Номер 1277, страница 282 - гдз по алгебре 8 класс учебник Макарычев, Миндюк

Задачи повышенной трудности - номер 1277, страница 282.

1277. Найдите сумму квадратов корней уравнения x² + 12x + 30 = 0.

$$\begin{gathered} x^2+12x+30=0 \\ {x}_1+x_2=-12; x_1{x}_2=30 \\ {x}_1^2+x_2^2={\left(x_1+x_2\right)}^2-2x_1{x}_2={\left(-12\right)}^2-2·30= \\ =144-60=84 \end{gathered}$$

Ответ: 84

Дано квадратное уравнение $x^2 + 12x + 30 = 0$. Требуется найти сумму квадратов его корней, то есть величину $x_1^2 + x_2^2$, где $x_1$ и $x_2$ — корни данного уравнения.

Сначала проверим, имеет ли уравнение действительные корни. Для этого вычислим дискриминант $D$ по формуле $D = b^2 - 4ac$. В нашем уравнении коэффициенты $a=1$, $b=12$, $c=30$. $D = 12^2 - 4 \cdot 1 \cdot 30 = 144 - 120 = 24$. Поскольку $D > 0$, уравнение имеет два различных действительных корня.

Для решения задачи воспользуемся теоремой Виета. Для приведенного квадратного уравнения ($a=1$) вида $x^2 + px + q = 0$, сумма корней равна $x_1 + x_2 = -p$, а произведение корней равно $x_1 \cdot x_2 = q$. В нашем случае $p=12$ и $q=30$. Следовательно: Сумма корней: $x_1 + x_2 = -12$. Произведение корней: $x_1 \cdot x_2 = 30$.

Теперь выразим сумму квадратов корней $x_1^2 + x_2^2$ через их сумму и произведение. Для этого воспользуемся формулой квадрата суммы: $(x_1 + x_2)^2 = x_1^2 + 2x_1x_2 + x_2^2$. Из этой формулы выразим искомую величину: $x_1^2 + x_2^2 = (x_1 + x_2)^2 - 2x_1x_2$.

Подставим значения, полученные по теореме Виета, в выведенную формулу: $x_1^2 + x_2^2 = (-12)^2 - 2 \cdot 30$.

Выполним вычисления: $x_1^2 + x_2^2 = 144 - 60 = 84$.

Ответ: 84.