Номер 1242, страница 278 - гдз по алгебре 8 класс учебник Макарычев, Миндюк

51. Функции у = х^-1 и у = х^-2 и их свойства. § 16. Стандартный вид числа. Глава 6. Степень с целым показателем - номер 1242, страница 278.

1242. Постройте в одной системе координат графики функций y = x и y = x⁻¹. Выясните, при каких значениях аргумента верны равенство x = x⁻¹ и неравенства x > x⁻¹ и x ‹ x⁻¹ в случае, если:

а) x > 0;

б) x ‹ 0.

$y=xy=x$ и $y=x^{-1}y=x^\{-1\}$

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{a) }}x>0 \\ x=x^{-1} \text{при }x=1 \\ x>x^{-1 }\text{при }x>1 \\ x<x^{-1} \text{при }0<x<1 \\ \mathbf{\text{б) }}x<0 \\ x=x^{-1} \text{при }x=-1 \\ x>x^{-1} \text{при }-1<x<0 \\ x<x^{-1} \text{при }x<-1 \end{gathered}$$

Для решения задачи построим в одной системе координат графики функций $y = x$ и $y = x^{-1}$ и проанализируем их взаимное расположение.

График функции $y = x$ — это прямая, проходящая через начало координат и являющаяся биссектрисой I и III координатных четвертей.

График функции $y = x^{-1}$ (то же самое, что и $y = \frac{1}{x}$) — это гипербола с ветвями в I и III координатных четвертях. Оси координат служат асимптотами для этой гиперболы. Область определения функции: $x \neq 0$.

Равенство $x = x^{-1}$ выполняется в точках пересечения графиков. Неравенство $x > x^{-1}$ выполняется на тех интервалах, где график прямой $y=x$ расположен выше графика гиперболы $y=\frac{1}{x}$. Неравенство $x < x^{-1}$ выполняется там, где график прямой $y=x$ расположен ниже графика гиперболы $y=\frac{1}{x}$.

Найдем абсциссы точек пересечения, решив уравнение:

$x = x^{-1}$

$x = \frac{1}{x}$

Так как $x \neq 0$, умножим обе части на $x$:

$x^2 = 1$

Это уравнение имеет два корня: $x=1$ и $x=-1$. Следовательно, графики пересекаются в точках $(1, 1)$ и $(-1, -1)$.

а) Рассмотрим случай, если $x > 0$.

В этом случае мы рассматриваем правую полуплоскость (I координатную четверть).

• Равенство $x = x^{-1}$ выполняется при $x=1$.
• Неравенство $x > x^{-1}$ (прямая выше гиперболы) выполняется для всех $x$ справа от точки пересечения, то есть при $x > 1$.
• Неравенство $x < x^{-1}$ (прямая ниже гиперболы) выполняется для всех $x$ слева от точки пересечения (но при $x>0$), то есть при $0 < x < 1$.

Ответ: при $x>0$ равенство $x = x^{-1}$ верно при $x=1$; неравенство $x > x^{-1}$ верно при $x > 1$; неравенство $x < x^{-1}$ верно при $0 < x < 1$.

б) Рассмотрим случай, если $x < 0$.

В этом случае мы рассматриваем левую полуплоскость (III координатную четверть).

• Равенство $x = x^{-1}$ выполняется при $x=-1$.
• Неравенство $x > x^{-1}$ (прямая выше гиперболы) выполняется для всех $x$ справа от точки пересечения (но при $x<0$), то есть при $-1 < x < 0$.
• Неравенство $x < x^{-1}$ (прямая ниже гиперболы) выполняется для всех $x$ слева от точки пересечения, то есть при $x < -1$.

Ответ: при $x<0$ равенство $x = x^{-1}$ верно при $x=-1$; неравенство $x > x^{-1}$ верно при $-1 < x < 0$; неравенство $x < x^{-1}$ верно при $x < -1$.