Номер 1279, страница 282 - гдз по алгебре 8 класс учебник Макарычев, Миндюк

Задачи повышенной трудности - номер 1279, страница 282.

1279. Найдите все двузначные числа ab, где b > a, при которых значение дроби aba + b равно целому числу.

$$\begin{gathered} \frac{\overline{ab}}{a+b}=\frac{10a+b}{a+b}=m,\text{ где }m\in Z \\ 10a+b=m\left(a+b\right) \\ 10a+b=ma+mb \\ 10a-ma=mb-b \\ a\left(10-m\right)=b\left(m-1\right) \\ \begin{array}{cl}\text{ T.к. }a<b\text{ то }& 10-m>m-1\\ & 10+1>m+m\\ & 2m<11\\ & m<5,5\end{array} \\ \text{T.к. }m\in Z,\text{ то }m\le 5 \\ \begin{array}{cl}\text{Если }m=5,\text{ то }& a\left(10-5\right)=b·\left(5-1\right)\\ & 5a=4b\\ & a=\frac{4b}{5}\\ & \text{при }b=5; a=4; 45\end{array} \\ \begin{array}{cl}\text{Если }m=4,\text{ то }& 6a=3b\\ & 2a=b\\ & \text{при }a=1; b=2; 12\\ & \text{при }a=2; b=4; 24\\ & \text{при }a=3; b=6; 36\\ & \text{при }a=4; b=8; 48\end{array} \\ \begin{array}{cl}\text{Если }m=3,\text{ то }& 7a=2b\\ & a=\frac{2b}{7}\\ & \text{при }b=7; a=2; 27\end{array} \\ \begin{array}{cl}\text{Если }m=2,\text{ то }& 8a=b\\ & \text{при }a=1; b=8; 18\end{array} \\ \text{Если }m=1,\text{ то }9a=0,\text{ чисел нет } \end{gathered}$$

Ответ: 12; 18; 24; 27; 36; 45; 48

Пусть искомое двузначное число представлено в виде $\overline{ab}$, где $a$ — цифра десятков, а $b$ — цифра единиц. Значение этого числа равно $10a + b$. По условию $a$ и $b$ — это цифры, причем $a \in \{1, 2, ..., 9\}$, $b \in \{0, 1, ..., 9\}$ и $b > a$.

Нам дано, что значение дроби $\frac{\overline{ab}}{a+b}$ является целым числом. Запишем это условие в виде уравнения:

$\frac{10a + b}{a+b} = k$, где $k$ — целое число.

Преобразуем левую часть уравнения, чтобы выделить целую часть:

$\frac{10a + b}{a+b} = \frac{10a + 10b - 9b}{a+b} = \frac{10(a+b) - 9b}{a+b} = \frac{10(a+b)}{a+b} - \frac{9b}{a+b} = 10 - \frac{9b}{a+b}$

Для того чтобы выражение $10 - \frac{9b}{a+b}$ было целым числом, необходимо, чтобы дробь $\frac{9b}{a+b}$ также была целым числом. Обозначим это целое число как $m$.

$\frac{9b}{a+b} = m$, где $m \in \mathbb{Z}$.

Поскольку $a \ge 1$ и, согласно условию $b > a$, $b \ge 1$, то $a+b > 0$ и $9b > 0$. Следовательно, $m$ должно быть положительным целым числом.

Оценим возможные значения $m$.Из условия $b > a$ следует, что $a+b < b+b$, то есть $a+b < 2b$.Тогда $m = \frac{9b}{a+b} > \frac{9b}{2b} = 4.5$.Также, поскольку $a$ — натуральное число ($a \ge 1$), то $a+b > b$.Тогда $m = \frac{9b}{a+b} < \frac{9b}{b} = 9$.Таким образом, $m$ — это целое число, удовлетворяющее неравенству $4.5 < m < 9$. Это означает, что $m$ может принимать значения 5, 6, 7 или 8.

Рассмотрим каждый из этих случаев.

1. Если m = 5:

$\frac{9b}{a+b} = 5 \implies 9b = 5(a+b) \implies 9b = 5a + 5b \implies 4b = 5a$.Так как числа 4 и 5 взаимно простые, $a$ должно быть кратно 4, а $b$ — кратно 5. Учитывая, что $a$ и $b$ — это цифры и $b > a$, единственно возможным решением является $a=4$, $b=5$.Проверка: $b>a \implies 5>4$. Условие выполняется. Искомое число — 45.$(\frac{45}{4+5} = \frac{45}{9}=5$, целое).

2. Если m = 6:

$\frac{9b}{a+b} = 6 \implies 9b = 6(a+b) \implies 9b = 6a + 6b \implies 3b = 6a \implies b = 2a$.Нам нужно найти пары цифр $(a, b)$, удовлетворяющие этому равенству и условию $b > a$. Условие $b > a$ при $b=2a$ выполняется для любого $a \ge 1$.- при $a=1$, $b=2$. Число 12. $(\frac{12}{1+2}=4)$.- при $a=2$, $b=4$. Число 24. $(\frac{24}{2+4}=4)$.- при $a=3$, $b=6$. Число 36. $(\frac{36}{3+6}=4)$.- при $a=4$, $b=8$. Число 48. $(\frac{48}{4+8}=4)$.- при $a=5$, $b=10$, что не является цифрой. Дальнейшие значения $a$ также не подходят.

3. Если m = 7:

$\frac{9b}{a+b} = 7 \implies 9b = 7(a+b) \implies 9b = 7a + 7b \implies 2b = 7a$.Так как 2 и 7 взаимно простые, $a$ должно быть кратно 2, а $b$ — кратно 7. Учитывая, что $a$ и $b$ — цифры и $b > a$, единственное решение — это $a=2, b=7$.Проверка: $b>a \implies 7>2$. Условие выполняется. Искомое число — 27.$(\frac{27}{2+7} = \frac{27}{9}=3$, целое).

4. Если m = 8:

$\frac{9b}{a+b} = 8 \implies 9b = 8(a+b) \implies 9b = 8a + 8b \implies b = 8a$.Единственная пара цифр, удовлетворяющая этому равенству и условию $b>a$, — это $a=1, b=8$.Проверка: $b>a \implies 8>1$. Условие выполняется. Искомое число — 18.$(\frac{18}{1+8} = \frac{18}{9}=2$, целое).При $a \ge 2$, $b$ становится двузначным числом.

Соберем все найденные числа: 12, 18, 24, 27, 36, 45, 48.

Ответ: 12, 18, 24, 27, 36, 45, 48.