Страница 282 - гдз по алгебре 8 класс учебник Макарычев, Миндюк

1271. Сократите дробь:

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{a) }}\frac{x^4+a^2{x}^2+a^4}{x^3+a^3}=\frac{{\left(x^2\right)}^2+2a^2{x}^2+{\left(a^2\right)}^2-a^2{x}^2}{\left(x+a\right)\left(x^2-ax+a^2\right)}= \\ =\frac{{\left(x^2+a^2\right)}^2-a^2{x}^2}{\left(x+a\right)\left(x^2-ax+a^2\right)}= \\ =\frac{\left(x^2+a^2-ax\right)\left(x^2+a^2+ax\right)}{\left(x+a\right)\left(x^2-ax+a^2\right)}=\frac{x^2+ax+a^2}{x+a} \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{б) }}\frac{8a^{n+2}+a^{n-1}}{16a^{n+4}+4a^{n+2}+a^n}=\frac{a^{n-1}\left(8a^3+1\right)}{a^n\left(16a^4+4a^2+1\right)}= \\ =\frac{a^{n-1-n}(2a+1)(4a^2-2a+1)}{{\left(4a^2\right)}^2+8a^2+1-4a^2}= \\ =\frac{a^{-1}\left(2a+1\right)\left(4a^2-2a+1\right)}{{\left(4a^2+1\right)}^2-{\left(2a\right)}^2}= \\ =\frac{\left(2a+1\right)\left(4a^2-2a+1\right)}{\left(4a^2+1-2a\right)\left(4a^2+1+2a\right)a}=\frac{2a+1}{4a^3+2a^2+a} \end{gathered}$$

а) Чтобы сократить дробь $\frac{x^4 + a^2x^2 + a^4}{x^3 + a^3}$, разложим на множители её числитель и знаменатель.

Сначала преобразуем числитель. Для этого дополним его до полного квадрата, прибавив и вычтя слагаемое $a^2x^2$:
$x^4 + a^2x^2 + a^4 = (x^4 + 2a^2x^2 + a^4) - a^2x^2 = (x^2 + a^2)^2 - (ax)^2$.
Теперь применим формулу разности квадратов $A^2 - B^2 = (A - B)(A + B)$:
$(x^2 + a^2)^2 - (ax)^2 = (x^2 + a^2 - ax)(x^2 + a^2 + ax) = (x^2 - ax + a^2)(x^2 + ax + a^2)$.

Знаменатель разложим по формуле суммы кубов $A^3 + B^3 = (A + B)(A^2 - AB + B^2)$:
$x^3 + a^3 = (x + a)(x^2 - ax + a^2)$.

Теперь подставим полученные выражения обратно в дробь и сократим общий множитель $(x^2 - ax + a^2)$:
$\frac{x^4 + a^2x^2 + a^4}{x^3 + a^3} = \frac{(x^2 - ax + a^2)(x^2 + ax + a^2)}{(x + a)(x^2 - ax + a^2)} = \frac{x^2 + ax + a^2}{x + a}$.

Ответ: $\frac{x^2 + ax + a^2}{x + a}$.

б) Чтобы сократить дробь $\frac{8a^{n+2} + a^{n-1}}{16a^{n+4} + 4a^{n+2} + a^n}$, разложим на множители числитель и знаменатель.

В числителе вынесем за скобки общий множитель $a$ в наименьшей степени, то есть $a^{n-1}$:
$8a^{n+2} + a^{n-1} = a^{n-1}(8a^3 + 1)$.
Выражение в скобках является суммой кубов $ (2a)^3 + 1^3 $, которую можно разложить по формуле $A^3 + B^3 = (A + B)(A^2 - AB + B^2)$:
$a^{n-1}(8a^3 + 1) = a^{n-1}(2a + 1)(4a^2 - 2a + 1)$.

В знаменателе вынесем за скобки общий множитель $a$ в наименьшей степени, то есть $a^n$:
$16a^{n+4} + 4a^{n+2} + a^n = a^n(16a^4 + 4a^2 + 1)$.
Выражение в скобках преобразуем, выделив полный квадрат, аналогично пункту а):
$a^n(16a^4 + 4a^2 + 1) = a^n((16a^4 + 8a^2 + 1) - 4a^2) = a^n((4a^2 + 1)^2 - (2a)^2)$.
Применим формулу разности квадратов:
$a^n((4a^2 + 1)^2 - (2a)^2) = a^n(4a^2 + 1 - 2a)(4a^2 + 1 + 2a) = a^n(4a^2 - 2a + 1)(4a^2 + 2a + 1)$.

Подставим разложения в исходную дробь:
$\frac{8a^{n+2} + a^{n-1}}{16a^{n+4} + 4a^{n+2} + a^n} = \frac{a^{n-1}(2a + 1)(4a^2 - 2a + 1)}{a^n(4a^2 - 2a + 1)(4a^2 + 2a + 1)}$.
Сократим общий множитель $(4a^2 - 2a + 1)$ и степени $a$ (поскольку $\frac{a^{n-1}}{a^n} = a^{n-1-n} = a^{-1} = \frac{1}{a}$):
$\frac{a^{n-1}(2a + 1)}{a^n(4a^2 + 2a + 1)} = \frac{1}{a} \cdot \frac{2a + 1}{4a^2 + 2a + 1} = \frac{2a + 1}{a(4a^2 + 2a + 1)}$.

Ответ: $\frac{2a + 1}{4a^3 + 2a^2 + a}$.

