Номер 1263, страница 280 - гдз по алгебре 8 класс учебник Макарычев, Миндюк

К параграфу 15. Дополнительные упражнения к главе VI. Глава 6. Степень с целым показателем - номер 1263, страница 280.

1263. Докажите, что выражение принимает одно и то же значение при любых целых значениях переменных:

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{a) }}\frac{2^m·3^{n-1}-2^{m-1}·3^n}{2^m·3^n}=\frac{2^{m-1}·3^{n-1}\left(2-3\right)}{2^m·3^n}= \\ =-1·2^{m-1-m}·3^{n-1-n}=-1·2^{-1}·3^{-1}= \\ =-\frac{1}{2}·\frac{1}{3}=-\frac{1}{6} \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{б) }}\frac{5^{n+1}·2^{n-2}+5^{n-2}·2^{n-1}}{10^{n-2}}= \\ =\frac{5^{n-2}·2^{n-2}\left(5^3+2\right)}{10^{n-2}}=\frac{10^{n-2}·\left(125+2\right)}{10^{n-2}}=127 \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{в) }}\frac{5^m{4}^n}{5^{m-2}·2^{2n}+5^m{2}^{2n-1}}=\frac{5^m{4}^n}{2^{2n-1}·5^{m-2}\left(2+5^2\right)}= \\ =\frac{5^{m-\left(m-2\right)}·2^{2n-\left(2n-1\right)}}{2+25}=\frac{5^{m-m+2}·2^{2n-2n+1}}{27}= \\ =\frac{5^2·2}{27}=\frac{50}{27}=1\frac{23}{27} \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{г) }}\frac{21^n}{3^{n-1}·7^{n+1}+3^n·7^n}=\frac{{\left(3·7\right)}^n}{3^{n-1}·7^n\left(7+3\right)}= \\ =\frac{3^n·7^n}{3^{n-1}·7^n·10}=\frac{3^{n-\left(n-1\right)}}{10}=\frac{3^{n-n+1}}{10}=\frac{3}{10}=0,3 \end{gathered}$$

а) Чтобы доказать, что значение выражения $\frac{2^m \cdot 3^{n-1} - 2^{m-1} \cdot 3^n}{2^m \cdot 3^n}$ не зависит от переменных, упростим его. Для этого в числителе вынесем за скобки общий множитель. Наибольшим общим множителем является $2^{m-1} \cdot 3^{n-1}$.
$\frac{2^{m-1} \cdot 2^1 \cdot 3^{n-1} - 2^{m-1} \cdot 3^{n-1} \cdot 3^1}{2^m \cdot 3^n} = \frac{2^{m-1} \cdot 3^{n-1} \cdot (2 - 3)}{2^m \cdot 3^n} = \frac{2^{m-1} \cdot 3^{n-1} \cdot (-1)}{2^{m-1} \cdot 2^1 \cdot 3^{n-1} \cdot 3^1}$.
Сократим дробь на $2^{m-1} \cdot 3^{n-1}$:
$\frac{-1}{2 \cdot 3} = -\frac{1}{6}$.
Поскольку в результате получилось число, значение выражения не зависит от целых значений $m$ и $n$.
Ответ: $-\frac{1}{6}$.

б) Рассмотрим выражение $\frac{5^{n+1} \cdot 2^{n-2} + 5^{n-2} \cdot 2^{n-1}}{10^{n-2}}$.
Преобразуем знаменатель, используя свойство степени произведения: $10^{n-2} = (5 \cdot 2)^{n-2} = 5^{n-2} \cdot 2^{n-2}$.
Теперь вынесем в числителе за скобки общий множитель $5^{n-2} \cdot 2^{n-2}$:
$\frac{5^{n-2} \cdot 5^3 \cdot 2^{n-2} + 5^{n-2} \cdot 2^{n-2} \cdot 2^1}{5^{n-2} \cdot 2^{n-2}} = \frac{(5^{n-2} \cdot 2^{n-2}) \cdot (5^3 + 2)}{5^{n-2} \cdot 2^{n-2}}$.
Сократим дробь на общий множитель $5^{n-2} \cdot 2^{n-2}$:
$5^3 + 2 = 125 + 2 = 127$.
Значение выражения не зависит от целого значения $n$.
Ответ: $127$.

в) Рассмотрим выражение $\frac{5^m \cdot 4^n}{5^{m-2} \cdot 2^{2n} + 5^m \cdot 2^{2n-1}}$.
Преобразуем $4^n$ в числителе: $4^n = (2^2)^n = 2^{2n}$. Выражение примет вид: $\frac{5^m \cdot 2^{2n}}{5^{m-2} \cdot 2^{2n} + 5^m \cdot 2^{2n-1}}$.
Вынесем в знаменателе за скобки общий множитель. Удобнее всего вынести $5^m \cdot 2^{2n}$:
$\frac{5^m \cdot 2^{2n}}{5^m \cdot 5^{-2} \cdot 2^{2n} + 5^m \cdot 2^{2n} \cdot 2^{-1}} = \frac{5^m \cdot 2^{2n}}{(5^m \cdot 2^{2n}) \cdot (5^{-2} + 2^{-1})}$.
Сократим дробь на $5^m \cdot 2^{2n}$:
$\frac{1}{5^{-2} + 2^{-1}} = \frac{1}{\frac{1}{25} + \frac{1}{2}} = \frac{1}{\frac{2 + 25}{50}} = \frac{1}{\frac{27}{50}} = \frac{50}{27}$.
Значение выражения не зависит от целых значений $m$ и $n$.
Ответ: $\frac{50}{27}$.

г) Рассмотрим выражение $\frac{21^n}{3^{n-1} \cdot 7^{n+1} + 3^n \cdot 7^n}$.
Преобразуем числитель, представив 21 как произведение простых чисел: $21^n = (3 \cdot 7)^n = 3^n \cdot 7^n$.
Вынесем в знаменателе за скобки общий множитель $3^n \cdot 7^n$:
$\frac{3^n \cdot 7^n}{(3^n \cdot 3^{-1}) \cdot (7^n \cdot 7^1) + 3^n \cdot 7^n} = \frac{3^n \cdot 7^n}{(3^n \cdot 7^n) \cdot (3^{-1} \cdot 7^1) + (3^n \cdot 7^n) \cdot 1} = \frac{3^n \cdot 7^n}{(3^n \cdot 7^n) \cdot (3^{-1} \cdot 7 + 1)}$.
Сократим дробь на $3^n \cdot 7^n$:
$\frac{1}{3^{-1} \cdot 7 + 1} = \frac{1}{\frac{1}{3} \cdot 7 + 1} = \frac{1}{\frac{7}{3} + 1} = \frac{1}{\frac{7+3}{3}} = \frac{1}{\frac{10}{3}} = \frac{3}{10}$.
Значение выражения не зависит от целого значения $n$.
Ответ: $\frac{3}{10}$.