Номер 1243, страница 278 - гдз по алгебре 8 класс учебник Макарычев, Миндюк

51. Функции у = х^-1 и у = х^-2 и их свойства. § 16. Стандартный вид числа. Глава 6. Степень с целым показателем - номер 1243, страница 278.

1243. Докажите, что прямая y = –x + l, где l — некоторое положительное число, и гипербола y = x⁻¹:

а) имеют две общие точки, если l > 2;

б) имеют одну общую точку, если l = 2;

в) не имеют общих точек, если l ‹ 2.

$$\begin{gathered} y=-x+l, l>0, y=x^{-1} \\ -x+l=x^{-1} \\ -x+l=\frac{1}{x}\mathrm{/}·x \\ -x^2+lx=1 \\ -x^2+lx-1=0 \\ D=l^2-4·\left(-1\right)·\left(-1\right)=l^2-4 \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{a) }}{l}^2-4>0 \\ {l}^2>4 \\ \sqrt{l^2}>\sqrt{4} \\ \mathrm{\mid }l\mathrm{\mid }>2 \end{gathered}$$

если $l>0l>0$, то $l>2l>2$

если , то - неверно, т.к. по условию $l>0l>0$

Значит, прямая и гипербола имеют две общие точки, если $l>2l>2$

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{б) }}{l}^2-4=0 \\ {l}^2=4 \end{gathered}$$
$l=2$ или , но по условию $l>0l>0$

Значит, прямая и гипербола имеют одну общую точку, если $l=2l=2$

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{в) }}{l}^2-4<0 \\ {l}^2<4 \\ \sqrt{l^2}<\sqrt{4} \\ \mathrm{\mid }l\mathrm{\mid }<2 \end{gathered}$$

если $l>0l>0$, то ,

если , то - неверно, т.к. по условию $l>0l>0$

Значит, прямая и гипербола не имеют общих точек, если

Чтобы найти количество общих точек прямой $y = -x + l$ и гиперболы $y = x^{-1}$ (что то же самое, что и $y = \frac{1}{x}$), необходимо определить количество решений системы уравнений:

$$ \begin{cases} y = -x + l \\ y = \frac{1}{x} \end{cases} $$

Приравняем правые части уравнений, чтобы найти абсциссы точек пересечения:

$-x + l = \frac{1}{x}$

Поскольку $x$ находится в знаменателе, область определения уравнения $x \neq 0$. Умножим обе части уравнения на $x$ (это допустимо, так как $x \neq 0$):

$x(-x + l) = 1$

$-x^2 + lx = 1$

Перенесем все члены уравнения в одну сторону, чтобы получить стандартное квадратное уравнение:

$x^2 - lx + 1 = 0$

Количество действительных корней этого уравнения определяет количество точек пересечения графиков. Оно зависит от знака его дискриминанта $D$. Для квадратного уравнения вида $ax^2 + bx + c = 0$ дискриминант вычисляется по формуле $D = b^2 - 4ac$. В нашем случае коэффициенты равны: $a=1$, $b=-l$, $c=1$.

Вычислим дискриминант:

$D = (-l)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 1 = l^2 - 4$

Теперь проанализируем количество решений в зависимости от значения $l$.

а) имеют две общие точки, если $l > 2$

Если $l > 2$, то возведя в квадрат обе части неравенства (что возможно, так как обе части положительны), получаем $l^2 > 4$.

Тогда дискриминант $D = l^2 - 4 > 0$.

Поскольку дискриминант строго положителен, квадратное уравнение $x^2 - lx + 1 = 0$ имеет два различных действительных корня. Каждый корень соответствует абсциссе одной из точек пересечения. Так как при подстановке $x=0$ в уравнение мы получаем $1=0$ (неверное равенство), то $x=0$ не является корнем, и оба найденных решения отличны от нуля. Следовательно, прямая и гипербола имеют две общие точки.

Ответ: доказано, что при $l > 2$ прямая и гипербола имеют две общие точки.

б) имеют одну общую точку, если $l = 2$

Если $l = 2$, то дискриминант $D = l^2 - 4 = 2^2 - 4 = 4 - 4 = 0$.

Поскольку дискриминант равен нулю, квадратное уравнение $x^2 - 2x + 1 = 0$ имеет ровно один действительный корень (или два совпадающих корня). Это уравнение можно записать в виде $(x-1)^2 = 0$, откуда получаем единственный корень $x=1$. Этому значению абсциссы соответствует ордината $y = 1/1 = 1$. Следовательно, при $l=2$ прямая и гипербола имеют ровно одну общую точку $(1, 1)$, то есть прямая является касательной к гиперболе в этой точке.

Ответ: доказано, что при $l = 2$ прямая и гипербола имеют одну общую точку.

в) не имеют общих точек, если $l < 2$

По условию задачи $l$ — некоторое положительное число, поэтому мы рассматриваем случай $0 < l < 2$.

Если $0 < l < 2$, то $0 < l^2 < 4$.

Тогда дискриминант $D = l^2 - 4 < 0$.

Поскольку дискриминант отрицателен, квадратное уравнение $x^2 - lx + 1 = 0$ не имеет действительных корней. Это означает, что не существует таких действительных значений $x$, при которых $y$ для прямой и для гиперболы совпадают. Следовательно, прямая и гипербола не имеют общих точек.

Ответ: доказано, что при $0 < l < 2$ прямая и гипербола не имеют общих точек.