Номер 1272, страница 282 - гдз по алгебре 8 класс учебник Макарычев, Миндюк

Задачи повышенной трудности - номер 1272, страница 282.

1272. Решите систему уравнений:

$\left\{\begin{array}{cc}rowspacing="0,36em"\; columnalign="left\; left"\; columnspacing="1em">x+y+z+u=5& \left(1\right)\\ y+z+u+v=1& \left(2\right)\\ z+u+v+x=2& \left(3\right)\\ u+v+x+y=0& \left(4\right)\\ v+x+y+z=4& \left(5\right)\end{array}\right.$

Используя способ сложения, получим

$$\begin{gathered} 4·\left(x+y+z+u+v\right)=124\; \backslash cdot\; (x+y+z+u+v)=12 \\ x+y+z+u+v=3x+y+z+u+v=3 \end{gathered}$$

В уравнении (1) $x+y+z+u=5x+y+z+u=5$, значит $5+v=3; v=-25+v=3;\; \backslash quad\; v=-2$

В уравнении (2) $y+z+u+v=1y+z+u+v=1$, значит $x+1=3; x=2x+1=3;\; \backslash quad\; x=2$

В уравнении (3) $z+u+v+x=2z+u+v+x=2$, значит $y+2=3; y=1y+2=3;\; \backslash quad\; y=1$

В уравнении (4) $u+v+x+y=0u+v+x+y=0$, значит $z+0=3,z=3z+0=3,\; \backslash quad\; z=3$

В уравнении (5) $v+x+y+z=4v+x+y+z=4$, значит $u+4=3; u=-1u+4=3;\; \backslash quad\; u=-1$

Ответ: $x=2,y=1,z=3,u=-1; v=-2x=2,\; \backslash quad\; y=1,\; \backslash quad\; z=3,\; \backslash quad\; u=-1;\; \backslash quad\; v=-2$

Дана система из пяти линейных уравнений с пятью неизвестными:

$ \begin{cases} x + y + z + u = 5, \\ y + z + u + v = 1, \\ z + u + v + x = 2, \\ u + v + x + y = 0, \\ v + x + y + z = 4. \end{cases} $

Заметим, что система обладает циклической симметрией. В каждом уравнении отсутствует одна из переменных. Это наблюдение можно использовать для решения.

Сложим все пять уравнений системы.

Подсчитаем, сколько раз каждая переменная входит в левую часть суммы. Переменная $x$ есть в 1, 3, 4 и 5 уравнениях, то есть 4 раза. Аналогично, каждая из переменных $y, z, u, v$ также встречается 4 раза. Таким образом, сумма левых частей всех уравнений равна:

$ (x+y+z+u) + (y+z+u+v) + (z+u+v+x) + (u+v+x+y) + (v+x+y+z) = 4x + 4y + 4z + 4u + 4v = 4(x+y+z+u+v) $

Теперь сложим правые части уравнений:

$ 5 + 1 + 2 + 0 + 4 = 12 $

Приравнивая сумму левых и правых частей, получаем:

$ 4(x+y+z+u+v) = 12 $

Разделив обе части уравнения на 4, найдем сумму всех переменных. Обозначим эту сумму как $S$:

$ S = x+y+z+u+v = 3 $

Теперь, зная сумму всех пяти переменных, мы можем найти значение каждой из них. Для этого будем сравнивать сумму $S$ с каждым из исходных уравнений.

1. Из первого уравнения известно, что $x+y+z+u=5$. С другой стороны, $S = (x+y+z+u) + v = 3$. Подставим известную сумму:

$ 5 + v = 3 \implies v = 3 - 5 = -2 $

2. Из второго уравнения: $y+z+u+v=1$. Также $S = x + (y+z+u+v) = 3$.

$ x + 1 = 3 \implies x = 3 - 1 = 2 $

3. Из третьего уравнения: $z+u+v+x=2$. Также $S = y + (z+u+v+x) = 3$.

$ y + 2 = 3 \implies y = 3 - 2 = 1 $

4. Из четвертого уравнения: $u+v+x+y=0$. Также $S = z + (u+v+x+y) = 3$.

$ z + 0 = 3 \implies z = 3 $

5. Из пятого уравнения: $v+x+y+z=4$. Также $S = u + (v+x+y+z) = 3$.

$ u + 4 = 3 \implies u = 3 - 4 = -1 $

Мы нашли значения всех переменных. Проведем проверку, подставив найденные значения в любое из исходных уравнений, например, в первое: $x+y+z+u = 2+1+3+(-1) = 5$. Равенство верно.

Ответ: $x=2, y=1, z=3, u=-1, v=-2$.