Номер 1248, страница 278 - гдз по алгебре 8 класс учебник Макарычев, Миндюк

51. Функции у = х^-1 и у = х^-2 и их свойства. § 16. Стандартный вид числа. Глава 6. Степень с целым показателем - номер 1248, страница 278.

1248. Расположите в порядке возрастания числа x²₀, x₀, x₀⁰, x₀⁻¹, x₀⁻², зная, что:

а) 0 ‹ x₀ ‹ 1;

б) x₀ > 1.

а) если , то $x_0^2, x_0, x_0^0, x_0^{-1}, x_0^{-2}$

б) если $x_0>1x\_0>1$, то $x_0^{-2}, x_0^{-1}, x_0^0, x_0, x_0^2$

а)

При условии $0 < x_0 < 1$ нам нужно расположить в порядке возрастания числа $x_0^2, x_0, x_0^0, x_0^{-1}, x_0^{-2}$.

Для решения этой задачи рассмотрим свойства степенной функции $y=a^p$ с основанием $a = x_0$. Поскольку по условию $0 < x_0 < 1$, данная степенная функция является убывающей. Это означает, что большему значению показателя степени $p$ соответствует меньшее значение функции.

Показатели степеней в заданных числах: $2, 1, 0, -1, -2$. Упорядочим их по убыванию:

$2 > 1 > 0 > -1 > -2$

Так как функция убывающая, для соответствующих степеней числа $x_0$ будет выполняться обратное неравенство:

$x_0^2 < x_0^1 < x_0^0 < x_0^{-1} < x_0^{-2}$

Таким образом, числа в порядке возрастания располагаются как $x_0^2, x_0, x_0^0, x_0^{-1}, x_0^{-2}$.

Для проверки можно взять конкретное значение, например, $x_0 = \frac{1}{2}$. Тогда $x_0^2 = (\frac{1}{2})^2 = \frac{1}{4}$; $x_0 = \frac{1}{2}$; $x_0^0 = 1$; $x_0^{-1} = (\frac{1}{2})^{-1} = 2$; $x_0^{-2} = (\frac{1}{2})^{-2} = 4$. Располагая эти значения в порядке возрастания, получаем $\frac{1}{4} < \frac{1}{2} < 1 < 2 < 4$, что полностью соответствует полученному результату.

Ответ: $x_0^2, x_0, x_0^0, x_0^{-1}, x_0^{-2}$.

б)

При условии $x_0 > 1$.

В этом случае основание степенной функции $a = x_0$ больше единицы. Степенная функция $y=x_0^p$ является возрастающей. Это означает, что большему значению показателя степени $p$ соответствует большее значение функции.

Показатели степеней те же: $2, 1, 0, -1, -2$. Упорядочим их по возрастанию:

$-2 < -1 < 0 < 1 < 2$

Так как функция возрастающая, для соответствующих степеней числа $x_0$ будет выполняться такое же неравенство:

$x_0^{-2} < x_0^{-1} < x_0^0 < x_0^1 < x_0^2$

Таким образом, числа в порядке возрастания располагаются как $x_0^{-2}, x_0^{-1}, x_0^0, x_0, x_0^2$.

Для проверки можно взять конкретное значение, например, $x_0 = 2$. Тогда $x_0^{-2} = 2^{-2} = \frac{1}{4}$; $x_0^{-1} = 2^{-1} = \frac{1}{2}$; $x_0^0 = 1$; $x_0 = 2$; $x_0^2 = 4$. Располагая эти значения в порядке возрастания, получаем $\frac{1}{4} < \frac{1}{2} < 1 < 2 < 4$, что полностью соответствует полученному результату.

Ответ: $x_0^{-2}, x_0^{-1}, x_0^0, x_0, x_0^2$.