Номер 1287, страница 283 - гдз по алгебре 8 класс учебник Макарычев, Миндюк

Задачи повышенной трудности - номер 1287, страница 283.

1287. Докажите, что сумма, разность, произведение и частное чисел вида a + b 2, где а и b — рациональные числа, могут быть представлены в таком же виде.

Пусть даны два числа вида:

$c+d\sqrt{2}c+d\backslash sqrt\{2\}$ и $x+y\sqrt{2}x+y\backslash sqrt\{2\}$

Найдём сумму:

$c+d\sqrt{2}+x+y\sqrt{2}=\left(c+x\right)+\left(d+y\right)\sqrt{2}=a+b\sqrt{2}c+d\backslash sqrt\{2\}+x+y\backslash sqrt\{2\}=(c+x)+(d+y)\; \backslash sqrt\{2\}=a+b\backslash sqrt\{2\}$, где a=c+x, b=d+y

Найдём разность:

$\left(c+d\sqrt{2}\right)-\left(x+y\sqrt{2}\right)=c+d\sqrt{2}-x-y\sqrt{2}=$
$=\left(c-x\right)+\left(d-y\right)\sqrt{2}=a+b\sqrt{2},$ где a=c-x; b=d-y

Найдём произведение:

$\left(c+d\sqrt{2}\right)\left(x+y\sqrt{2}\right)=cx+cy\sqrt{2}+dx\sqrt{2}+2dy=$
$=\left(cx+2dy\right)+\left(cy+dx\right)\sqrt{2}=a+b\sqrt{2},$ где a=cx+2dy, b=cy+dx

Найдём частное:

$$\begin{gathered} \frac{c+d\sqrt{2}}{x+y\sqrt{2}}=\frac{\left(c+d\sqrt{2}\right)\left(x-y\sqrt{2}\right)}{\left(x+y\sqrt{2}\right)\left(x-y\sqrt{2}\right)}= \\ =\frac{cx-cy\sqrt{2}+dx\sqrt{2}-2dy}{x^2-2y^2}= \\ =\frac{\left(cx-2dy\right)+\left(dx-cy\right)\sqrt{2}}{x^2-2y^2}= \end{gathered}$$
$=\frac{cx-2dy}{x^2-2y^2}+\frac{dx-cy}{x^2-2y^2}\sqrt{2}=a+b\sqrt{2}$, где $a=\frac{cx-2dy}{x^2-2y^2}; b=\frac{dx-cy}{x^2-2y^2}$

Пусть даны два числа указанного вида: $x = a_1 + b_1\sqrt{2}$ и $y = a_2 + b_2\sqrt{2}$, где $a_1, b_1, a_2, b_2$ — рациональные числа. Докажем, что результаты арифметических операций над ними могут быть представлены в том же виде.

Сумма
Найдем сумму этих чисел:
$x + y = (a_1 + b_1\sqrt{2}) + (a_2 + b_2\sqrt{2}) = (a_1 + a_2) + (b_1 + b_2)\sqrt{2}$.
Так как сумма рациональных чисел является рациональным числом, то коэффициенты $(a_1 + a_2)$ и $(b_1 + b_2)$ являются рациональными числами. Следовательно, сумма представлена в требуемом виде.
Ответ: $(a_1 + a_2) + (b_1 + b_2)\sqrt{2}$.

Разность
Найдем разность этих чисел:
$x - y = (a_1 + b_1\sqrt{2}) - (a_2 + b_2\sqrt{2}) = (a_1 - a_2) + (b_1 - b_2)\sqrt{2}$.
Так как разность рациональных чисел является рациональным числом, то коэффициенты $(a_1 - a_2)$ и $(b_1 - b_2)$ являются рациональными числами. Следовательно, разность представлена в требуемом виде.
Ответ: $(a_1 - a_2) + (b_1 - b_2)\sqrt{2}$.

Произведение
Найдем произведение этих чисел:
$x \cdot y = (a_1 + b_1\sqrt{2})(a_2 + b_2\sqrt{2}) = a_1a_2 + a_1b_2\sqrt{2} + a_2b_1\sqrt{2} + b_1b_2(\sqrt{2})^2 = (a_1a_2 + 2b_1b_2) + (a_1b_2 + a_2b_1)\sqrt{2}$.
Так как сумма и произведение рациональных чисел являются рациональными числами, то коэффициенты $(a_1a_2 + 2b_1b_2)$ и $(a_1b_2 + a_2b_1)$ являются рациональными числами. Следовательно, произведение представлено в требуемом виде.
Ответ: $(a_1a_2 + 2b_1b_2) + (a_1b_2 + a_2b_1)\sqrt{2}$.

Частное
Найдем частное этих чисел, при условии что делитель $y = a_2 + b_2\sqrt{2} \neq 0$. Это означает, что $a_2$ и $b_2$ не равны нулю одновременно.
$\frac{x}{y} = \frac{a_1 + b_1\sqrt{2}}{a_2 + b_2\sqrt{2}}$.
Умножим числитель и знаменатель на сопряженное к знаменателю выражение $a_2 - b_2\sqrt{2}$, чтобы избавиться от иррациональности в знаменателе:
$\frac{x}{y} = \frac{(a_1 + b_1\sqrt{2})(a_2 - b_2\sqrt{2})}{(a_2 + b_2\sqrt{2})(a_2 - b_2\sqrt{2})} = \frac{(a_1a_2 - 2b_1b_2) + (a_2b_1 - a_1b_2)\sqrt{2}}{a_2^2 - 2b_2^2}$.
Знаменатель $a_2^2 - 2b_2^2$ — рациональное число. Он не равен нулю, поскольку если $a_2^2 - 2b_2^2 = 0$, то $a_2^2 = 2b_2^2$, что для рациональных $a_2, b_2$ возможно только если $a_2=b_2=0$, а это противоречит условию $y \neq 0$.
Теперь частное можно записать в виде:
$\frac{a_1a_2 - 2b_1b_2}{a_2^2 - 2b_2^2} + \left(\frac{a_2b_1 - a_1b_2}{a_2^2 - 2b_2^2}\right)\sqrt{2}$.
Коэффициенты $\frac{a_1a_2 - 2b_1b_2}{a_2^2 - 2b_2^2}$ и $\frac{a_2b_1 - a_1b_2}{a_2^2 - 2b_2^2}$ являются рациональными числами, так как они получены в результате арифметических операций над рациональными числами. Следовательно, частное представлено в требуемом виде.
Ответ: $\frac{a_1a_2 - 2b_1b_2}{a_2^2 - 2b_2^2} + \frac{a_2b_1 - a_1b_2}{a_2^2 - 2b_2^2}\sqrt{2}$.