Номер 1260, страница 280 - гдз по алгебре 8 класс учебник Макарычев, Миндюк

К параграфу 15. Дополнительные упражнения к главе VI. Глава 6. Степень с целым показателем - номер 1260, страница 280.

1260. Упростите выражение:

a) $\frac{x^5+x^{12}}{x^{-5}+x^{-12}}=\frac{x^5\left(1+x^7\right)}{x^{-12}\left(x^7+1\right)}=x^{5-\left(-12\right)}=x^{17}$

б) $\frac{a^5+a^6+a^7}{a^{-5}+a^{-6}+a^{-7}}=\frac{a^5\left(1+a+a^2\right)}{a^{-7}\left(a^2+a+1\right)}=a^{5-\left(-7\right)}=a^{12}$

а) Для упрощения выражения $\frac{x^5 + x^{12}}{x^{-5} + x^{-12}}$ вынесем общие множители в числителе и знаменателе. В числителе вынесем за скобки член с наименьшим показателем степени, то есть $x^5$. В знаменателе также вынесем член с наименьшим показателем степени, то есть $x^{-12}$.

Преобразуем числитель:
$x^5 + x^{12} = x^5(1 + x^{12-5}) = x^5(1 + x^7)$.

Преобразуем знаменатель:
$x^{-5} + x^{-12} = x^{-12}(x^{-5 - (-12)} + x^{-12 - (-12)}) = x^{-12}(x^7 + x^0) = x^{-12}(x^7 + 1)$.

Теперь подставим полученные выражения обратно в дробь:
$\frac{x^5(1 + x^7)}{x^{-12}(1 + x^7)}$

Сократим общий множитель $(1 + x^7)$, предполагая, что он не равен нулю. Получим:
$\frac{x^5}{x^{-12}}$

Используя свойство частного степеней $\frac{a^m}{a^n} = a^{m-n}$, находим окончательный результат:
$x^{5 - (-12)} = x^{5+12} = x^{17}$.
Ответ: $x^{17}$

б) Аналогично упростим выражение $\frac{a^5 + a^6 + a^7}{a^{-5} + a^{-6} + a^{-7}}$.

В числителе вынесем за скобки $a^5$ (член с наименьшим показателем степени):
$a^5 + a^6 + a^7 = a^5(1 + a^{6-5} + a^{7-5}) = a^5(1 + a + a^2)$.

В знаменателе вынесем $a^{-7}$ (член с наименьшим показателем степени):
$a^{-5} + a^{-6} + a^{-7} = a^{-7}(a^{-5 - (-7)} + a^{-6 - (-7)} + a^{-7 - (-7)}) = a^{-7}(a^2 + a^1 + a^0) = a^{-7}(a^2 + a + 1)$.

Подставим преобразованные части в исходную дробь:
$\frac{a^5(1 + a + a^2)}{a^{-7}(a^2 + a + 1)}$

Так как $1 + a + a^2 = a^2 + a + 1$, сократим этот общий множитель (предполагая, что он не равен нулю):
$\frac{a^5}{a^{-7}}$

Применим свойство частного степеней:
$a^{5 - (-7)} = a^{5+7} = a^{12}$.
Ответ: $a^{12}$