Номер 1253, страница 279 - гдз по алгебре 8 класс учебник Макарычев, Миндюк

К параграфу 15. Дополнительные упражнения к главе VI. Глава 6. Степень с целым показателем - номер 1253, страница 279.

1253. Представьте в виде дроби выражение:

a) $x{y}^{-2}-x^{-2}y=\frac{x}{y^2}-\frac{y}{x^2}=\frac{x^3-y^3}{x^2{y}^2}xy^\{-2\}\; -\; x^\{-2\}y=\backslash frac\{x\}\{y^2\}\; -\; \backslash frac\{y\}\{x^2\}=\backslash frac\{x^3\; -\; y^3\}\{x^2y^2\}$

б) ${\left(\frac{x}{y}\right)}^{-1}+{\left(\frac{x}{y}\right)}^{-2}=\frac{y}{x}+{\left(\frac{y}{x}\right)}^2=\frac{xy+y^2}{x^2}$

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{в) }}mn{\left(n-m\right)}^{-2}-n{\left(m-n\right)}^{-1}=\frac{mn}{{\left(n-m\right)}^2}-\frac{n}{m-n}= \\ =\frac{mn-n\left(m-n\right)}{{\left(m-n\right)}^2}=\frac{mn-mn+n^2}{{\left(m-n\right)}^2}=\frac{n^2}{{\left(m-n\right)}^2} \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{г) }}\left(x^{-1}+y^{-1}\right)\left(x^{-1}-y^{-1}\right)=\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}\right)\left(\frac{1}{x}-\frac{1}{y}\right)= \\ ={\left(\frac{1}{x}\right)}^2-{\left(\frac{1}{y}\right)}^2=\frac{1}{x^2}-\frac{1}{y^2}=\frac{y^2-x^2}{x^2{y}^2} \end{gathered}$$

а) $xy^{-2} - x^{-2}y$
Преобразуем выражение, используя определение степени с отрицательным показателем $a^{-n} = \frac{1}{a^n}$:
$xy^{-2} - x^{-2}y = x \cdot \frac{1}{y^2} - y \cdot \frac{1}{x^2} = \frac{x}{y^2} - \frac{y}{x^2}$.
Чтобы вычесть дроби, приведем их к общему знаменателю $x^2y^2$:
$\frac{x \cdot x^2}{y^2 \cdot x^2} - \frac{y \cdot y^2}{x^2 \cdot y^2} = \frac{x^3}{x^2y^2} - \frac{y^3}{x^2y^2} = \frac{x^3 - y^3}{x^2y^2}$.
Ответ: $\frac{x^3 - y^3}{x^2y^2}$.

б) $(\frac{x}{y})^{-1} + (\frac{x}{y})^{-2}$
Используем свойство степени $(\frac{a}{b})^{-n} = (\frac{b}{a})^n$:
$(\frac{x}{y})^{-1} + (\frac{x}{y})^{-2} = \frac{y}{x} + (\frac{y}{x})^2 = \frac{y}{x} + \frac{y^2}{x^2}$.
Приводим дроби к общему знаменателю $x^2$:
$\frac{y \cdot x}{x \cdot x} + \frac{y^2}{x^2} = \frac{xy}{x^2} + \frac{y^2}{x^2} = \frac{xy + y^2}{x^2}$.
В числителе можно вынести общий множитель $y$ за скобки:
$\frac{y(x+y)}{x^2}$.
Ответ: $\frac{y(x+y)}{x^2}$.

в) $mn(n-m)^{-2} - n(m-n)^{-1}$
Перепишем выражение, используя определение степени с отрицательным показателем:
$mn(n-m)^{-2} - n(m-n)^{-1} = \frac{mn}{(n-m)^2} - \frac{n}{m-n}$.
Заметим, что $m-n = -(n-m)$. Поэтому $-\frac{n}{m-n} = -\frac{n}{-(n-m)} = \frac{n}{n-m}$.
Таким образом, наше выражение можно переписать как:
$\frac{mn}{(n-m)^2} + \frac{n}{n-m}$.
Приведем дроби к общему знаменателю $(n-m)^2$:
$\frac{mn}{(n-m)^2} + \frac{n(n-m)}{(n-m)^2} = \frac{mn + n(n-m)}{(n-m)^2}$.
Раскроем скобки в числителе и упростим:
$\frac{mn + n^2 - mn}{(n-m)^2} = \frac{n^2}{(n-m)^2}$.
Ответ: $\frac{n^2}{(n-m)^2}$.

г) $(x^{-1} + y^{-1})(x^{-1} - y^{-1})$
Это выражение является произведением суммы и разности двух членов, поэтому мы можем применить формулу разности квадратов $(a+b)(a-b) = a^2 - b^2$. В данном случае $a = x^{-1}$ и $b = y^{-1}$:
$(x^{-1})^2 - (y^{-1})^2 = x^{-2} - y^{-2}$.
Теперь представим степени с отрицательными показателями в виде дробей:
$x^{-2} - y^{-2} = \frac{1}{x^2} - \frac{1}{y^2}$.
Приведем дроби к общему знаменателю $x^2y^2$ и выполним вычитание:
$\frac{y^2}{x^2y^2} - \frac{x^2}{x^2y^2} = \frac{y^2 - x^2}{x^2y^2}$.
Ответ: $\frac{y^2 - x^2}{x^2y^2}$.