Номер 1246, страница 278 - гдз по алгебре 8 класс учебник Макарычев, Миндюк

51. Функции у = х^-1 и у = х^-2 и их свойства. § 16. Стандартный вид числа. Глава 6. Степень с целым показателем - номер 1246, страница 278.

1246. Постройте в одной системе координат графики функций y = x⁻¹, где x > 0, и y = x⁻², где x > 0. Сравните значения x⁻¹ и x⁻², если:

а) 0 ‹ x ‹ 1;

б) x > 1.

$$\begin{gathered} y=x^{-1}, \text{где }x>0 \\ y=x^{-2}, \text{где }x>0 \end{gathered}$$

a) если , то $x^{-2}>x^{-1}x^\{-2\}\; >\; x^\{-1\}$

б) если $x>1x>1$, то $x^{-1}>x^{-2}x^\{-1\}\; >\; x^\{-2\}$

Для решения задачи сначала построим графики функций $y = x^{-1}$ и $y = x^{-2}$ в одной системе координат при условии $x > 0$.

Функция $y = x^{-1}$ также записывается как $y = \frac{1}{x}$. Ее график для $x > 0$ — это ветвь гиперболы, расположенная в первой координатной четверти.

Функция $y = x^{-2}$ также записывается как $y = \frac{1}{x^2}$. Ее график для $x > 0$ также является кривой в первой координатной четверти.

Найдем точку пересечения этих графиков. Для этого приравняем выражения для $y$:

$x^{-1} = x^{-2}$

$\frac{1}{x} = \frac{1}{x^2}$

Так как по условию $x > 0$, мы можем умножить обе части уравнения на $x^2$:

$x^2 \cdot \frac{1}{x} = x^2 \cdot \frac{1}{x^2}$

$x = 1$

При $x=1$ значение обеих функций равно $y = 1^{-1} = 1^{-2} = 1$. Следовательно, графики функций пересекаются в точке $(1; 1)$.

Эта точка делит область $x > 0$ на два интервала: $(0; 1)$ и $(1; +\infty)$. Сравнение значений функций на этих интервалах можно провести, анализируя, какой из графиков находится выше.

а) Сравним значения $x^{-1}$ и $x^{-2}$, если $0 < x < 1$.

Графический анализ: На интервале $(0; 1)$ график функции $y = x^{-2}$ (т.е. $y = \frac{1}{x^2}$) расположен выше графика функции $y = x^{-1}$ (т.е. $y = \frac{1}{x}$). Это означает, что для любого $x$ из этого интервала значение $x^{-2}$ будет больше значения $x^{-1}$.

Алгебраический анализ: Возьмем любое число $x$ из интервала $0 < x < 1$. Например, $x = 0.5$.

$x^{-1} = (0.5)^{-1} = \frac{1}{0.5} = 2$

$x^{-2} = (0.5)^{-2} = \frac{1}{(0.5)^2} = \frac{1}{0.25} = 4$

Так как $4 > 2$, то $x^{-2} > x^{-1}$.

В общем случае, для $0 < x < 1$, возведение в квадрат уменьшает число, то есть $x^2 < x$. Поскольку мы сравниваем обратные величины $\frac{1}{x}$ и $\frac{1}{x^2}$, то из двух дробей с одинаковыми числителями (равными 1) больше та, у которой знаменатель меньше. Так как $x^2 < x$, то $\frac{1}{x^2} > \frac{1}{x}$.

Следовательно, при $0 < x < 1$ выполняется неравенство $x^{-2} > x^{-1}$.

Ответ: $x^{-1} < x^{-2}$.

б) Сравним значения $x^{-1}$ и $x^{-2}$, если $x > 1$.

Графический анализ: На интервале $(1; +\infty)$ график функции $y = x^{-1}$ расположен выше графика функции $y = x^{-2}$. Это означает, что для любого $x$ из этого интервала значение $x^{-1}$ будет больше значения $x^{-2}$.

Алгебраический анализ: Возьмем любое число $x$, такое что $x > 1$. Например, $x = 2$.

$x^{-1} = 2^{-1} = \frac{1}{2}$

$x^{-2} = 2^{-2} = \frac{1}{2^2} = \frac{1}{4}$

Так как $\frac{1}{2} > \frac{1}{4}$, то $x^{-1} > x^{-2}$.

В общем случае, для $x > 1$, возведение в квадрат увеличивает число, то есть $x^2 > x$. Сравнивая дроби $\frac{1}{x}$ и $\frac{1}{x^2}$, та дробь будет больше, у которой знаменатель меньше. Так как $x < x^2$, то $\frac{1}{x} > \frac{1}{x^2}$.

Следовательно, при $x > 1$ выполняется неравенство $x^{-1} > x^{-2}$.

Ответ: $x^{-1} > x^{-2}$.