Номер 1247, страница 278 - гдз по алгебре 8 класс учебник Макарычев, Миндюк

51. Функции у = х^-1 и у = х^-2 и их свойства. § 16. Стандартный вид числа. Глава 6. Степень с целым показателем - номер 1247, страница 278.

1247. Известно, что точки A a;12601 и B(0,0625; b) принадлежат графику функции y = x⁻². Найдите а и b.

$$\begin{gathered} y=x^{-2} \\ A\left(a; \frac{1}{2601}\right), B\left(\mathrm{0,0625}; b\right) \\ {a}^{-2}=\frac{1}{2601}; \frac{1}{a^2}=\frac{1}{2601}; \\ {a}^2=2601 \\ a=51\text{ или }a=-51 \\ b=\mathrm{0,062}{5}^{-2}=\frac{1}{\mathrm{0,062}{5}^2}=\frac{1}{{\left({\left(\mathrm{0,5}\right)}^4\right)}^2}=\frac{1}{{\left(\mathrm{0,5}\right)}^8}= \\ {\left(\frac{1}{\mathrm{0,5}}\right)}^8=2^8=256 \end{gathered}$$

Ответ: a=51 или a=-51

b=256

Поскольку точки $A(a; \frac{1}{2601})$ и $B(0,0625; b)$ принадлежат графику функции $y = x^{-2}$, их координаты удовлетворяют уравнению этой функции. Мы можем найти неизвестные $a$ и $b$, подставив координаты каждой точки в уравнение.

Для точки $A(a; \frac{1}{2601})$

Подставим значения $x = a$ и $y = \frac{1}{2601}$ в уравнение $y = x^{-2}$:

$\frac{1}{2601} = a^{-2}$

Согласно свойству степени с отрицательным показателем, $a^{-2} = \frac{1}{a^2}$. Следовательно, наше уравнение можно переписать так:

$\frac{1}{2601} = \frac{1}{a^2}$

Из этого равенства следует, что $a^2 = 2601$. Чтобы найти $a$, необходимо извлечь квадратный корень из 2601.

$a = \pm\sqrt{2601}$

Так как $51^2 = 2601$, то получаем два возможных значения для $a$.

Ответ: $a = 51$ или $a = -51$.

Для точки $B(0,0625; b)$

Подставим значения $x = 0,0625$ и $y = b$ в уравнение $y = x^{-2}$:

$b = (0,0625)^{-2}$

Для удобства вычислений представим десятичную дробь $0,0625$ в виде обыкновенной дроби:

$0,0625 = \frac{625}{10000} = \frac{1}{16}$

Теперь подставим это значение в выражение для $b$:

$b = (\frac{1}{16})^{-2}$

Используя свойство $(\frac{m}{n})^{-k} = (\frac{n}{m})^k$, получаем:

$b = (\frac{16}{1})^2 = 16^2 = 256$

Ответ: $b = 256$.