Номер 1283, страница 283 - гдз по алгебре 8 класс учебник Макарычев, Миндюк

Задачи повышенной трудности - номер 1283, страница 283.

1283. Представьте многочлен х⁸ + х⁴ + 1 в виде произведения четырёх многочленов ненулевой степени.

$$\begin{gathered} x^8+x^4+1=x^8+2x^4+1-x^4={\left(x^4+1\right)}^2-{\left(x^2\right)}^2= \\ =\left(x^4+1-x^2\right)\left(x^4+1+x^2\right)= \\ =\left(x^4+2x^2+1-3x^2\right)\left(x^4+2x^2+1-x^2\right)= \\ =\left({\left(x^2+1\right)}^2-3x^2\right)\left({\left(x^2+1\right)}^2-x^2\right)= \\ =\left(x^2+1+x\sqrt{3}\right)\left(x^2+1-x\sqrt{3}\right)\left(x^2+1-x\right)\left(x^2+1+x\right) \end{gathered}$$

Для разложения многочлена $x^8 + x^4 + 1$ на множители воспользуемся методом добавления и вычитания слагаемого для получения формулы разности квадратов.

Сначала добавим и вычтем $x^4$, чтобы выделить полный квадрат:

$x^8 + x^4 + 1 = (x^8 + 2x^4 + 1) - x^4$

Выражение в скобках является полным квадратом $(x^4 + 1)^2$, а $x^4$ можно представить как $(x^2)^2$. Таким образом, мы получаем разность квадратов:

$(x^4 + 1)^2 - (x^2)^2$

Применим формулу разности квадратов $a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)$, где $a = x^4 + 1$ и $b = x^2$:

$(x^4 + 1 - x^2)(x^4 + 1 + x^2) = (x^4 - x^2 + 1)(x^4 + x^2 + 1)$

Теперь у нас есть произведение двух многочленов. Чтобы получить четыре множителя, как требуется в условии, необходимо разложить каждый из этих двух многочленов.

Рассмотрим многочлен $x^4 + x^2 + 1$. Снова применим тот же метод. Добавим и вычтем $x^2$:

$x^4 + x^2 + 1 = (x^4 + 2x^2 + 1) - x^2 = (x^2 + 1)^2 - x^2$

Используя формулу разности квадратов, где $a = x^2 + 1$ и $b = x$, получаем:

$(x^2 + 1 - x)(x^2 + 1 + x) = (x^2 - x + 1)(x^2 + x + 1)$

Теперь рассмотрим многочлен $x^4 - x^2 + 1$. Для его разложения также выделим полный квадрат, но несколько иначе. Дополним $x^4 + 1$ до полного квадрата $(x^2+1)^2$ путем прибавления и вычитания $2x^2$:

$x^4 - x^2 + 1 = (x^4 + 2x^2 + 1) - 3x^2 = (x^2 + 1)^2 - (\sqrt{3}x)^2$

Это снова разность квадратов. Применим формулу, где $a = x^2 + 1$ и $b = \sqrt{3}x$:

$(x^2 + 1 - \sqrt{3}x)(x^2 + 1 + \sqrt{3}x) = (x^2 - \sqrt{3}x + 1)(x^2 + \sqrt{3}x + 1)$

Собирая все множители вместе, получаем окончательное разложение исходного многочлена на четыре множителя ненулевой степени (в данном случае, второй степени):

$(x^2 + x + 1)(x^2 - x + 1)(x^2 + \sqrt{3}x + 1)(x^2 - \sqrt{3}x + 1)$

Ответ: $(x^2 + x + 1)(x^2 - x + 1)(x^2 - \sqrt{3}x + 1)(x^2 + \sqrt{3}x + 1)$.