Страница 279 - гдз по алгебре 8 класс учебник Макарычев, Миндюк

1249. Постройте график функции

Сколько общих точек имеет этот график с прямой y = a в случае, когда:

а) a = 2;

б) a = 1;

в) a = $\frac{1}{2}$;

г) a = 0?

$y=\left\{\begin{array}{l}{x}^{-2},\text{ если }-2\le x\le -1,\\ x^2,\text{ если }-1\le x\le 1,\\ x^{-2},\text{ если }1<x\le 2\end{array}\right.$

а) a=2 - общих точек нет

б) a=1 - 2 общих точки

в) $a=\frac{1}{2}$ - 4 общие точки

г) a=0 - 1 общая точка

Ответ: а) 0; б) 2; в) 4; г) 1

Для решения задачи сначала построим график заданной кусочно-заданной функции. Функция определена на отрезке $[-2, 2]$ и состоит из трех частей.

1. На промежутке $y = \begin{cases} x^{-2}, & \text{если } -2 \le x < -1 \\ x^2, & \text{если } -1 \le x \le 1 \\ x^{-2}, & \text{если } 1 < x \le 2 \end{cases}$

1. На промежутке $[-2, -1)$ график функции совпадает с графиком функции $y = x^{-2} = \frac{1}{x^2}$. Это часть кривой, симметричной относительно оси $Oy$. Найдем значения функции на концах этого промежутка:

• При $x = -2$, $y = (-2)^{-2} = \frac{1}{4}$. Точка $(-2, \frac{1}{4})$ принадлежит графику.
• При $x$, стремящемся к $-1$ слева, $y$ стремится к $(-1)^{-2} = 1$. Точка $(-1, 1)$ не принадлежит этой части графика, на графике она будет "выколотой".

2. На промежутке $[-1, 1]$ график функции совпадает с графиком параболы $y = x^2$.

• При $x = -1$, $y = (-1)^2 = 1$. Точка $(-1, 1)$ принадлежит графику, "заполняя" выколотую точку из предыдущего пункта.
• При $x = 0$, $y = 0^2 = 0$. Это вершина параболы.
• При $x = 1$, $y = 1^2 = 1$. Точка $(1, 1)$ принадлежит графику.

3. На промежутке $(1, 2]$ график функции снова совпадает с графиком функции $y = x^{-2} = \frac{1}{x^2}$.

• При $x$, стремящемся к $1$ справа, $y$ стремится к $1^{-2} = 1$. Точка $(1, 1)$ уже включена в график из предыдущего пункта, поэтому разрыва в этой точке нет.
• При $x = 2$, $y = 2^{-2} = \frac{1}{4}$. Точка $(2, \frac{1}{4})$ принадлежит графику.

Итоговый график является непрерывной линией, симметричной относительно оси ординат. Область значений функции — отрезок $[0, 1]$.

Теперь найдем количество общих точек этого графика с прямой $y = a$ для заданных значений $a$. Это эквивалентно нахождению количества корней уравнения $f(x) = a$ на отрезке $[-2, 2]$.

а) При $a = 2$ прямая $y=2$ расположена выше графика функции, так как максимальное значение функции равно $1$. Следовательно, общих точек нет.

Ответ: 0.

б) При $a = 1$ прямая $y=1$ касается графика в его максимальных точках. Решим уравнение $f(x)=1$:

• На $[-2, -1) \cup (1, 2]$: $x^{-2} = 1 \implies x^2 = 1 \implies x = \pm 1$. Ни один из этих корней не входит в указанные промежутки.
• На $[-1, 1]$: $x^2 = 1 \implies x = \pm 1$. Оба корня входят в этот промежуток.

Таким образом, есть две общие точки: $(-1, 1)$ и $(1, 1)$.

Ответ: 2.

