Номер 1249, страница 279 - гдз по алгебре 8 класс учебник Макарычев, Миндюк

51. Функции у = х^-1 и у = х^-2 и их свойства. § 16. Стандартный вид числа. Глава 6. Степень с целым показателем - номер 1249, страница 279.

1249. Постройте график функции

Сколько общих точек имеет этот график с прямой y = a в случае, когда:

а) a = 2;

б) a = 1;

в) a = $\frac{1}{2}$;

г) a = 0?

$y=\left\{\begin{array}{l}{x}^{-2},\text{ если }-2\le x\le -1,\\ x^2,\text{ если }-1\le x\le 1,\\ x^{-2},\text{ если }1<x\le 2\end{array}\right.$

а) a=2 - общих точек нет

б) a=1 - 2 общих точки

в) $a=\frac{1}{2}$ - 4 общие точки

г) a=0 - 1 общая точка

Ответ: а) 0; б) 2; в) 4; г) 1

Для решения задачи сначала построим график заданной кусочно-заданной функции. Функция определена на отрезке $[-2, 2]$ и состоит из трех частей.

1. На промежутке $y = \begin{cases} x^{-2}, & \text{если } -2 \le x < -1 \\ x^2, & \text{если } -1 \le x \le 1 \\ x^{-2}, & \text{если } 1 < x \le 2 \end{cases}$

1. На промежутке $[-2, -1)$ график функции совпадает с графиком функции $y = x^{-2} = \frac{1}{x^2}$. Это часть кривой, симметричной относительно оси $Oy$. Найдем значения функции на концах этого промежутка:

• При $x = -2$, $y = (-2)^{-2} = \frac{1}{4}$. Точка $(-2, \frac{1}{4})$ принадлежит графику.
• При $x$, стремящемся к $-1$ слева, $y$ стремится к $(-1)^{-2} = 1$. Точка $(-1, 1)$ не принадлежит этой части графика, на графике она будет "выколотой".

2. На промежутке $[-1, 1]$ график функции совпадает с графиком параболы $y = x^2$.

• При $x = -1$, $y = (-1)^2 = 1$. Точка $(-1, 1)$ принадлежит графику, "заполняя" выколотую точку из предыдущего пункта.
• При $x = 0$, $y = 0^2 = 0$. Это вершина параболы.
• При $x = 1$, $y = 1^2 = 1$. Точка $(1, 1)$ принадлежит графику.

3. На промежутке $(1, 2]$ график функции снова совпадает с графиком функции $y = x^{-2} = \frac{1}{x^2}$.

• При $x$, стремящемся к $1$ справа, $y$ стремится к $1^{-2} = 1$. Точка $(1, 1)$ уже включена в график из предыдущего пункта, поэтому разрыва в этой точке нет.
• При $x = 2$, $y = 2^{-2} = \frac{1}{4}$. Точка $(2, \frac{1}{4})$ принадлежит графику.

Итоговый график является непрерывной линией, симметричной относительно оси ординат. Область значений функции — отрезок $[0, 1]$.

Теперь найдем количество общих точек этого графика с прямой $y = a$ для заданных значений $a$. Это эквивалентно нахождению количества корней уравнения $f(x) = a$ на отрезке $[-2, 2]$.

а) При $a = 2$ прямая $y=2$ расположена выше графика функции, так как максимальное значение функции равно $1$. Следовательно, общих точек нет.

Ответ: 0.

б) При $a = 1$ прямая $y=1$ касается графика в его максимальных точках. Решим уравнение $f(x)=1$:

• На $[-2, -1) \cup (1, 2]$: $x^{-2} = 1 \implies x^2 = 1 \implies x = \pm 1$. Ни один из этих корней не входит в указанные промежутки.
• На $[-1, 1]$: $x^2 = 1 \implies x = \pm 1$. Оба корня входят в этот промежуток.

Таким образом, есть две общие точки: $(-1, 1)$ и $(1, 1)$.

Ответ: 2.

в) При $a = \frac{1}{2}$ прямая $y=\frac{1}{2}$ пересекает график. Решим уравнение $f(x)=\frac{1}{2}$:

• На $[-2, -1) \cup (1, 2]$: $x^{-2} = \frac{1}{2} \implies x^2 = 2 \implies x = \pm\sqrt{2}$. Корень $x = -\sqrt{2}$ принадлежит промежутку $[-2, -1)$, а корень $x = \sqrt{2}$ принадлежит промежутку $(1, 2]$. Это дает две общие точки.
• На $[-1, 1]$: $x^2 = \frac{1}{2} \implies x = \pm\sqrt{\frac{1}{2}} = \pm\frac{\sqrt{2}}{2}$. Оба корня, $x = -\frac{\sqrt{2}}{2}$ и $x = \frac{\sqrt{2}}{2}$, принадлежат промежутку $[-1, 1]$. Это дает еще две общие точки.

Всего получается четыре общие точки.

Ответ: 4.

г) При $a = 0$ прямая $y=0$ (ось абсцисс) пересекает график. Решим уравнение $f(x)=0$:

• На $[-2, -1) \cup (1, 2]$: $x^{-2} = \frac{1}{x^2} = 0$. Это уравнение не имеет решений.
• На $[-1, 1]$: $x^2 = 0 \implies x = 0$. Корень принадлежит этому промежутку.

Таким образом, есть только одна общая точка: $(0, 0)$.

Ответ: 1.