1272. Решите систему уравнений:

$\left\{\begin{array}{cc}rowspacing="0,36em"\; columnalign="left\; left"\; columnspacing="1em">x+y+z+u=5& \left(1\right)\\ y+z+u+v=1& \left(2\right)\\ z+u+v+x=2& \left(3\right)\\ u+v+x+y=0& \left(4\right)\\ v+x+y+z=4& \left(5\right)\end{array}\right.$

Используя способ сложения, получим

$$\begin{gathered} 4·\left(x+y+z+u+v\right)=124\; \backslash cdot\; (x+y+z+u+v)=12 \\ x+y+z+u+v=3x+y+z+u+v=3 \end{gathered}$$

В уравнении (1) $x+y+z+u=5x+y+z+u=5$, значит $5+v=3; v=-25+v=3;\; \backslash quad\; v=-2$

В уравнении (2) $y+z+u+v=1y+z+u+v=1$, значит $x+1=3; x=2x+1=3;\; \backslash quad\; x=2$

В уравнении (3) $z+u+v+x=2z+u+v+x=2$, значит $y+2=3; y=1y+2=3;\; \backslash quad\; y=1$

В уравнении (4) $u+v+x+y=0u+v+x+y=0$, значит $z+0=3,z=3z+0=3,\; \backslash quad\; z=3$

В уравнении (5) $v+x+y+z=4v+x+y+z=4$, значит $u+4=3; u=-1u+4=3;\; \backslash quad\; u=-1$

Ответ: $x=2,y=1,z=3,u=-1; v=-2x=2,\; \backslash quad\; y=1,\; \backslash quad\; z=3,\; \backslash quad\; u=-1;\; \backslash quad\; v=-2$

Дана система из пяти линейных уравнений с пятью неизвестными:

$ \begin{cases} x + y + z + u = 5, \\ y + z + u + v = 1, \\ z + u + v + x = 2, \\ u + v + x + y = 0, \\ v + x + y + z = 4. \end{cases} $

Заметим, что система обладает циклической симметрией. В каждом уравнении отсутствует одна из переменных. Это наблюдение можно использовать для решения.

Сложим все пять уравнений системы.

Подсчитаем, сколько раз каждая переменная входит в левую часть суммы. Переменная $x$ есть в 1, 3, 4 и 5 уравнениях, то есть 4 раза. Аналогично, каждая из переменных $y, z, u, v$ также встречается 4 раза. Таким образом, сумма левых частей всех уравнений равна:

$ (x+y+z+u) + (y+z+u+v) + (z+u+v+x) + (u+v+x+y) + (v+x+y+z) = 4x + 4y + 4z + 4u + 4v = 4(x+y+z+u+v) $

Теперь сложим правые части уравнений:

$ 5 + 1 + 2 + 0 + 4 = 12 $

Приравнивая сумму левых и правых частей, получаем:

$ 4(x+y+z+u+v) = 12 $

Разделив обе части уравнения на 4, найдем сумму всех переменных. Обозначим эту сумму как $S$:

$ S = x+y+z+u+v = 3 $

Теперь, зная сумму всех пяти переменных, мы можем найти значение каждой из них. Для этого будем сравнивать сумму $S$ с каждым из исходных уравнений.

1. Из первого уравнения известно, что $x+y+z+u=5$. С другой стороны, $S = (x+y+z+u) + v = 3$. Подставим известную сумму:

$ 5 + v = 3 \implies v = 3 - 5 = -2 $

2. Из второго уравнения: $y+z+u+v=1$. Также $S = x + (y+z+u+v) = 3$.

$ x + 1 = 3 \implies x = 3 - 1 = 2 $

3. Из третьего уравнения: $z+u+v+x=2$. Также $S = y + (z+u+v+x) = 3$.

$ y + 2 = 3 \implies y = 3 - 2 = 1 $

4. Из четвертого уравнения: $u+v+x+y=0$. Также $S = z + (u+v+x+y) = 3$.

$ z + 0 = 3 \implies z = 3 $

5. Из пятого уравнения: $v+x+y+z=4$. Также $S = u + (v+x+y+z) = 3$.

$ u + 4 = 3 \implies u = 3 - 4 = -1 $

Мы нашли значения всех переменных. Проведем проверку, подставив найденные значения в любое из исходных уравнений, например, в первое: $x+y+z+u = 2+1+3+(-1) = 5$. Равенство верно.

Ответ: $x=2, y=1, z=3, u=-1, v=-2$.

1273. Докажите, что уравнение х⁴ – 5х³ – 4х² – 7х + 4 = 0 не имеет отрицательных корней.

$$\begin{gathered} x^4-5x^3-4x^2-7x+4=0 \\ \left(x^4-4x^2+4\right)-\left(5x^3+7x\right)=0 \\ {\left(x^2-2\right)}^2-x\left(5x^2+7\right)=0 \\ {\left(x^2-2\right)}^2=x\left(5x^2+7\right) \\ x=\frac{{\left(x^2-2\right)}^2}{5x^2+7} \end{gathered}$$

$\left\{\begin{array}{l}{\left(x^2-2\right)}^2\ge 0\\ 5x^2+7>0\end{array}\right.\Rightarrow x\ge 0,$ что и требовалось доказать

Для доказательства того, что уравнение $x^4 - 5x^3 - 4x^2 - 7x + 4 = 0$ не имеет отрицательных корней, воспользуемся методом от противного. Предположим, что у уравнения существует отрицательный корень $x$.

Если корень $x$ отрицательный, его можно представить в виде $x = -a$, где $a$ — некоторое положительное число ($a > 0$).