в) При $a = \frac{1}{2}$ прямая $y=\frac{1}{2}$ пересекает график. Решим уравнение $f(x)=\frac{1}{2}$:

• На $[-2, -1) \cup (1, 2]$: $x^{-2} = \frac{1}{2} \implies x^2 = 2 \implies x = \pm\sqrt{2}$. Корень $x = -\sqrt{2}$ принадлежит промежутку $[-2, -1)$, а корень $x = \sqrt{2}$ принадлежит промежутку $(1, 2]$. Это дает две общие точки.
• На $[-1, 1]$: $x^2 = \frac{1}{2} \implies x = \pm\sqrt{\frac{1}{2}} = \pm\frac{\sqrt{2}}{2}$. Оба корня, $x = -\frac{\sqrt{2}}{2}$ и $x = \frac{\sqrt{2}}{2}$, принадлежат промежутку $[-1, 1]$. Это дает еще две общие точки.

Всего получается четыре общие точки.

Ответ: 4.

г) При $a = 0$ прямая $y=0$ (ось абсцисс) пересекает график. Решим уравнение $f(x)=0$:

• На $[-2, -1) \cup (1, 2]$: $x^{-2} = \frac{1}{x^2} = 0$. Это уравнение не имеет решений.
• На $[-1, 1]$: $x^2 = 0 \implies x = 0$. Корень принадлежит этому промежутку.

Таким образом, есть только одна общая точка: $(0, 0)$.

Ответ: 1.

1250. Дана функция

Сколько корней имеет уравнение:

$y=\left\{\begin{array}{l}{x}^{-1},\text{ если }x<-\frac{1}{2}\\ 4x,\text{ если }-\frac{1}{2}\le x\le \frac{1}{2}\\ x^{-1},\text{ если }x>\frac{1}{2}\end{array}\right.$

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{a) }}y=2 \\ \begin{array}{cc}{x}^{-1}=2 \\ \frac{1}{x}=2& 4x=2 \\ x=\frac{1}{2}\in \left[-\frac{1}{2}; \frac{1}{2}\right]\end{array} \\ 2x=1 \\ x=\frac{1}{2}\notin \left(-\mathrm{\infty }; -\frac{1}{2}\right)\cup \left(\frac{1}{2}; +\mathrm{\infty }\right) \end{gathered}$$

Ответ: 1 корень

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{б) }}y=\frac{1}{3} \\ \begin{array}{cc}{x}^{-1}=\frac{1}{3} \\ \frac{1}{x}=\frac{1}{3}& 4x=\frac{1}{3} \\ x=\frac{1}{12}\in \left[-\frac{1}{2}; \frac{1}{2}\right]\end{array} \\ x=3\in \left(\frac{1}{2}; +\mathrm{\infty }\right) \end{gathered}$$

Ответ: 2 корня

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{в) }}y=0 \\ \begin{array}{cc}{x}^{-1}=0 \\ \frac{1}{x}=0& 4x=0 \\ x=0\in \left[-\frac{1}{2}; \frac{1}{2}\right]\end{array} \end{gathered}$$

нет корней

Ответ. 1 корень

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{г) }}y=-3 \\ \begin{array}{cc}{x}^{-1}=-3 \\ \frac{1}{x}=-3& 4x=-3 \\ x=-\frac{3}{4}\notin \left[-\frac{1}{2}; \frac{1}{2}\right]\end{array} \\ -3x=1 \\ x=-\frac{1}{3}\notin \left(-\mathrm{\infty }; -\frac{1}{2}]\cup (\frac{1}{2}; +\mathrm{\infty }\right) \end{gathered}$$

Ответ: 0 корней

Для того чтобы найти количество корней уравнения, мы должны решить его для каждого из заданных значений $y$, рассматривая каждый из трех участков функции отдельно.

а) y = 2

Решаем уравнение для каждого участка:

• При $x < -\frac{1}{2}$, уравнение $\frac{1}{x} = 2$ дает корень $x = \frac{1}{2}$. Это значение не удовлетворяет условию $x < -\frac{1}{2}$, следовательно, здесь корней нет.
• При $-\frac{1}{2} \le x \le \frac{1}{2}$, уравнение $4x = 2$ дает корень $x = \frac{1}{2}$. Это значение удовлетворяет условию $-\frac{1}{2} \le x \le \frac{1}{2}$, значит, это корень.
• При $x > \frac{1}{2}$, уравнение $\frac{1}{x} = 2$ дает корень $x = \frac{1}{2}$. Это значение не удовлетворяет строгому неравенству $x > \frac{1}{2}$, следовательно, здесь корней нет.

