Номер 1257, страница 280 - гдз по алгебре 8 класс учебник Макарычев, Миндюк

К параграфу 15. Дополнительные упражнения к главе VI. Глава 6. Степень с целым показателем - номер 1257, страница 280.

1257. Докажите, что значение выражения (m — целое число) не зависит от m:

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{a) }}\frac{21^m}{3^{m-1}·7^{m+1}}=\frac{{\left(3·7\right)}^m}{3^{m-1}·7^{m+1}}=\frac{3^m·7^m}{3^{m-1}·7^{m+1}}= \\ =3^{m-\left(m-1\right)}·7^{m-\left(m+1\right)}=3^{m-m+1}·7^{m-m-1}= \\ =3·7^{-1}=\frac{3}{7} \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{б) }}\frac{6^m·10^{m+1}}{2^{2m}·15^{m-1}}=\frac{{\left(2·3\right)}^m·{\left(2·5\right)}^{m+1}}{2^{2m}·{\left(3·5\right)}^{\mathrm{m}-1}}= \\ =\frac{2^m·3^m·2^{m+1}·5^{m+1}}{2^{2m}·3^{m-1}·5^{m-1}}= \\ =2^{m+m+1-2m}·3^{m-\left(m-1\right)}·5^{m+1-\left(m-1\right)}= \\ =2·3·5^2=6·25=150 \end{gathered}$$

а) Чтобы доказать, что значение выражения не зависит от m, необходимо упростить его, используя свойства степеней. Цель — показать, что переменная m сокращается.

Исходное выражение: $ \frac{21^m}{3^{m-1} \cdot 7^{m+1}} $.

Сначала разложим основание $21$ на простые множители: $21 = 3 \cdot 7$. Тогда, используя свойство степени произведения $(a \cdot b)^n = a^n \cdot b^n$, получаем $21^m = (3 \cdot 7)^m = 3^m \cdot 7^m$.

Подставим это в исходное выражение:

$ \frac{3^m \cdot 7^m}{3^{m-1} \cdot 7^{m+1}} $

Теперь сгруппируем степени с одинаковыми основаниями:

$ \frac{3^m}{3^{m-1}} \cdot \frac{7^m}{7^{m+1}} $

Применим свойство деления степеней с одинаковым основанием $ \frac{a^n}{a^k} = a^{n-k} $ для каждой группы:

$ 3^{m-(m-1)} \cdot 7^{m-(m+1)} = 3^{m-m+1} \cdot 7^{m-m-1} = 3^1 \cdot 7^{-1} $

Используя свойство $a^{-n} = \frac{1}{a^n}$, получаем:

$ 3 \cdot \frac{1}{7} = \frac{3}{7} $

Полученное значение $ \frac{3}{7} $ является постоянным числом и не содержит переменную m. Следовательно, значение исходного выражения не зависит от m.

Ответ: $ \frac{3}{7} $

б) Аналогично пункту а), упростим данное выражение, разложив составные основания степеней на простые множители.

Исходное выражение: $ \frac{6^m \cdot 10^{m+1}}{2^{2m} \cdot 15^{m-1}} $.

Разложим числа 6, 10 и 15 на простые множители и применим свойства степеней:

$6^m = (2 \cdot 3)^m = 2^m \cdot 3^m$

$10^{m+1} = (2 \cdot 5)^{m+1} = 2^{m+1} \cdot 5^{m+1}$

$15^{m-1} = (3 \cdot 5)^{m-1} = 3^{m-1} \cdot 5^{m-1}$

Подставим полученные выражения в исходную дробь:

$ \frac{(2^m \cdot 3^m) \cdot (2^{m+1} \cdot 5^{m+1})}{2^{2m} \cdot 3^{m-1} \cdot 5^{m-1}} $

В числителе сгруппируем степени с одинаковыми основаниями, используя свойство $a^n \cdot a^k = a^{n+k}$:

$ \frac{2^{m+(m+1)} \cdot 3^m \cdot 5^{m+1}}{2^{2m} \cdot 3^{m-1} \cdot 5^{m-1}} = \frac{2^{2m+1} \cdot 3^m \cdot 5^{m+1}}{2^{2m} \cdot 3^{m-1} \cdot 5^{m-1}} $

Теперь разделим степени с одинаковыми основаниями, используя свойство $ \frac{a^n}{a^k} = a^{n-k} $:

$ 2^{(2m+1)-2m} \cdot 3^{m-(m-1)} \cdot 5^{(m+1)-(m-1)} $

Упростим показатели степеней:

$ 2^{2m+1-2m} \cdot 3^{m-m+1} \cdot 5^{m+1-m+1} = 2^1 \cdot 3^1 \cdot 5^2 $

Вычислим итоговое значение:

$ 2 \cdot 3 \cdot 25 = 6 \cdot 25 = 150 $

Полученное значение 150 является постоянным числом и не зависит от m. Доказательство завершено.

Ответ: $ 150 $