Подставим $x = -a$ в исходное уравнение:

$(-a)^4 - 5(-a)^3 - 4(-a)^2 - 7(-a) + 4 = 0$

Упростим полученное выражение, учитывая, что четная степень отрицательного числа дает положительный результат, а нечетная — отрицательный:

$a^4 - 5(-a^3) - 4(a^2) + 7a + 4 = 0$

$a^4 + 5a^3 - 4a^2 + 7a + 4 = 0$

Теперь нам нужно доказать, что это уравнение не имеет решений для $a > 0$. Для этого преобразуем левую часть уравнения, перегруппировав слагаемые. Заметим, что слагаемые $a^4$, $-4a^2$ и $4$ можно объединить, чтобы выделить полный квадрат:

$(a^4 - 4a^2 + 4) + 5a^3 + 7a = 0$

Выражение в скобках является полным квадратом разности $(a^2 - 2)^2$. Тогда уравнение принимает вид:

$(a^2 - 2)^2 + 5a^3 + 7a = 0$

Проанализируем каждое слагаемое в левой части этого уравнения при условии, что $a > 0$. Первое слагаемое $(a^2 - 2)^2$ является квадратом действительного числа, поэтому оно всегда неотрицательно: $(a^2 - 2)^2 \ge 0$. Второе слагаемое $5a^3$ и третье слагаемое $7a$ являются строго положительными, так как по определению $a > 0$.

Таким образом, левая часть уравнения представляет собой сумму одного неотрицательного слагаемого и двух строго положительных слагаемых. Их сумма всегда будет строго больше нуля:

$\underbrace{(a^2-2)^2}_{\ge 0} + \underbrace{5a^3}_{>0} + \underbrace{7a}_{>0} > 0$

Полученное строгое неравенство показывает, что левая часть уравнения никогда не может быть равна нулю при любом положительном значении $a$. Это приводит к противоречию с нашим первоначальным предположением о существовании отрицательного корня $x$. Следовательно, наше предположение было неверным.

Ответ: Доказано, что уравнение $x^4 - 5x^3 - 4x^2 - 7x + 4 = 0$ не имеет отрицательных корней.

1274. Найдите обыкновенную дробь со знаменателем 21, заключённую между дробями 514 и 512.

$$\begin{gathered} \frac{5}{14}=\frac{5·6}{14·6}=\frac{30}{84}\backslash frac\{5\}\{14\}=\backslash frac\{5\; \backslash cdot\; 6\}\{14\; \backslash cdot\; 6\}=\backslash frac\{30\}\{84\} \\ \frac{5}{12}=\frac{5·7}{12·7}=\frac{35}{84}\backslash frac\{5\}\{12\}=\backslash frac\{5\; \backslash cdot\; 7\}\{12\; \backslash cdot\; 7\}=\backslash frac\{35\}\{84\} \end{gathered}$$

Чтобы получить знаменатель 21, нужно 84:4=21. Значит, и числитель должен делиться на 4. Между дробями $\frac{30}{84}\backslash frac\{30\}\{84\}$ и $\frac{35}{84}\backslash frac\{35\}\{84\}$ числитель 32:4=8

Получили дробь $\frac{32}{84}=\frac{8}{21}\backslash frac\{32\}\{84\}=\backslash frac\{8\}\{21\}$

Ответ: $\frac{8}{21}\backslash frac\{8\}\{21\}$

Пусть искомая дробь имеет вид $\frac{x}{21}$, где $x$ — натуральное число. По условию задачи, эта дробь должна быть заключена между дробями $\frac{5}{14}$ и $\frac{5}{12}$.

Для начала сравним дроби $\frac{5}{14}$ и $\frac{5}{12}$. Так как у них одинаковые числители, больше та дробь, у которой знаменатель меньше. Поскольку $12 < 14$, то $\frac{5}{12} > \frac{5}{14}$.

Таким образом, мы ищем дробь $\frac{x}{21}$, удовлетворяющую двойному неравенству:

$\frac{5}{14} < \frac{x}{21} < \frac{5}{12}$

Чтобы найти $x$, приведём все три дроби к общему знаменателю. Найдём наименьшее общее кратное (НОК) для знаменателей 14, 21 и 12.

Разложим знаменатели на простые множители:

$14 = 2 \cdot 7$

$21 = 3 \cdot 7$

$12 = 2^2 \cdot 3$

НОК(14, 21, 12) = $2^2 \cdot 3 \cdot 7 = 4 \cdot 21 = 84$.

Теперь приведём каждую дробь в неравенстве к знаменателю 84:

$\frac{5}{14} = \frac{5 \cdot 6}{14 \cdot 6} = \frac{30}{84}$

$\frac{x}{21} = \frac{x \cdot 4}{21 \cdot 4} = \frac{4x}{84}$

$\frac{5}{12} = \frac{5 \cdot 7}{12 \cdot 7} = \frac{35}{84}$

Подставим полученные дроби в неравенство:

$\frac{30}{84} < \frac{4x}{84} < \frac{35}{84}$

Так как знаменатели дробей равны, мы можем сравнить их числители:

$30 < 4x < 35$

Нам нужно найти такое целое число $x$, чтобы произведение $4x$ было больше 30, но меньше 35. Подберём подходящее значение $x$:

Если $x = 7$, то $4x = 28$, что меньше 30. Не подходит.

Если $x = 8$, то $4x = 32$. Неравенство $30 < 32 < 35$ является верным. Это значение подходит.

Если $x = 9$, то $4x = 36$, что больше 35. Не подходит.

Следовательно, единственное подходящее целое значение для $x$ — это 8.

Искомая дробь — $\frac{8}{21}$.

Ответ: $\frac{8}{21}$.

1275. Какой цифрой оканчивается сумма 54³⁵ + 28²¹?