Таким образом, уравнение имеет только один корень.
Ответ: 1.

б) y = $\frac{1}{3}$

Решаем уравнение для каждого участка:

• При $x < -\frac{1}{2}$, уравнение $\frac{1}{x} = \frac{1}{3}$ дает корень $x = 3$. Это значение не удовлетворяет условию $x < -\frac{1}{2}$.
• При $-\frac{1}{2} \le x \le \frac{1}{2}$, уравнение $4x = \frac{1}{3}$ дает корень $x = \frac{1}{12}$. Это значение удовлетворяет условию $-\frac{1}{2} \le \frac{1}{12} \le \frac{1}{2}$, значит, это корень.
• При $x > \frac{1}{2}$, уравнение $\frac{1}{x} = \frac{1}{3}$ дает корень $x = 3$. Это значение удовлетворяет условию $x > \frac{1}{2}$, значит, это корень.

Таким образом, уравнение имеет два корня.
Ответ: 2.

в) y = 0

Решаем уравнение для каждого участка:

• При $x < -\frac{1}{2}$ и $x > \frac{1}{2}$, уравнение $\frac{1}{x} = 0$ не имеет решений.
• При $-\frac{1}{2} \le x \le \frac{1}{2}$, уравнение $4x = 0$ дает корень $x = 0$. Это значение удовлетворяет условию $-\frac{1}{2} \le 0 \le \frac{1}{2}$, значит, это корень.

Таким образом, уравнение имеет один корень.
Ответ: 1.

г) y = -3

Решаем уравнение для каждого участка:

• При $x < -\frac{1}{2}$, уравнение $\frac{1}{x} = -3$ дает корень $x = -\frac{1}{3}$. Это значение не удовлетворяет условию $x < -\frac{1}{2}$, так как $-\frac{1}{3} \approx -0.33 > -0.5$.
• При $-\frac{1}{2} \le x \le \frac{1}{2}$, уравнение $4x = -3$ дает корень $x = -\frac{3}{4}$. Это значение не удовлетворяет условию, так как $-\frac{3}{4} = -0.75 < -0.5$.
• При $x > \frac{1}{2}$, уравнение $\frac{1}{x} = -3$ дает корень $x = -\frac{1}{3}$. Это значение не удовлетворяет условию $x > \frac{1}{2}$.

Также можно проанализировать область значений функции. На интервале $x < -\frac{1}{2}$ значения $y$ лежат в интервале $(-2, 0)$. На отрезке $[-\frac{1}{2}, \frac{1}{2}]$ значения $y$ лежат в отрезке $[-2, 2]$. На интервале $x > \frac{1}{2}$ значения $y$ лежат в интервале $(0, 2)$. Общая область значений функции — это отрезок $[-2, 2]$. Значение $y = -3$ не входит в эту область, поэтому уравнение не имеет корней.
Ответ: 0.

1251. Вычислите:

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{a) }}-0,25^{-2}·100=-\frac{1}{0,25^2}·100=-\frac{100}{0,0625}= \\ =-\frac{1000000}{625}=-1600 \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{б) }}0,01·{\left(-0,5\right)}^{-3}=0,01·\frac{1}{{\left(-0,5\right)}^3}=0,01·\frac{1}{-0,125}= \\ =-\frac{0,01·1000}{125}=-\frac{10}{125}=-\frac{2}{25}=-0,08 \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{в) }}0,2^{-4}·\left(-1,6\right)=\frac{1}{0,2^4}·\left(-1,6\right)=\frac{-1,6}{0,0016}= \\ =-\frac{16000}{16}=-1000 \end{gathered}$$

г) $0,1^{-1}+1,1^0=\frac{1}{0,1}+1=\frac{10}{1}+1=110,1^\{-1\}+1,1^\{0\}=\backslash frac\{1\}\{0,1\}+1=\backslash frac\{10\}\{1\}+1=11$

