Номер 1238, страница 274 - гдз по алгебре 8 класс учебник Макарычев, Миндюк

50. Решение задач с большими и малыми числами. § 16. Стандартный вид числа. Глава 6. Степень с целым показателем - номер 1238, страница 274.

1238. При каком значении m сумма корней уравнения равна произведению этих корней?

3x² – 18x + m = 0

$$\begin{gathered} 3x^2-18x+m=03x^2\; -\; 18x+m=0 \\ {x}^2-6x+\frac{m}{3}=0x^2\; -\; 6x+\backslash frac\{m\}\{3\}=0 \\ {x}_1+x_2=6x\_1+x\_2=6 \\ {x}_1{x}_2=\frac{m}{3}=6; m=18x\_1\; x\_2=\backslash frac\{m\}\{3\}=6\; ;\; m=18 \end{gathered}$$

Ответ: при m=18

Для решения данной задачи воспользуемся теоремой Виета для приведенного квадратного уравнения. Исходное уравнение $3x^2 - 18x + m = 0$ не является приведенным, так как коэффициент при $x^2$ не равен 1. Однако теорема Виета применима и для общего вида квадратного уравнения $ax^2 + bx + c = 0$.

Согласно теореме Виета, для корней $x_1$ и $x_2$ уравнения $ax^2 + bx + c = 0$ справедливы следующие соотношения:

Сумма корней: $x_1 + x_2 = -\frac{b}{a}$

Произведение корней: $x_1 \cdot x_2 = \frac{c}{a}$

В нашем уравнении $3x^2 - 18x + m = 0$ коэффициенты равны:

$a = 3$

$b = -18$

$c = m$

Теперь найдем выражения для суммы и произведения корней, подставив эти коэффициенты в формулы Виета.

Сумма корней: $x_1 + x_2 = -\frac{-18}{3} = \frac{18}{3} = 6$.

Произведение корней: $x_1 \cdot x_2 = \frac{m}{3}$.

По условию задачи, сумма корней равна их произведению:

$x_1 + x_2 = x_1 \cdot x_2$

Приравняем полученные выражения для суммы и произведения:

$6 = \frac{m}{3}$

Решим полученное уравнение относительно $m$:

$m = 6 \cdot 3$

$m = 18$

Важным условием существования корней (в поле действительных чисел) является неотрицательность дискриминанта ($D \ge 0$). Проверим это условие для найденного значения $m = 18$.

$D = b^2 - 4ac = (-18)^2 - 4 \cdot 3 \cdot 18 = 324 - 216 = 108$

Поскольку $D = 108 > 0$, уравнение имеет два различных действительных корня, следовательно, найденное значение $m$ является корректным.

Ответ: $18$