Номер 1262, страница 280 - гдз по алгебре 8 класс учебник Макарычев, Миндюк

К параграфу 15. Дополнительные упражнения к главе VI. Глава 6. Степень с целым показателем - номер 1262, страница 280.

1262. Сократите дробь (n — целое число):

a) $\frac{3^{n+1}-3^n}{2}=\frac{3^n·3-3^n}{2}=\frac{3^n\left(3-1\right)}{2}=3^n$

б) $\frac{2^n+2^{-n}}{4^n+1}=\frac{2^{-n}\left(2^{2n}+1\right)}{{\left(2^2\right)}^n+1}=\frac{2^{-n}\left(2^{2n}+1\right)}{2^{2n}+1}=2^{-n}$

а) Для того чтобы сократить дробь $\frac{3^{n+1} - 3^n}{2}$, преобразуем ее числитель. Используя свойство степеней $a^{m+k} = a^m \cdot a^k$, представим $3^{n+1}$ как $3^n \cdot 3^1 = 3 \cdot 3^n$. Тогда числитель примет вид $3 \cdot 3^n - 3^n$. Вынесем общий множитель $3^n$ за скобки: $3^n(3 - 1) = 3^n \cdot 2$.

Теперь подставим полученное выражение обратно в дробь:

$\frac{3^n \cdot 2}{2}$

Сократив дробь на 2, получаем конечный результат.

Ответ: $3^n$

б) Рассмотрим дробь $\frac{2^n + 2^{-n}}{4^n + 1}$. Сначала преобразуем знаменатель. Так как $4 = 2^2$, то $4^n = (2^2)^n = 2^{2n}$. Дробь принимает вид $\frac{2^n + 2^{-n}}{2^{2n} + 1}$.

Чтобы избавиться от отрицательной степени в числителе, умножим числитель и знаменатель дроби на $2^n$:

$\frac{(2^n + 2^{-n}) \cdot 2^n}{(2^{2n} + 1) \cdot 2^n}$

Преобразуем числитель нового выражения, раскрыв скобки: $2^n \cdot 2^n + 2^{-n} \cdot 2^n = 2^{n+n} + 2^{-n+n} = 2^{2n} + 2^0 = 2^{2n} + 1$.

Теперь вся дробь выглядит следующим образом:

$\frac{2^{2n} + 1}{(2^{2n} + 1) \cdot 2^n}$

Сократим дробь на общий множитель $(2^{2n} + 1)$. В результате получаем $\frac{1}{2^n}$.

Ответ: $\frac{1}{2^n}$