Номер 1250, страница 279 - гдз по алгебре 8 класс учебник Макарычев, Миндюк

51. Функции у = х^-1 и у = х^-2 и их свойства. § 16. Стандартный вид числа. Глава 6. Степень с целым показателем - номер 1250, страница 279.

1250. Дана функция

Сколько корней имеет уравнение:

$y=\left\{\begin{array}{l}{x}^{-1},\text{ если }x<-\frac{1}{2}\\ 4x,\text{ если }-\frac{1}{2}\le x\le \frac{1}{2}\\ x^{-1},\text{ если }x>\frac{1}{2}\end{array}\right.$

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{a) }}y=2 \\ \begin{array}{cc}{x}^{-1}=2 \\ \frac{1}{x}=2& 4x=2 \\ x=\frac{1}{2}\in \left[-\frac{1}{2}; \frac{1}{2}\right]\end{array} \\ 2x=1 \\ x=\frac{1}{2}\notin \left(-\mathrm{\infty }; -\frac{1}{2}\right)\cup \left(\frac{1}{2}; +\mathrm{\infty }\right) \end{gathered}$$

Ответ: 1 корень

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{б) }}y=\frac{1}{3} \\ \begin{array}{cc}{x}^{-1}=\frac{1}{3} \\ \frac{1}{x}=\frac{1}{3}& 4x=\frac{1}{3} \\ x=\frac{1}{12}\in \left[-\frac{1}{2}; \frac{1}{2}\right]\end{array} \\ x=3\in \left(\frac{1}{2}; +\mathrm{\infty }\right) \end{gathered}$$

Ответ: 2 корня

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{в) }}y=0 \\ \begin{array}{cc}{x}^{-1}=0 \\ \frac{1}{x}=0& 4x=0 \\ x=0\in \left[-\frac{1}{2}; \frac{1}{2}\right]\end{array} \end{gathered}$$

нет корней

Ответ. 1 корень

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{г) }}y=-3 \\ \begin{array}{cc}{x}^{-1}=-3 \\ \frac{1}{x}=-3& 4x=-3 \\ x=-\frac{3}{4}\notin \left[-\frac{1}{2}; \frac{1}{2}\right]\end{array} \\ -3x=1 \\ x=-\frac{1}{3}\notin \left(-\mathrm{\infty }; -\frac{1}{2}]\cup (\frac{1}{2}; +\mathrm{\infty }\right) \end{gathered}$$

Ответ: 0 корней

Для того чтобы найти количество корней уравнения, мы должны решить его для каждого из заданных значений $y$, рассматривая каждый из трех участков функции отдельно.

а) y = 2

Решаем уравнение для каждого участка:

• При $x < -\frac{1}{2}$, уравнение $\frac{1}{x} = 2$ дает корень $x = \frac{1}{2}$. Это значение не удовлетворяет условию $x < -\frac{1}{2}$, следовательно, здесь корней нет.
• При $-\frac{1}{2} \le x \le \frac{1}{2}$, уравнение $4x = 2$ дает корень $x = \frac{1}{2}$. Это значение удовлетворяет условию $-\frac{1}{2} \le x \le \frac{1}{2}$, значит, это корень.
• При $x > \frac{1}{2}$, уравнение $\frac{1}{x} = 2$ дает корень $x = \frac{1}{2}$. Это значение не удовлетворяет строгому неравенству $x > \frac{1}{2}$, следовательно, здесь корней нет.

Таким образом, уравнение имеет только один корень.
Ответ: 1.

б) y = $\frac{1}{3}$

Решаем уравнение для каждого участка:

• При $x < -\frac{1}{2}$, уравнение $\frac{1}{x} = \frac{1}{3}$ дает корень $x = 3$. Это значение не удовлетворяет условию $x < -\frac{1}{2}$.
• При $-\frac{1}{2} \le x \le \frac{1}{2}$, уравнение $4x = \frac{1}{3}$ дает корень $x = \frac{1}{12}$. Это значение удовлетворяет условию $-\frac{1}{2} \le \frac{1}{12} \le \frac{1}{2}$, значит, это корень.
• При $x > \frac{1}{2}$, уравнение $\frac{1}{x} = \frac{1}{3}$ дает корень $x = 3$. Это значение удовлетворяет условию $x > \frac{1}{2}$, значит, это корень.

Таким образом, уравнение имеет два корня.
Ответ: 2.

в) y = 0

Решаем уравнение для каждого участка:

• При $x < -\frac{1}{2}$ и $x > \frac{1}{2}$, уравнение $\frac{1}{x} = 0$ не имеет решений.
• При $-\frac{1}{2} \le x \le \frac{1}{2}$, уравнение $4x = 0$ дает корень $x = 0$. Это значение удовлетворяет условию $-\frac{1}{2} \le 0 \le \frac{1}{2}$, значит, это корень.

Таким образом, уравнение имеет один корень.
Ответ: 1.

г) y = -3

Решаем уравнение для каждого участка:

• При $x < -\frac{1}{2}$, уравнение $\frac{1}{x} = -3$ дает корень $x = -\frac{1}{3}$. Это значение не удовлетворяет условию $x < -\frac{1}{2}$, так как $-\frac{1}{3} \approx -0.33 > -0.5$.
• При $-\frac{1}{2} \le x \le \frac{1}{2}$, уравнение $4x = -3$ дает корень $x = -\frac{3}{4}$. Это значение не удовлетворяет условию, так как $-\frac{3}{4} = -0.75 < -0.5$.
• При $x > \frac{1}{2}$, уравнение $\frac{1}{x} = -3$ дает корень $x = -\frac{1}{3}$. Это значение не удовлетворяет условию $x > \frac{1}{2}$.

Также можно проанализировать область значений функции. На интервале $x < -\frac{1}{2}$ значения $y$ лежат в интервале $(-2, 0)$. На отрезке $[-\frac{1}{2}, \frac{1}{2}]$ значения $y$ лежат в отрезке $[-2, 2]$. На интервале $x > \frac{1}{2}$ значения $y$ лежат в интервале $(0, 2)$. Общая область значений функции — это отрезок $[-2, 2]$. Значение $y = -3$ не входит в эту область, поэтому уравнение не имеет корней.
Ответ: 0.