${54}^{35}+{28}^{21}=... 4+... 8=....2$

$$\begin{gathered} \mathbf{1}\mathbf{)} 54·54=.. 4^2=... 6 \\ ..6·54=...4^3=... 4 \end{gathered}$$

$...4·54=... 4^4=...6$ и т.д., т.е. в чётной степени последняя цифра 6, а в нечётной - 4

${54}^{35}$ заканчивается цифрой 4.

$$\begin{gathered} \mathbf{2}\mathbf{)} 28·28=... 4 \\ 28·28·28=.. 8^3=... 2 \\ ...8^4=...6 \\ ...8^5=...6·8=... 8 \end{gathered}$$

$...8^6=...8·8=...4$ и т.д., т.е. последние цифры чередуются в таком порядке 4, 2, 6, 8, 4, 2, ....

${28}^{20}$ заканчивается цифрой 6, а ${28}^{21}$ заканчивается цифрой 8

4+8=12

Ответ: 2

Чтобы найти, какой цифрой оканчивается сумма $54^{35} + 28^{21}$, необходимо определить последнюю цифру каждого слагаемого и затем найти последнюю цифру их суммы.

Последняя цифра степени числа зависит только от последней цифры его основания. Для первого слагаемого $54^{35}$ последняя цифра такая же, как у $4^{35}$. Рассмотрим, как меняется последняя цифра у степеней числа 4:$4^1$ оканчивается на 4;$4^2 = 16$ оканчивается на 6;$4^3 = 64$ оканчивается на 4;$4^4 = 256$ оканчивается на 6.Видно, что последние цифры циклически повторяются: 4, 6, 4, 6, ... . Если показатель степени нечетный, то число оканчивается на 4, а если четный — на 6. Так как показатель степени 35 является нечетным числом, то число $54^{35}$ оканчивается на 4.

Теперь рассмотрим второе слагаемое $28^{21}$. Его последняя цифра совпадает с последней цифрой числа $8^{21}$. Найдем закономерность для последних цифр степеней числа 8:$8^1$ оканчивается на 8;$8^2 = 64$ оканчивается на 4;$8^3 = 512$ оканчивается на 2;$8^4 = 4096$ оканчивается на 6;$8^5 = 32768$ оканчивается на 8.Последние цифры степеней числа 8 циклически повторяются с периодом 4: (8, 4, 2, 6). Чтобы найти последнюю цифру числа $8^{21}$, нужно найти остаток от деления показателя степени 21 на длину цикла 4.$21 \div 4 = 5$ с остатком 1.Остаток 1 соответствует первому числу в цикле, то есть 8. Следовательно, число $28^{21}$ оканчивается на 8.

Наконец, чтобы найти последнюю цифру суммы $54^{35} + 28^{21}$, нужно сложить последние цифры каждого слагаемого: $4 + 8 = 12$. Последняя цифра этого результата — 2.

Таким образом, сумма $54^{35} + 28^{21}$ оканчивается на цифру 2.

Ответ: 2

1276. Решите уравнение х² – 2х + у² – 4у + 5 = 0.

$$\begin{gathered} x^2-2x+y^2-4y+5=0 \\ \left(x^2-2x+1\right)+\left(y^2-4y+4\right)=0 \\ {\left(x-1\right)}^2+{\left(y-2\right)}^2=0 \end{gathered}$$

Два числа в сумме дают 0 только, когда они либо противоположные, либо оба равны 0. В нашем случае ${\left(x-1\right)}^2$ и ${\left(y-2\right)}^2$ противоположными быть не могут. Значит, они оба равны 0.

$\begin{array}{ll}{\left(x-1\right)}^2=0 \text{и}& {\left(y-2\right)}^2=0\\ x=1& y=2\end{array}$

Ответ: x=1, y=2

Для решения данного уравнения $x^2 - 2x + y^2 - 4y + 5 = 0$ воспользуемся методом выделения полного квадрата для переменных $x$ и $y$.

Сгруппируем слагаемые, содержащие $x$, и слагаемые, содержащие $y$:

$(x^2 - 2x) + (y^2 - 4y) + 5 = 0$

Теперь дополним каждую группу до полного квадрата, используя формулу $(a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$.

Для выражения $(x^2 - 2x)$, чтобы получить полный квадрат, необходимо добавить и вычесть $(\frac{2}{2})^2 = 1^2 = 1$.

$x^2 - 2x + 1 - 1 = (x - 1)^2 - 1$

Для выражения $(y^2 - 4y)$, чтобы получить полный квадрат, необходимо добавить и вычесть $(\frac{4}{2})^2 = 2^2 = 4$.

$y^2 - 4y + 4 - 4 = (y - 2)^2 - 4$

Подставим полученные выражения обратно в исходное уравнение:

$((x - 1)^2 - 1) + ((y - 2)^2 - 4) + 5 = 0$

Упростим, раскрыв скобки и приведя подобные слагаемые:

$(x - 1)^2 + (y - 2)^2 - 1 - 4 + 5 = 0$

$(x - 1)^2 + (y - 2)^2 = 0$

Мы получили уравнение, в левой части которого находится сумма двух квадратов. Квадрат любого действительного числа является неотрицательной величиной, то есть $(x - 1)^2 \ge 0$ и $(y - 2)^2 \ge 0$. Сумма двух неотрицательных выражений равна нулю тогда и только тогда, когда каждое из этих выражений равно нулю.

Следовательно, данное уравнение равносильно системе уравнений:

$\begin{cases} (x - 1)^2 = 0 \\ (y - 2)^2 = 0 \end{cases}$

Решая эту систему, находим значения $x$ и $y$:

$x - 1 = 0 \implies x = 1$

$y - 2 = 0 \implies y = 2$

Таким образом, уравнение имеет единственное решение — пару чисел $(1; 2)$.

