. Следовательно, разность представлена в требуемом виде.
Ответ: $(a_1 - a_2) + (b_1 - b_2)\sqrt{2}$.

Произведение
Найдем произведение этих чисел:
$x \cdot y = (a_1 + b_1\sqrt{2})(a_2 + b_2\sqrt{2}) = a_1a_2 + a_1b_2\sqrt{2} + a_2b_1\sqrt{2} + b_1b_2(\sqrt{2})^2 = (a_1a_2 + 2b_1b_2) + (a_1b_2 + a_2b_1)\sqrt{2}$.
Так как сумма и произведение рациональных чисел являются рациональными числами, то коэффициенты $(a_1a_2 + 2b_1b_2)$ и $(a_1b_2 + a_2b_1)$ являются рациональными числами. Следовательно, произведение представлено в требуемом виде.
Ответ: $(a_1a_2 + 2b_1b_2) + (a_1b_2 + a_2b_1)\sqrt{2}$.

Частное
Найдем частное этих чисел, при условии что делитель $y = a_2 + b_2\sqrt{2} \neq 0$. Это означает, что $a_2$ и $b_2$ не равны нулю одновременно.
$\frac{x}{y} = \frac{a_1 + b_1\sqrt{2}}{a_2 + b_2\sqrt{2}}$.
Умножим числитель и знаменатель на сопряженное к знаменателю выражение $a_2 - b_2\sqrt{2}$, чтобы избавиться от иррациональности в знаменателе:
$\frac{x}{y} = \frac{(a_1 + b_1\sqrt{2})(a_2 - b_2\sqrt{2})}{(a_2 + b_2\sqrt{2})(a_2 - b_2\sqrt{2})} = \frac{(a_1a_2 - 2b_1b_2) + (a_2b_1 - a_1b_2)\sqrt{2}}{a_2^2 - 2b_2^2}$.
Знаменатель $a_2^2 - 2b_2^2$ — рациональное число. Он не равен нулю, поскольку если $a_2^2 - 2b_2^2 = 0$, то $a_2^2 = 2b_2^2$, что для рациональных $a_2, b_2$ возможно только если $a_2=b_2=0$, а это противоречит условию $y \neq 0$.
Теперь частное можно записать в виде:
$\frac{a_1a_2 - 2b_1b_2}{a_2^2 - 2b_2^2} + \left(\frac{a_2b_1 - a_1b_2}{a_2^2 - 2b_2^2}\right)\sqrt{2}$.
Коэффициенты $\frac{a_1a_2 - 2b_1b_2}{a_2^2 - 2b_2^2}$ и $\frac{a_2b_1 - a_1b_2}{a_2^2 - 2b_2^2}$ являются рациональными числами, так как они получены в результате арифметических операций над рациональными числами. Следовательно, частное представлено в требуемом виде.
Ответ: $\frac{a_1a_2 - 2b_1b_2}{a_2^2 - 2b_2^2} + \frac{a_2b_1 - a_1b_2}{a_2^2 - 2b_2^2}\sqrt{2}$.

1288. Пара чисел х = 3, у = 2 является решением уравнения (x + y2)(x - y2) = 1. Покажите, что существует бесконечно много других пар натуральных чисел, удовлетворяющих этому уравнению.

$$\begin{gathered} \left(x+y\sqrt{2}\right)\left(x-y\sqrt{2}\right)=1; x=3; y=2 \\ {\left(\left(x+y\sqrt{2}\right)\left(x-y\sqrt{2}\right)\right)}^n=1^n, n\in N \\ {\left(x^2-2y^2\right)}^n=1 \\ {x}^2-2y^2=1 \\ {x}^2=1+2y^2,\text{ т.к. }x\in N, y\in N,\text{ то }x=\sqrt{1+2y^2} \end{gathered}$$

если y=12, то $x=\sqrt{289}=17$ и т.д.

Следовательно, существует бесконечно много пар натуральных чисел, удовлетворяющих этому уравнению

Преобразуем исходное уравнение, используя формулу разности квадратов $(a+b)(a-b)=a^2-b^2$. В данном случае $a=x$ и $b=y\sqrt{2}$.

$(x + y\sqrt{2})(x - y\sqrt{2}) = x^2 - (y\sqrt{2})^2 = x^2 - 2y^2$.

Таким образом, исходное уравнение эквивалентно уравнению: $x^2 - 2y^2 = 1$. Это уравнение является частным случаем уравнения Пелля.

По условию, пара чисел $x=3, y=2$ является решением. Проверим это, подставив значения в преобразованное уравнение: $3^2 - 2 \cdot 2^2 = 9 - 2 \cdot 4 = 9 - 8 = 1$. Равенство выполняется, следовательно, пара $(3, 2)$ действительно является решением.