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{д) }}3\frac{1}{3}·{\left(\frac{2}{3}\right)}^{-2}-0,5=\frac{10}{3}·{\left(\frac{3}{2}\right)}^2-0,5= \\ =\frac{10}{3}·\frac{9}{4}-0,5=\frac{30}{4}-0,5=7,5-0,5=7 \end{gathered}$$

е) $-4^{-1}·5+2,5^2=-\frac{1}{4}·5+6,25=-1,25+6,25=5$

ж) ${\left(-0,2\right)}^3·{\left(-0,1\right)}^2=-0,008·0,01=-0,00008$

з) $-6^{-1}·36^2·{\left(\frac{1}{6}\right)}^3=-\frac{1}{6}·{\left(6^2\right)}^2·\frac{1}{6^3}=-\frac{6^4}{6^4}=-1$

и) $-{\left(-1\right)}^0·{\left(-\frac{1}{3}\right)}^5=-1·\left(-\frac{1}{243}\right)=\frac{1}{243}$

а) $-0,25^{-2} \cdot 100 = -(\frac{1}{4})^{-2} \cdot 100 = -4^2 \cdot 100 = -16 \cdot 100 = -1600$.

Ответ: $-1600$.

б) $0,01 \cdot (-0,5)^{-3} = \frac{1}{100} \cdot (-\frac{1}{2})^{-3} = \frac{1}{100} \cdot (-2)^3 = \frac{1}{100} \cdot (-8) = -0,08$.

Ответ: $-0,08$.

в) $0,2^{-4} \cdot (-1,6) = (\frac{1}{5})^{-4} \cdot (-\frac{16}{10}) = 5^4 \cdot (-\frac{8}{5}) = 625 \cdot (-\frac{8}{5}) = 125 \cdot (-8) = -1000$.

Ответ: $-1000$.

г) $0,1^{-1} + 1,1^0 = (\frac{1}{10})^{-1} + 1 = 10 + 1 = 11$.

Ответ: $11$.

д) $3\frac{1}{3} \cdot (\frac{2}{3})^{-2} - 0,5 = \frac{10}{3} \cdot (\frac{3}{2})^2 - 0,5 = \frac{10}{3} \cdot \frac{9}{4} - \frac{1}{2} = \frac{15}{2} - \frac{1}{2} = \frac{14}{2} = 7$.

Ответ: $7$.

е) $-4^{-1} \cdot 5 + 2,5^2 = -\frac{1}{4} \cdot 5 + (\frac{5}{2})^2 = -\frac{5}{4} + \frac{25}{4} = \frac{20}{4} = 5$.

Ответ: $5$.

ж) $(-0,2)^3 \cdot (-0,1)^2 = (-0,008) \cdot (0,01) = -0,00008$.

Ответ: $-0,00008$.

з) $-6^{-1} \cdot 36^2 \cdot (\frac{1}{6})^3 = -6^{-1} \cdot (6^2)^2 \cdot (6^{-1})^3 = -6^{-1} \cdot 6^4 \cdot 6^{-3} = -6^{-1+4-3} = -6^0 = -1$.

Ответ: $-1$.

и) $-(-1)^0 \cdot (-\frac{1}{3})^5 = -(1) \cdot (-\frac{1}{3^5}) = -1 \cdot (-\frac{1}{243}) = \frac{1}{243}$.

Ответ: $\frac{1}{243}$.

1252. Преобразуйте выражение так, чтобы оно не содержало степеней с отрицательными показателями:

a) $\frac{a{m}^{-2}}{a^{-1}b}=\frac{a^{1-\left(-1\right)}}{m^{2}b}=\frac{a^2}{b{m}^2}\backslash frac\{am^\{-2\}\}\{a^\{-1\}b\}=\backslash frac\{a^\{1-(-1)\}\}\{m^\{2\}b\}=\backslash frac\{a^\{2\}\}\{bm^\{2\}\}$