Ответ: $(1; 2)$.

1277. Найдите сумму квадратов корней уравнения x² + 12x + 30 = 0.

$$\begin{gathered} x^2+12x+30=0 \\ {x}_1+x_2=-12; x_1{x}_2=30 \\ {x}_1^2+x_2^2={\left(x_1+x_2\right)}^2-2x_1{x}_2={\left(-12\right)}^2-2·30= \\ =144-60=84 \end{gathered}$$

Ответ: 84

Дано квадратное уравнение $x^2 + 12x + 30 = 0$. Требуется найти сумму квадратов его корней, то есть величину $x_1^2 + x_2^2$, где $x_1$ и $x_2$ — корни данного уравнения.

Сначала проверим, имеет ли уравнение действительные корни. Для этого вычислим дискриминант $D$ по формуле $D = b^2 - 4ac$. В нашем уравнении коэффициенты $a=1$, $b=12$, $c=30$. $D = 12^2 - 4 \cdot 1 \cdot 30 = 144 - 120 = 24$. Поскольку $D > 0$, уравнение имеет два различных действительных корня.

Для решения задачи воспользуемся теоремой Виета. Для приведенного квадратного уравнения ($a=1$) вида $x^2 + px + q = 0$, сумма корней равна $x_1 + x_2 = -p$, а произведение корней равно $x_1 \cdot x_2 = q$. В нашем случае $p=12$ и $q=30$. Следовательно: Сумма корней: $x_1 + x_2 = -12$. Произведение корней: $x_1 \cdot x_2 = 30$.

Теперь выразим сумму квадратов корней $x_1^2 + x_2^2$ через их сумму и произведение. Для этого воспользуемся формулой квадрата суммы: $(x_1 + x_2)^2 = x_1^2 + 2x_1x_2 + x_2^2$. Из этой формулы выразим искомую величину: $x_1^2 + x_2^2 = (x_1 + x_2)^2 - 2x_1x_2$.

Подставим значения, полученные по теореме Виета, в выведенную формулу: $x_1^2 + x_2^2 = (-12)^2 - 2 \cdot 30$.

Выполним вычисления: $x_1^2 + x_2^2 = 144 - 60 = 84$.

Ответ: 84.

1278. Найдите корни уравнения x² - 2x -2x + 1x²- 13 = 0.

$$\begin{gathered} x^2-2x-\frac{2}{x}+\frac{1}{x^2}-13=0, x\ne 0 \\ {\left(\frac{1}{x}+x\right)}^2-2\left(\frac{1}{x}+x\right)-15=0 \\ \frac{1}{x}+x=t \\ {t}^2-2t-15=0 \\ D={\left(-2\right)}^2-4·1·\left(-15\right)=4+60=64 \\ t=\frac{2\pm \sqrt{64}}{2}; t=\frac{2\pm 8}{2} \\ {t}_1=5; t_2=-3 \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \frac{1}{x}+x=5 \\ 1+x^2=5x \\ {x}^2-5x+1=0 \\ D={\left(-5\right)}^2-4·1·1=25-4=21 \\ x=\frac{5\pm \sqrt{21}}{2} \end{gathered}$$

или

$$\begin{gathered} \frac{1}{x}+x=-3 \\ 1+x^2=-3x \\ {x}^2+3x+1=0 \\ D=3^2-4·1·1=9-4=5 \\ x=\frac{-3\pm \sqrt{5}}{2} \end{gathered}$$

Ответ: $\frac{5\pm \sqrt{21}}{2}; \frac{-3\pm \sqrt{5}}{2}$

Дано уравнение: $x^2 - 2x - \frac{2}{x} + \frac{1}{x^2} - 13 = 0$.

Область допустимых значений (ОДЗ) для этого уравнения определяется условием, что знаменатели не равны нулю, то есть $x \neq 0$.

Сгруппируем члены уравнения, чтобы выделить повторяющиеся выражения:

$(x^2 + \frac{1}{x^2}) - (2x + \frac{2}{x}) - 13 = 0$

$(x^2 + \frac{1}{x^2}) - 2(x + \frac{1}{x}) - 13 = 0$

Это уравнение является возвратным. Для его решения введем новую переменную. Пусть:

$y = x + \frac{1}{x}$

Теперь необходимо выразить член $(x^2 + \frac{1}{x^2})$ через $y$. Для этого возведем в квадрат выражение для $y$:

$y^2 = (x + \frac{1}{x})^2 = x^2 + 2 \cdot x \cdot \frac{1}{x} + (\frac{1}{x})^2 = x^2 + 2 + \frac{1}{x^2}$

Из этого соотношения выражаем $x^2 + \frac{1}{x^2}$:

$x^2 + \frac{1}{x^2} = y^2 - 2$

Подставим полученные выражения для $(x + \frac{1}{x})$ и $(x^2 + \frac{1}{x^2})$ в сгруппированное уравнение:

$(y^2 - 2) - 2y - 13 = 0$

Упростим и решим полученное квадратное уравнение относительно переменной $y$:

$y^2 - 2y - 15 = 0$

Используем теорему Виета: сумма корней равна $2$, а их произведение равно $-15$. Легко подобрать корни: $y_1 = 5$ и $y_2 = -3$.

Теперь необходимо выполнить обратную замену, чтобы найти значения $x$. Это приводит к двум отдельным уравнениям.