Для доказательства существования бесконечного множества других решений воспользуемся свойством решений уравнения Пелля. Если $(x_1, y_1)$ — решение, то новые решения $(x_n, y_n)$ можно получить из выражения $(x_1 + y_1\sqrt{2})^n$, где $n$ — любое натуральное число.

Пусть $x_n + y_n\sqrt{2} = (3 + 2\sqrt{2})^n$. Покажем, что для любого натурального $n$ пара $(x_n, y_n)$ будет решением уравнения, и что $x_n, y_n$ — натуральные числа.

При раскрытии скобок в выражении $(3 + 2\sqrt{2})^n$ по формуле бинома Ньютона, все слагаемые будут положительными. После приведения подобных членов выражение примет вид $A + B\sqrt{2}$, где $A$ и $B$ — натуральные числа. Таким образом, $x_n = A$ и $y_n = B$ являются натуральными числами.

Например, для $n=2$:
$(3 + 2\sqrt{2})^2 = 3^2 + 2 \cdot 3 \cdot 2\sqrt{2} + (2\sqrt{2})^2 = 9 + 12\sqrt{2} + 8 = 17 + 12\sqrt{2}$. Мы получили новую пару натуральных чисел $(x_2, y_2) = (17, 12)$. Проверим, является ли она решением: $17^2 - 2 \cdot 12^2 = 289 - 2 \cdot 144 = 289 - 288 = 1$. Да, это новое решение.

Докажем в общем виде. Если $x_n + y_n\sqrt{2} = (3 + 2\sqrt{2})^n$, то сопряженное ему число будет $x_n - y_n\sqrt{2} = (3 - 2\sqrt{2})^n$. Перемножим эти равенства: $(x_n + y_n\sqrt{2})(x_n - y_n\sqrt{2}) = (3 + 2\sqrt{2})^n(3 - 2\sqrt{2})^n$.

В левой части получим $x_n^2 - 2y_n^2$. В правой части: $((3 + 2\sqrt{2})(3 - 2\sqrt{2}))^n = (3^2 - (2\sqrt{2})^2)^n = (9-8)^n = 1^n = 1$.

Таким образом, мы доказали, что для любого натурального $n$, пара $(x_n, y_n)$, полученная из разложения $(3 + 2\sqrt{2})^n$, является решением уравнения $x^2 - 2y^2 = 1$.

Осталось показать, что этот процесс порождает бесконечно много различных решений. Рассмотрим числовую последовательность $a_n = (3 + 2\sqrt{2})^n$. Поскольку основание степени $3 + 2\sqrt{2} > 1$, эта последовательность является строго возрастающей: $a_1 < a_2 < a_3 < \dots$. Следовательно, для разных натуральных $n$ мы получаем разные значения $a_n = x_n + y_n\sqrt{2}$. Так как $x_n$ и $y_n$ — натуральные числа, то и пары $(x_n, y_n)$ будут различными для разных $n$.

Поскольку существует бесконечно много натуральных чисел $n$, мы можем сгенерировать бесконечное множество различных пар $(x_n, y_n)$, являющихся решениями данного уравнения.

Ответ: Исходное уравнение $(x + y\sqrt{2})(x - y\sqrt{2}) = 1$ равносильно уравнению $x^2 - 2y^2 = 1$. Это уравнение Пелля. Если $(x_1, y_1)$ является его решением в натуральных числах (в задаче дано решение $(3, 2)$), то пары $(x_n, y_n)$, определяемые для каждого натурального $n \ge 1$ из равенства $x_n + y_n\sqrt{2} = (3 + 2\sqrt{2})^n$, также являются решениями в натуральных числах. Так как $3 + 2\sqrt{2} > 1$, то для разных $n$ получаются разные пары $(x_n, y_n)$. Это означает, что существует бесконечно много пар натуральных чисел, удовлетворяющих данному уравнению.

1289. При каком значении m сумма квадратов корней уравнения х² + х + m = 0 равна 13?

$$\begin{gathered} x^2+x+m=0 \\ {x}_1^2+x_2^2=13 \\ {\left(x_1+x_2\right)}^2-2x_1{x}_2=13 \\ {\left(-1\right)}^2-2m=13 \\ 1-2m=13 \\ 2m=-12 \\ m=-6 \end{gathered}$$

Ответ: при m=-6

Дано квадратное уравнение $x^2 + x + m = 0$. Пусть $x_1$ и $x_2$ — его корни.