б) $\frac{\left(a+b\right)b}{b^{-1}\left(a-b\right)}=\frac{\left(a+b\right)b^2}{a-b}\backslash frac\{(a+b)b\}\{b^\{-1\}(a-b)\}=\backslash frac\{(a+b)b^\{2\}\}\{a-b\}$

в) $\frac{2a^{-1}{b}^2}{{\left(a+b\right)}^{-2}}=\frac{2{\left(a+b\right)}^2{b}^2}{a}$

а) Исходное выражение: $ \frac{am^{-2}}{a^{-1}b} $.
Для преобразования выражения и избавления от отрицательных степеней воспользуемся основным свойством степени с отрицательным показателем: $x^{-n} = \frac{1}{x^n}$, и, как следствие, $\frac{1}{x^{-n}} = x^n$. Это означает, что множитель можно переносить из числителя в знаменатель (и наоборот), меняя знак его показателя степени.
1. Перенесем множитель $m^{-2}$ из числителя в знаменатель. Его показатель $-2$ изменится на $2$.
2. Перенесем множитель $a^{-1}$ из знаменателя в числитель. Его показатель $-1$ изменится на $1$.
После этих преобразований выражение примет вид:
$ \frac{a \cdot a^1}{b \cdot m^2} $
Теперь упростим числитель, используя свойство умножения степеней с одинаковым основанием $x^p \cdot x^q = x^{p+q}$:
$ a \cdot a^1 = a^{1+1} = a^2 $
Итоговое выражение не содержит степеней с отрицательными показателями.
Ответ: $ \frac{a^2}{bm^2} $

б) Исходное выражение: $ \frac{(a+b)b}{b^{-1}(a-b)} $.
В знаменателе дроби находится множитель $b$ в степени $-1$. Чтобы избавиться от отрицательной степени, воспользуемся правилом $\frac{1}{x^{-n}} = x^n$. Перенесем множитель $b^{-1}$ из знаменателя в числитель, поменяв знак его показателя с $-1$ на $1$.
Выражение примет вид:
$ \frac{(a+b)b \cdot b^1}{a-b} $
Упростим числитель, перемножив $b$ и $b^1$:
$ b \cdot b^1 = b^{1+1} = b^2 $
Окончательный вид выражения без отрицательных степеней:
Ответ: $ \frac{(a+b)b^2}{a-b} $

в) Исходное выражение: $ \frac{2a^{-1}b^2}{(a+b)^{-2}} $.
В данном выражении есть два множителя с отрицательными показателями: $a^{-1}$ в числителе и $(a+b)^{-2}$ в знаменателе.
Применим те же свойства, что и в предыдущих пунктах:
1. Множитель $a^{-1}$ из числителя переносим в знаменатель, где он становится $a^1$ (или просто $a$).
2. Множитель $(a+b)^{-2}$ из знаменателя переносим в числитель, где он становится $(a+b)^2$.
После переноса множителей выражение примет вид:
$ \frac{2b^2(a+b)^2}{a} $
В полученном выражении все показатели степеней положительны.
Ответ: $ \frac{2b^2(a+b)^2}{a} $

1253. Представьте в виде дроби выражение:

a) $x{y}^{-2}-x^{-2}y=\frac{x}{y^2}-\frac{y}{x^2}=\frac{x^3-y^3}{x^2{y}^2}xy^\{-2\}\; -\; x^\{-2\}y=\backslash frac\{x\}\{y^2\}\; -\; \backslash frac\{y\}\{x^2\}=\backslash frac\{x^3\; -\; y^3\}\{x^2y^2\}$

б) ${\left(\frac{x}{y}\right)}^{-1}+{\left(\frac{x}{y}\right)}^{-2}=\frac{y}{x}+{\left(\frac{y}{x}\right)}^2=\frac{xy+y^2}{x^2}$