Сначала рассмотрим случай, когда $y = 5$:

$x + \frac{1}{x} = 5$

Умножим обе части уравнения на $x$ (что допустимо, так как $x \neq 0$):

$x^2 + 1 = 5x$

$x^2 - 5x + 1 = 0$

Решим это квадратное уравнение с помощью формулы корней. Дискриминант $D = b^2 - 4ac = (-5)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 1 = 25 - 4 = 21$.

Корни уравнения: $x_{1,2} = \frac{-(-5) \pm \sqrt{21}}{2 \cdot 1} = \frac{5 \pm \sqrt{21}}{2}$.

Теперь рассмотрим случай, когда $y = -3$:

$x + \frac{1}{x} = -3$

Умножим обе части на $x$:

$x^2 + 1 = -3x$

$x^2 + 3x + 1 = 0$

Решим это квадратное уравнение. Дискриминант $D = b^2 - 4ac = 3^2 - 4 \cdot 1 \cdot 1 = 9 - 4 = 5$.

Корни уравнения: $x_{3,4} = \frac{-3 \pm \sqrt{5}}{2 \cdot 1} = \frac{-3 \pm \sqrt{5}}{2}$.

Таким образом, исходное уравнение имеет четыре действительных корня.

Ответ: $x_1 = \frac{5 + \sqrt{21}}{2}, x_2 = \frac{5 - \sqrt{21}}{2}, x_3 = \frac{-3 + \sqrt{5}}{2}, x_4 = \frac{-3 - \sqrt{5}}{2}$.

1279. Найдите все двузначные числа ab, где b > a, при которых значение дроби aba + b равно целому числу.

$$\begin{gathered} \frac{\overline{ab}}{a+b}=\frac{10a+b}{a+b}=m,\text{ где }m\in Z \\ 10a+b=m\left(a+b\right) \\ 10a+b=ma+mb \\ 10a-ma=mb-b \\ a\left(10-m\right)=b\left(m-1\right) \\ \begin{array}{cl}\text{ T.к. }a<b\text{ то }& 10-m>m-1\\ & 10+1>m+m\\ & 2m<11\\ & m<5,5\end{array} \\ \text{T.к. }m\in Z,\text{ то }m\le 5 \\ \begin{array}{cl}\text{Если }m=5,\text{ то }& a\left(10-5\right)=b·\left(5-1\right)\\ & 5a=4b\\ & a=\frac{4b}{5}\\ & \text{при }b=5; a=4; 45\end{array} \\ \begin{array}{cl}\text{Если }m=4,\text{ то }& 6a=3b\\ & 2a=b\\ & \text{при }a=1; b=2; 12\\ & \text{при }a=2; b=4; 24\\ & \text{при }a=3; b=6; 36\\ & \text{при }a=4; b=8; 48\end{array} \\ \begin{array}{cl}\text{Если }m=3,\text{ то }& 7a=2b\\ & a=\frac{2b}{7}\\ & \text{при }b=7; a=2; 27\end{array} \\ \begin{array}{cl}\text{Если }m=2,\text{ то }& 8a=b\\ & \text{при }a=1; b=8; 18\end{array} \\ \text{Если }m=1,\text{ то }9a=0,\text{ чисел нет } \end{gathered}$$

Ответ: 12; 18; 24; 27; 36; 45; 48

Пусть искомое двузначное число представлено в виде $\overline{ab}$, где $a$ — цифра десятков, а $b$ — цифра единиц. Значение этого числа равно $10a + b$. По условию $a$ и $b$ — это цифры, причем $a \in \{1, 2, ..., 9\}$, $b \in \{0, 1, ..., 9\}$ и $b > a$.

Нам дано, что значение дроби $\frac{\overline{ab}}{a+b}$ является целым числом. Запишем это условие в виде уравнения:

$\frac{10a + b}{a+b} = k$, где $k$ — целое число.

Преобразуем левую часть уравнения, чтобы выделить целую часть:

$\frac{10a + b}{a+b} = \frac{10a + 10b - 9b}{a+b} = \frac{10(a+b) - 9b}{a+b} = \frac{10(a+b)}{a+b} - \frac{9b}{a+b} = 10 - \frac{9b}{a+b}$

Для того чтобы выражение $10 - \frac{9b}{a+b}$ было целым числом, необходимо, чтобы дробь $\frac{9b}{a+b}$ также была целым числом. Обозначим это целое число как $m$.

$\frac{9b}{a+b} = m$, где $m \in \mathbb{Z}$.

Поскольку $a \ge 1$ и, согласно условию $b > a$, $b \ge 1$, то $a+b > 0$ и $9b > 0$. Следовательно, $m$ должно быть положительным целым числом.

Оценим возможные значения $m$.Из условия $b > a$ следует, что $a+b < b+b$, то есть $a+b < 2b$.Тогда $m = \frac{9b}{a+b} > \frac{9b}{2b} = 4.5$.Также, поскольку $a$ — натуральное число ($a \ge 1$), то $a+b > b$.Тогда $m = \frac{9b}{a+b} < \frac{9b}{b} = 9$.Таким образом, $m$ — это целое число, удовлетворяющее неравенству $4.5 < m < 9$. Это означает, что $m$ может принимать значения 5, 6, 7 или 8.

Рассмотрим каждый из этих случаев.

1. Если m = 5:

$\frac{9b}{a+b} = 5 \implies 9b = 5(a+b) \implies 9b = 5a + 5b \implies 4b = 5a$.Так как числа 4 и 5 взаимно простые, $a$ должно быть кратно 4, а $b$ — кратно 5. Учитывая, что $a$ и $b$ — это цифры и $b > a$, единственно возможным решением является $a=4$, $b=5$.Проверка: $b>a \implies 5>4$. Условие выполняется. Искомое число — 45.$(\frac{45}{4+5} = \frac{45}{9}=5$, целое).

