Номер 1282, страница 283 - гдз по алгебре 8 класс учебник Макарычев, Миндюк

Задачи повышенной трудности - номер 1282, страница 283.

1282. Найдите все целые значения функции которые она принимает при целых х.

$$\begin{gathered} y=\sqrt{12+2\sqrt{35+2x-x^2}}-\sqrt{12-2\sqrt{35+2x-x^2}} \\ {y}^2=12+2\sqrt{35+2x-x^2}+12-2\sqrt{35+2x-x^2}- \\ -2\sqrt{(12+2\sqrt{35+2x-x^2})(12-2\sqrt{35+2x-x^2})} \\ {y}^2=24-2\sqrt{144-4(35+2x-x^2)} \\ {y}^2=24-2\sqrt{144-140-8x+4x^2} \\ {y}^2=24-2\sqrt{4-8x+4x^2} \\ {y}^2=24-2\sqrt{{\left(2x-2\right)}^2} \\ {y}^2=24-2\mathrm{\mid }2x-2\mathrm{\mid } \\ {y}^2=24-2·2\mathrm{\mid }x-1\mathrm{\mid } \\ {y}^2=24-4\mathrm{\mid }x-1\mathrm{\mid } \\ {y}^2=4\left(6-\mathrm{\mid }x-1\mathrm{\mid }\right) \\ y=\pm \sqrt{4\left(6-\mathrm{\mid }x-1\mathrm{\mid }\right)} \\ y=\pm 2\sqrt{6-\mathrm{\mid }x-1\mathrm{\mid }} \end{gathered}$$

Т.к. $y\ge 0y\; \backslash ge\; 0$, то $y=2\sqrt{6-\mathrm{\mid }x-1\mathrm{\mid }}$

$$\begin{gathered} 6-\mathrm{\mid }x-1\mathrm{\mid }\ge 0 \\ \mathrm{\mid }x-1\mathrm{\mid }\le 6 \\ \left\{\begin{array}{l}x-1\ge 0\\ x-1\le 6\end{array}\right.\left\{\begin{array}{l}x\ge 1\\ x\le 7\end{array}\right.x\in [1; 7] \\ \left\{\begin{array}{l}x-1<0\\ -x+1\le 6\end{array}\right.\left\{\begin{array}{l}x<1\\ -x\le 5\end{array}\right.\left\{\begin{array}{l}x<1\\ x\ge -5\end{array}\right.x\in [-5; 1) \end{gathered}$$

Объединяя два промежутка, получим $x\in [-5; 7]x\; \backslash in[-5\; ;\; 7]$

Т.к. $x\in Zx\; \backslash in\; Z$, то

$$\begin{gathered} x=-5; y=2\sqrt{6-\mathrm{\mid }-5-1\mathrm{\mid }}=2·0=0\in Z\mathrm{✓} \\ x=-4; y=2\sqrt{6-\mathrm{\mid }-4-1\mathrm{\mid }}=2\in Z\mathrm{✓} \\ x=-3; y=2\sqrt{6-\mathrm{\mid }-3-1\mathrm{\mid }}=2\sqrt{2}\notin Z \\ x=-2; y=2\sqrt{6-\mathrm{\mid }-2-1\mathrm{\mid }}=2\sqrt{3}\notin Z \\ x=-1; y=2\sqrt{6-\mathrm{\mid }-1-1\mathrm{\mid }}=2·2=4\in Z\mathrm{✓} \\ x=0; y=2\sqrt{6-\mathrm{\mid }0-1\mathrm{\mid }}=2\sqrt{5}\notin Z \\ x=1; y=2\sqrt{6-\mathrm{\mid }1-1\mathrm{\mid }}=2\sqrt{6}\notin Z \\ x=2; y=2\sqrt{6-\mathrm{\mid }2-1\mathrm{\mid }}=2\sqrt{5}\notin Z \\ x=3; y=2\sqrt{6-\mathrm{\mid }3-1\mathrm{\mid }}=2·2=4\in Z\mathrm{✓} \\ x=4; y=2\sqrt{6-\mathrm{\mid }4-1\mathrm{\mid }}=2\sqrt{3}\notin Z \\ x=5; y=2\sqrt{6-\mathrm{\mid }5-1\mathrm{\mid }}=2\sqrt{2}\notin Z \\ x=6; y=2\sqrt{6-\mathrm{\mid }6-1\mathrm{\mid }}=2\in Z\mathrm{✓} \\ x=7; y=2\sqrt{6-\mathrm{\mid }7-1\mathrm{\mid }}=2·0=0\in Z\mathrm{✓} \end{gathered}$$

Ответ: 0; 2; 4

1. Найдем область определения функции.

Для того чтобы функция $y = \sqrt{12 + 2\sqrt{35 + 2x - x^2}} - \sqrt{12 - 2\sqrt{35 + 2x - x^2}}$ была определена, все выражения под знаками корней должны быть неотрицательными. Это приводит к системе неравенств:

а) $35 + 2x - x^2 \ge 0$

б) $12 - 2\sqrt{35 + 2x - x^2} \ge 0$

Рассмотрим первое неравенство:

$35 + 2x - x^2 \ge 0 \implies x^2 - 2x - 35 \le 0$.

