Номер 1252, страница 279 - гдз по алгебре 8 класс учебник Макарычев, Миндюк

К параграфу 15. Дополнительные упражнения к главе VI. Глава 6. Степень с целым показателем - номер 1252, страница 279.

1252. Преобразуйте выражение так, чтобы оно не содержало степеней с отрицательными показателями:

a) $\frac{a{m}^{-2}}{a^{-1}b}=\frac{a^{1-\left(-1\right)}}{m^{2}b}=\frac{a^2}{b{m}^2}\backslash frac\{am^\{-2\}\}\{a^\{-1\}b\}=\backslash frac\{a^\{1-(-1)\}\}\{m^\{2\}b\}=\backslash frac\{a^\{2\}\}\{bm^\{2\}\}$

б) $\frac{\left(a+b\right)b}{b^{-1}\left(a-b\right)}=\frac{\left(a+b\right)b^2}{a-b}\backslash frac\{(a+b)b\}\{b^\{-1\}(a-b)\}=\backslash frac\{(a+b)b^\{2\}\}\{a-b\}$

в) $\frac{2a^{-1}{b}^2}{{\left(a+b\right)}^{-2}}=\frac{2{\left(a+b\right)}^2{b}^2}{a}$

а) Исходное выражение: $ \frac{am^{-2}}{a^{-1}b} $.
Для преобразования выражения и избавления от отрицательных степеней воспользуемся основным свойством степени с отрицательным показателем: $x^{-n} = \frac{1}{x^n}$, и, как следствие, $\frac{1}{x^{-n}} = x^n$. Это означает, что множитель можно переносить из числителя в знаменатель (и наоборот), меняя знак его показателя степени.
1. Перенесем множитель $m^{-2}$ из числителя в знаменатель. Его показатель $-2$ изменится на $2$.
2. Перенесем множитель $a^{-1}$ из знаменателя в числитель. Его показатель $-1$ изменится на $1$.
После этих преобразований выражение примет вид:
$ \frac{a \cdot a^1}{b \cdot m^2} $
Теперь упростим числитель, используя свойство умножения степеней с одинаковым основанием $x^p \cdot x^q = x^{p+q}$:
$ a \cdot a^1 = a^{1+1} = a^2 $
Итоговое выражение не содержит степеней с отрицательными показателями.
Ответ: $ \frac{a^2}{bm^2} $

б) Исходное выражение: $ \frac{(a+b)b}{b^{-1}(a-b)} $.
В знаменателе дроби находится множитель $b$ в степени $-1$. Чтобы избавиться от отрицательной степени, воспользуемся правилом $\frac{1}{x^{-n}} = x^n$. Перенесем множитель $b^{-1}$ из знаменателя в числитель, поменяв знак его показателя с $-1$ на $1$.
Выражение примет вид:
$ \frac{(a+b)b \cdot b^1}{a-b} $
Упростим числитель, перемножив $b$ и $b^1$:
$ b \cdot b^1 = b^{1+1} = b^2 $
Окончательный вид выражения без отрицательных степеней:
Ответ: $ \frac{(a+b)b^2}{a-b} $

в) Исходное выражение: $ \frac{2a^{-1}b^2}{(a+b)^{-2}} $.
В данном выражении есть два множителя с отрицательными показателями: $a^{-1}$ в числителе и $(a+b)^{-2}$ в знаменателе.
Применим те же свойства, что и в предыдущих пунктах:
1. Множитель $a^{-1}$ из числителя переносим в знаменатель, где он становится $a^1$ (или просто $a$).
2. Множитель $(a+b)^{-2}$ из знаменателя переносим в числитель, где он становится $(a+b)^2$.
После переноса множителей выражение примет вид:
$ \frac{2b^2(a+b)^2}{a} $
В полученном выражении все показатели степеней положительны.
Ответ: $ \frac{2b^2(a+b)^2}{a} $