2. Если m = 6:

$\frac{9b}{a+b} = 6 \implies 9b = 6(a+b) \implies 9b = 6a + 6b \implies 3b = 6a \implies b = 2a$.Нам нужно найти пары цифр $(a, b)$, удовлетворяющие этому равенству и условию $b > a$. Условие $b > a$ при $b=2a$ выполняется для любого $a \ge 1$.- при $a=1$, $b=2$. Число 12. $(\frac{12}{1+2}=4)$.- при $a=2$, $b=4$. Число 24. $(\frac{24}{2+4}=4)$.- при $a=3$, $b=6$. Число 36. $(\frac{36}{3+6}=4)$.- при $a=4$, $b=8$. Число 48. $(\frac{48}{4+8}=4)$.- при $a=5$, $b=10$, что не является цифрой. Дальнейшие значения $a$ также не подходят.

3. Если m = 7:

$\frac{9b}{a+b} = 7 \implies 9b = 7(a+b) \implies 9b = 7a + 7b \implies 2b = 7a$.Так как 2 и 7 взаимно простые, $a$ должно быть кратно 2, а $b$ — кратно 7. Учитывая, что $a$ и $b$ — цифры и $b > a$, единственное решение — это $a=2, b=7$.Проверка: $b>a \implies 7>2$. Условие выполняется. Искомое число — 27.$(\frac{27}{2+7} = \frac{27}{9}=3$, целое).

4. Если m = 8:

$\frac{9b}{a+b} = 8 \implies 9b = 8(a+b) \implies 9b = 8a + 8b \implies b = 8a$.Единственная пара цифр, удовлетворяющая этому равенству и условию $b>a$, — это $a=1, b=8$.Проверка: $b>a \implies 8>1$. Условие выполняется. Искомое число — 18.$(\frac{18}{1+8} = \frac{18}{9}=2$, целое).При $a \ge 2$, $b$ становится двузначным числом.

Соберем все найденные числа: 12, 18, 24, 27, 36, 45, 48.

Ответ: 12, 18, 24, 27, 36, 45, 48.

1280. Найдите три различные обыкновенные дроби вида xx + 1 сумма которых равна натуральному числу.

$$\begin{gathered} \frac{a}{a+1}+\frac{b}{b+1}+\frac{c}{c+1}=1-\frac{1}{a+1}+1-\frac{1}{b+1}+ \\ +1-\frac{1}{c+1}=3-\left(\frac{1}{a+1}+\frac{1}{b+1}+\frac{1}{c+1}\right)<3 \end{gathered}$$

Пусть $\frac{a}{a+1}=\frac{b}{b+1}=\frac{c}{c+1}=\frac{1}{2}\backslash frac\{a\}\{a+1\}=\backslash frac\{b\}\{b+1\}=\backslash frac\{c\}\{c+1\}=\backslash frac\{1\}\{2\}$, тогда $\frac{1}{2}+\frac{1}{2}+\frac{1}{2}=\frac{3}{2}\backslash frac\{1\}\{2\}+\backslash frac\{1\}\{2\}+\backslash frac\{1\}\{2\}=\backslash frac\{3\}\{2\}$

Значит, $\frac{a}{a+1}+\frac{b}{b+1}+\frac{c}{c+1}>1,5\backslash frac\{a\}\{a+1\}+\backslash frac\{b\}\{b+1\}+\backslash frac\{c\}\{c+1\}\; >\; 1,5$

Так как три различные обыкновенные дроби вида $\frac{x}{x+1}\backslash frac\{x\}\{x+1\}$ в сумме дают натуральное число, то это число больше 1,5 и меньше 3. Значит, оно равно 2.

$\frac{a}{a+1}+\frac{b}{b+1}+\frac{c}{c+1}=2\backslash frac\{a\}\{a+1\}+\backslash frac\{b\}\{b+1\}+\backslash frac\{c\}\{c+1\}=2$

Пусть a=1, тогда $\frac{a}{a+1}=\frac{1}{2}$

$$\begin{gathered} \frac{b}{b+1}+\frac{c}{c+1}=2-\frac{1}{2} \\ \frac{b}{b+1}+\frac{c}{c+1}=\frac{3}{2} \\ \frac{b}{b+1}=\frac{3}{2}-\frac{c}{c+1} \\ \frac{b}{b+1}=\frac{3\left(c+1\right)-2c}{2\left(c+1\right)} \\ \frac{b}{b+1}=\frac{3c+3-2c}{2\left(c+1\right)} \\ \frac{b}{b+1}=\frac{c+3}{2\left(c+1\right)} \end{gathered}$$

Так как у обыкновенной дроби по условию числитель на 1 меньше знаменателя, то

$$\begin{gathered} 2\left(c+1\right)-\left(c+3\right)=12(c+1)\; -\; (c+3)=1 \\ 2c+2-c-3=12c+2\; -\; c\; -\; 3=1 \\ c-1=1c\; -\; 1=1 \\ c=2c=2 \end{gathered}$$

Значит, $\frac{c}{c+1}=\frac{2}{3}$

$$\begin{gathered} \frac{b}{b+1}=\frac{3}{2}-\frac{2}{3}=\frac{9-4}{6}=\frac{5}{6} \\ \frac{1}{2}+\frac{2}{3}+\frac{5}{6}=\frac{3+4+5}{6}=\frac{12}{6}=2 \end{gathered}$$

Ответ: $\frac{1}{2}; \frac{2}{3}; \frac{5}{6}\backslash frac\{1\}\{2\};\; \backslash frac\{2\}\{3\};\; \backslash frac\{5\}\{6\}$

Пусть искомые три различные обыкновенные дроби имеют вид $ \frac{x_1}{x_1+1} $, $ \frac{x_2}{x_2+1} $ и $ \frac{x_3}{x_3+1} $. По условию, $x_1, x_2, x_3$ — различные числа. Чтобы дроби были обыкновенными и различными, будем считать $x_1, x_2, x_3$ различными натуральными числами. Сумма этих дробей должна быть равна натуральному числу, которое мы обозначим как $N$.