Для того чтобы решить задачу, воспользуемся теоремой Виета. Для приведенного квадратного уравнения вида $x^2 + px + q = 0$, теорема Виета устанавливает следующие соотношения между корнями и коэффициентами:

• Сумма корней: $x_1 + x_2 = -p$
• Произведение корней: $x_1 \cdot x_2 = q$

В нашем уравнении $x^2 + x + m = 0$ коэффициенты равны $p=1$ и $q=m$. Следовательно:

• $x_1 + x_2 = -1$
• $x_1 \cdot x_2 = m$

По условию задачи сумма квадратов корней равна 13:

$x_1^2 + x_2^2 = 13$

Чтобы связать это условие с теоремой Виета, выразим сумму квадратов корней через их сумму и произведение. Для этого воспользуемся формулой квадрата суммы:

$(x_1 + x_2)^2 = x_1^2 + 2x_1x_2 + x_2^2$

Отсюда можно выразить сумму квадратов:

$x_1^2 + x_2^2 = (x_1 + x_2)^2 - 2x_1x_2$

Теперь подставим в это равенство известные нам значения: $x_1 + x_2 = -1$, $x_1 \cdot x_2 = m$ и $x_1^2 + x_2^2 = 13$.

$13 = (-1)^2 - 2 \cdot m$

Получили линейное уравнение относительно $m$. Решим его:

$13 = 1 - 2m$

$2m = 1 - 13$

$2m = -12$

$m = \frac{-12}{2}$

$m = -6$

Необходимо также убедиться, что при найденном значении $m$ уравнение имеет действительные корни. Для этого дискриминант $D$ должен быть неотрицательным ($D \ge 0$).

$D = b^2 - 4ac = 1^2 - 4 \cdot 1 \cdot m = 1 - 4m$

Подставим $m = -6$:

$D = 1 - 4(-6) = 1 + 24 = 25$

Так как $D = 25 > 0$, уравнение имеет два различных действительных корня, следовательно, найденное значение $m$ является решением задачи.

Ответ: $m = -6$.

1290. Решите уравнение (х² – а²)² = 4ах + 1 относительно х.

$$\begin{gathered} {\left(x^2-a^2\right)}^2=4ax+1 \\ {\left(\left(x-a\right)\left(x+a\right)\right)}^2=x^2+2ax+a^2-\left(x^2-2ax+a^2\right)+1 \\ {\left(x-a\right)}^2{\left(x+a\right)}^2={\left(x+a\right)}^2-{\left(x-a\right)}^2+1 \\ {\left(x-a\right)}^2{\left(x+a\right)}^2-\left({\left(x+a\right)}^2-{\left(x-a\right)}^2\right)=1 \\ {\left(x-a\right)}^2{\left(x+a\right)}^2-{\left(x+a\right)}^2+{\left(x-a\right)}^2=1 \\ {\left(x-a\right)}^2\left({\left(x+a\right)}^2+1\right)=1+{\left(x+a\right)}^2 \\ {\left(x-a\right)}^2=\frac{1+{\left(x+a\right)}^2}{1+{\left(x+a\right)}^2} \\ {\left(x-a\right)}^2=1 \\ \begin{array}{lcl}x-a=1& \text{или}& x-a=-1\\ x=a+1& & x=a-1\end{array} \end{gathered}$$

Ответ: $x=a+1; x=a-1x=a+1;\; \backslash quad\; x=a-1$

Исходное уравнение: $(x^2 - a^2)^2 = 4ax + 1$.

Это уравнение является уравнением четвертой степени относительно переменной $x$. Для его решения преобразуем обе части так, чтобы они стали полными квадратами. Сначала раскроем скобки в левой части:

$x^4 - 2a^2x^2 + a^4 = 4ax + 1$

Для того чтобы в левой части получился полный квадрат суммы, а не разности, прибавим к обеим частям уравнения выражение $4a^2x^2$:

$(x^4 - 2a^2x^2 + a^4) + 4a^2x^2 = (4ax + 1) + 4a^2x^2$

Упростим левую часть и перегруппируем слагаемые в правой части:

$x^4 + 2a^2x^2 + a^4 = 4a^2x^2 + 4ax + 1$

Теперь обе части уравнения можно представить в виде полных квадратов:

$(x^2 + a^2)^2 = (2ax + 1)^2$

Уравнение вида $A^2 = B^2$ равносильно совокупности двух уравнений: $A = B$ или $A = -B$. Рассмотрим оба случая.