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{в) }}mn{\left(n-m\right)}^{-2}-n{\left(m-n\right)}^{-1}=\frac{mn}{{\left(n-m\right)}^2}-\frac{n}{m-n}= \\ =\frac{mn-n\left(m-n\right)}{{\left(m-n\right)}^2}=\frac{mn-mn+n^2}{{\left(m-n\right)}^2}=\frac{n^2}{{\left(m-n\right)}^2} \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{г) }}\left(x^{-1}+y^{-1}\right)\left(x^{-1}-y^{-1}\right)=\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}\right)\left(\frac{1}{x}-\frac{1}{y}\right)= \\ ={\left(\frac{1}{x}\right)}^2-{\left(\frac{1}{y}\right)}^2=\frac{1}{x^2}-\frac{1}{y^2}=\frac{y^2-x^2}{x^2{y}^2} \end{gathered}$$

а) $xy^{-2} - x^{-2}y$
Преобразуем выражение, используя определение степени с отрицательным показателем $a^{-n} = \frac{1}{a^n}$:
$xy^{-2} - x^{-2}y = x \cdot \frac{1}{y^2} - y \cdot \frac{1}{x^2} = \frac{x}{y^2} - \frac{y}{x^2}$.
Чтобы вычесть дроби, приведем их к общему знаменателю $x^2y^2$:
$\frac{x \cdot x^2}{y^2 \cdot x^2} - \frac{y \cdot y^2}{x^2 \cdot y^2} = \frac{x^3}{x^2y^2} - \frac{y^3}{x^2y^2} = \frac{x^3 - y^3}{x^2y^2}$.
Ответ: $\frac{x^3 - y^3}{x^2y^2}$.

б) $(\frac{x}{y})^{-1} + (\frac{x}{y})^{-2}$
Используем свойство степени $(\frac{a}{b})^{-n} = (\frac{b}{a})^n$:
$(\frac{x}{y})^{-1} + (\frac{x}{y})^{-2} = \frac{y}{x} + (\frac{y}{x})^2 = \frac{y}{x} + \frac{y^2}{x^2}$.
Приводим дроби к общему знаменателю $x^2$:
$\frac{y \cdot x}{x \cdot x} + \frac{y^2}{x^2} = \frac{xy}{x^2} + \frac{y^2}{x^2} = \frac{xy + y^2}{x^2}$.
В числителе можно вынести общий множитель $y$ за скобки:
$\frac{y(x+y)}{x^2}$.
Ответ: $\frac{y(x+y)}{x^2}$.

в) $mn(n-m)^{-2} - n(m-n)^{-1}$
Перепишем выражение, используя определение степени с отрицательным показателем:
$mn(n-m)^{-2} - n(m-n)^{-1} = \frac{mn}{(n-m)^2} - \frac{n}{m-n}$.
Заметим, что $m-n = -(n-m)$. Поэтому $-\frac{n}{m-n} = -\frac{n}{-(n-m)} = \frac{n}{n-m}$.
Таким образом, наше выражение можно переписать как:
$\frac{mn}{(n-m)^2} + \frac{n}{n-m}$.
Приведем дроби к общему знаменателю $(n-m)^2$:
$\frac{mn}{(n-m)^2} + \frac{n(n-m)}{(n-m)^2} = \frac{mn + n(n-m)}{(n-m)^2}$.
Раскроем скобки в числителе и упростим:
$\frac{mn + n^2 - mn}{(n-m)^2} = \frac{n^2}{(n-m)^2}$.
Ответ: $\frac{n^2}{(n-m)^2}$.

г) $(x^{-1} + y^{-1})(x^{-1} - y^{-1})$
Это выражение является произведением суммы и разности двух членов, поэтому мы можем применить формулу разности квадратов $(a+b)(a-b) = a^2 - b^2$. В данном случае $a = x^{-1}$ и $b = y^{-1}$:
$(x^{-1})^2 - (y^{-1})^2 = x^{-2} - y^{-2}$.
Теперь представим степени с отрицательными показателями в виде дробей:
$x^{-2} - y^{-2} = \frac{1}{x^2} - \frac{1}{y^2}$.
Приведем дроби к общему знаменателю $x^2y^2$ и выполним вычитание:
$\frac{y^2}{x^2y^2} - \frac{x^2}{x^2y^2} = \frac{y^2 - x^2}{x^2y^2}$.
Ответ: $\frac{y^2 - x^2}{x^2y^2}$.