Найдем корни квадратного трехчлена $x^2 - 2x - 35 = 0$. Используя формулу для корней квадратного уравнения или теорему Виета, получаем $x_1 = -5$ и $x_2 = 7$. Так как парабола $f(x) = x^2 - 2x - 35$ имеет ветви, направленные вверх, неравенство $f(x) \le 0$ выполняется между корнями: $-5 \le x \le 7$.

Рассмотрим второе неравенство:

$12 - 2\sqrt{35 + 2x - x^2} \ge 0 \implies 12 \ge 2\sqrt{35 + 2x - x^2} \implies 6 \ge \sqrt{35 + 2x - x^2}$.

Поскольку обе части неравенства неотрицательны, можно возвести их в квадрат:

$36 \ge 35 + 2x - x^2 \implies x^2 - 2x + 1 \ge 0 \implies (x-1)^2 \ge 0$.

Это неравенство справедливо для любых действительных значений $x$.

Таким образом, область определения функции задается условием $-5 \le x \le 7$. По условию задачи $x$ — целое число, поэтому $x \in \{-5, -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7\}$.

2. Упростим выражение для функции.

Определим знак функции $y$. Так как $\sqrt{35 + 2x - x^2} \ge 0$, очевидно, что $12 + 2\sqrt{35 + 2x - x^2} \ge 12 - 2\sqrt{35 + 2x - x^2}$. Следовательно, $\sqrt{12 + 2\sqrt{35 + 2x - x^2}} \ge \sqrt{12 - 2\sqrt{35 + 2x - x^2}}$, что означает $y \ge 0$.

Возведем обе части уравнения для $y$ в квадрат:

$y^2 = \left(\sqrt{12 + 2\sqrt{35 + 2x - x^2}} - \sqrt{12 - 2\sqrt{35 + 2x - x^2}}\right)^2$

$y^2 = (12 + 2\sqrt{35 + 2x - x^2}) - 2\sqrt{(12 + 2\sqrt{35 + 2x - x^2})(12 - 2\sqrt{35 + 2x - x^2})} + (12 - 2\sqrt{35 + 2x - x^2})$

Используя формулу разности квадратов $(a+b)(a-b)=a^2-b^2$ под корнем, получаем:

$y^2 = 24 - 2\sqrt{12^2 - (2\sqrt{35 + 2x - x^2})^2}$

$y^2 = 24 - 2\sqrt{144 - 4(35 + 2x - x^2)}$

$y^2 = 24 - 2\sqrt{144 - 140 - 8x + 4x^2}$

$y^2 = 24 - 2\sqrt{4 - 8x + 4x^2}$

$y^2 = 24 - 2\sqrt{4(x^2 - 2x + 1)}$

$y^2 = 24 - 2\sqrt{4(x-1)^2}$

$y^2 = 24 - 2(2|x-1|)$

$y^2 = 24 - 4|x-1|$

Так как мы установили, что $y \ge 0$, можно извлечь квадратный корень из обеих частей:

$y = \sqrt{24 - 4|x-1|} = \sqrt{4(6 - |x-1|)} = 2\sqrt{6 - |x-1|}$.

3. Найдем все целые значения функции.

Мы получили упрощенную формулу для функции: $y = 2\sqrt{6 - |x-1|}$. Нам нужно найти, какие целые значения принимает $y$ при целых $x$ из отрезка $[-5, 7]$.

Для того чтобы $y$ было целым числом, выражение под корнем, $6 - |x-1|$, должно быть полным квадратом неотрицательного целого числа (например, $0, 1, 4, 9, ...$).

Найдем возможные значения $|x-1|$ для целых $x \in [-5, 7]$:

Если $x$ пробегает значения от $-5$ до $7$, то $x-1$ пробегает значения от $-6$ до $6$. Следовательно, $|x-1|$ может принимать целые значения от $0$ до $6$.

Проверим, при каких значениях $|x-1|$ выражение $6 - |x-1|$ является полным квадратом:

• Если $|x-1| = 6$ (это соответствует $x=-5$ и $x=7$), то $6 - 6 = 0 = 0^2$. В этом случае $y = 2\sqrt{0} = 0$.

• Если $|x-1| = 5$ (это соответствует $x=-4$ и $x=6$), то $6 - 5 = 1 = 1^2$. В этом случае $y = 2\sqrt{1} = 2$.

• Если $|x-1| = 4$ (это соответствует $x=-3$ и $x=5$), то $6 - 4 = 2$, что не является полным квадратом.

• Если $|x-1| = 3$ (это соответствует $x=-2$ и $x=4$), то $6 - 3 = 3$, что не является полным квадратом.

• Если $|x-1| = 2$ (это соответствует $x=-1$ и $x=3$), то $6 - 2 = 4 = 2^2$. В этом случае $y = 2\sqrt{4} = 4$.

• Если $|x-1| = 1$ (это соответствует $x=0$ и $x=2$), то $6 - 1 = 5$, что не является полным квадратом.

• Если $|x-1| = 0$ (это соответствует $x=1$), то $6 - 0 = 6$, что не является полным квадратом.

Таким образом, функция принимает целые значения только тогда, когда $6 - |x-1|$ равно $0, 1$ или $4$. Эти значения $y$ равны $0, 2, 4$.

Ответ: $\{0, 2, 4\}$.