$ \frac{x_1}{x_1+1} + \frac{x_2}{x_2+1} + \frac{x_3}{x_3+1} = N, \quad N \in \mathbb{N} $

Каждая дробь вида $ \frac{x}{x+1} $ (где $x$ — натуральное число) больше 0, но меньше 1. Следовательно, сумма трех таких дробей будет больше 0, но меньше 3. Таким образом, возможное значение для $N$ — это 1 или 2.

Преобразуем общий вид дроби:$ \frac{x}{x+1} = \frac{x+1-1}{x+1} = 1 - \frac{1}{x+1} $

Подставим это выражение в исходное уравнение суммы:$ \left(1 - \frac{1}{x_1+1}\right) + \left(1 - \frac{1}{x_2+1}\right) + \left(1 - \frac{1}{x_3+1}\right) = N $$ 3 - \left(\frac{1}{x_1+1} + \frac{1}{x_2+1} + \frac{1}{x_3+1}\right) = N $

Отсюда получаем выражение для суммы обратных величин:$ \frac{1}{x_1+1} + \frac{1}{x_2+1} + \frac{1}{x_3+1} = 3 - N $

Рассмотрим два возможных случая для $N$.

Первый случай: $N = 1$. Уравнение принимает вид:$ \frac{1}{x_1+1} + \frac{1}{x_2+1} + \frac{1}{x_3+1} = 3 - 1 = 2 $.Поскольку $x_1, x_2, x_3$ — различные натуральные числа, наименьшие возможные значения для них — это 1, 2, 3. Тогда $x_1+1 \ge 2$, $x_2+1 \ge 3$, $x_3+1 \ge 4$.Максимально возможная сумма левой части уравнения:$ \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \frac{1}{4} = \frac{6+4+3}{12} = \frac{13}{12} $.Так как $ \frac{13}{12} < 2 $, уравнение не имеет решений в натуральных числах $x_i$. Значит, сумма дробей не может быть равна 1.

Второй случай: $N = 2$. Уравнение принимает вид:$ \frac{1}{x_1+1} + \frac{1}{x_2+1} + \frac{1}{x_3+1} = 3 - 2 = 1 $.Нам нужно найти три различных натуральных числа $x_1, x_2, x_3$, удовлетворяющих этому уравнению. Пусть $y_1=x_1+1, y_2=x_2+1, y_3=x_3+1$. Тогда $y_1, y_2, y_3$ — различные целые числа, большие или равные 2. Упорядочим их: $2 \le y_1 < y_2 < y_3$.$ \frac{1}{y_1} + \frac{1}{y_2} + \frac{1}{y_3} = 1 $.Из $y_1 < y_2 < y_3$ следует, что $ \frac{1}{y_1} > \frac{1}{y_2} > \frac{1}{y_3} $.Тогда $ 1 = \frac{1}{y_1} + \frac{1}{y_2} + \frac{1}{y_3} < \frac{1}{y_1} + \frac{1}{y_1} + \frac{1}{y_1} = \frac{3}{y_1} $, откуда $y_1 < 3$. Учитывая, что $y_1 \ge 2$, единственное возможное значение — $y_1=2$.

Подставим $y_1=2$ в уравнение:$ \frac{1}{2} + \frac{1}{y_2} + \frac{1}{y_3} = 1 \implies \frac{1}{y_2} + \frac{1}{y_3} = \frac{1}{2} $.Теперь для $y_2$ имеем $2=y_1 < y_2$. Рассуждая аналогично, $ \frac{1}{2} = \frac{1}{y_2} + \frac{1}{y_3} < \frac{1}{y_2} + \frac{1}{y_2} = \frac{2}{y_2} $, откуда $y_2 < 4$. Учитывая, что $y_2 > 2$, единственное возможное значение — $y_2=3$.

Подставим $y_2=3$:$ \frac{1}{3} + \frac{1}{y_3} = \frac{1}{2} \implies \frac{1}{y_3} = \frac{1}{2} - \frac{1}{3} = \frac{3-2}{6} = \frac{1}{6} $.Отсюда $y_3=6$.

Таким образом, мы нашли тройку чисел: $y_1=2, y_2=3, y_3=6$.Находим соответствующие значения $x_i$: $x_1 = y_1 - 1 = 1$, $x_2 = y_2 - 1 = 2$, $x_3 = y_3 - 1 = 5$.

Искомые дроби: $ \frac{1}{1+1} = \frac{1}{2} $, $ \frac{2}{2+1} = \frac{2}{3} $ и $ \frac{5}{5+1} = \frac{5}{6} $.

Проверим их сумму:$ \frac{1}{2} + \frac{2}{3} + \frac{5}{6} = \frac{3}{6} + \frac{4}{6} + \frac{5}{6} = \frac{3+4+5}{6} = \frac{12}{6} = 2 $.Сумма равна 2, что является натуральным числом.

Ответ: Три такие дроби — это $ \frac{1}{2} $, $ \frac{2}{3} $ и $ \frac{5}{6} $.