Случай 1: $x^2 + a^2 = 2ax + 1$

Перенесем все члены в левую часть:

$x^2 - 2ax + a^2 - 1 = 0$

Сгруппируем первые три слагаемых, которые образуют полный квадрат разности:

$(x - a)^2 - 1 = 0$

$(x - a)^2 = 1$

Извлекая квадратный корень из обеих частей, получаем:

$x - a = 1$ или $x - a = -1$

Отсюда находим два действительных корня:

$x_1 = a + 1$

$x_2 = a - 1$

Случай 2: $x^2 + a^2 = -(2ax + 1)$

Раскроем скобки и перенесем все члены в левую часть:

$x^2 + a^2 = -2ax - 1$

$x^2 + 2ax + a^2 + 1 = 0$

Сгруппируем первые три слагаемых, которые образуют полный квадрат суммы:

$(x + a)^2 + 1 = 0$

$(x + a)^2 = -1$

Данное уравнение не имеет действительных решений, поскольку квадрат любого действительного числа не может быть отрицательным (т.е. $(x + a)^2 \ge 0$ для любых действительных $x$ и $a$).

Таким образом, единственными действительными решениями исходного уравнения являются те, что были найдены в первом случае.

Ответ: $x = a + 1; x = a - 1$.

1291. Найдите наименьшее значение выражения

(а – 1)(а – 2)(а – 5)(а – 6) + 9.

$$\begin{gathered} \left(a-1\right)\left(a-2\right)\left(a-5\right)\left(a-6\right)+9= \\ =\left(\left(a-1\right)\left(a-6\right)\right)·\left(\left(a-2\right)\left(a-5\right)\right)+9= \\ =\left(a^2-7a+6\right)·\left(a^2-7a+10\right)+9 \\ {a}^2-7a=t \\ \left(t+6\right)\left(t+10\right)+9=t^2+16t+60+9=t^2+16t+69= \\ =t^2+16t+64+5={\left(t+8\right)}^2+5 \\ {\left(a^2-7a+8\right)}^2+5 \end{gathered}$$

Наименьшее значение выражения равно 5 при

$$\begin{gathered} a^2-7a+8=0 \\ D={\left(-7\right)}^2-4·1·8=49-32=17 \\ a=\frac{7\pm \sqrt{17}}{2} \end{gathered}$$

Ответ: 5 при $a=\frac{7\pm \sqrt{17}}{2}a=\backslash frac\{7\; \backslash pm\; \backslash sqrt\{17\}\}\{2\}$

Обозначим данное выражение как $E(a) = (a - 1)(a - 2)(a - 5)(a - 6) + 9$.

Для упрощения выражения сгруппируем множители. Заметим, что суммы свободных членов в парах скобок $(a-1)$ и $(a-6)$, а также $(a-2)$ и $(a-5)$ равны: $-1 + (-6) = -7$ и $-2 + (-5) = -7$. Перегруппируем множители в соответствии с этим наблюдением:
$E(a) = [(a - 1)(a - 6)] \cdot [(a - 2)(a - 5)] + 9$.

Теперь раскроем скобки в каждой группе:
$(a - 1)(a - 6) = a^2 - 6a - a + 6 = a^2 - 7a + 6$.
$(a - 2)(a - 5) = a^2 - 5a - 2a + 10 = a^2 - 7a + 10$.

Подставим полученные выражения обратно и введем замену переменной для дальнейшего упрощения. Пусть $t = a^2 - 7a$.
$E(a) = (a^2 - 7a + 6)(a^2 - 7a + 10) + 9 = (t + 6)(t + 10) + 9$.

Раскроем скобки и приведем подобные слагаемые в выражении для $t$:
$E(t) = t^2 + 10t + 6t + 60 + 9 = t^2 + 16t + 69$.

Мы получили квадратичную функцию от $t$. Графиком этой функции является парабола, ветви которой направлены вверх, следовательно, она имеет наименьшее значение в своей вершине. Найдем наименьшее значение этого выражения, выделив полный квадрат:
$t^2 + 16t + 69 = (t^2 + 2 \cdot t \cdot 8 + 8^2) - 8^2 + 69 = (t + 8)^2 - 64 + 69 = (t + 8)^2 + 5$.

Выражение $(t + 8)^2$ всегда неотрицательно, то есть $(t + 8)^2 \ge 0$. Наименьшее значение этого слагаемого равно 0 и достигается при $t = -8$. Следовательно, наименьшее значение всего выражения $E(t)$ равно $0 + 5 = 5$.

Необходимо убедиться, что значение $t = -8$ достижимо, то есть существует такое действительное число $a$, что $a^2 - 7a = -8$.
Решим уравнение: $a^2 - 7a + 8 = 0$.
Найдем дискриминант: $D = (-7)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 8 = 49 - 32 = 17$.
Поскольку $D = 17 > 0$, уравнение имеет два действительных корня. Это означает, что значение $t = -8$ является достижимым.

Таким образом, наименьшее значение исходного выражения равно 5.
Ответ: 5.