Номер 1244, страница 278 - гдз по алгебре 8 класс учебник Макарычев, Миндюк

51. Функции у = х^-1 и у = х^-2 и их свойства. § 16. Стандартный вид числа. Глава 6. Степень с целым показателем - номер 1244, страница 278.

1244 Постройте график функции

Найдите:

а) значение y, если x = –2; 2;

б) значение x, при котором y = –4; 4.

$y=\left\{\begin{array}{l}x,\text{ если }x\le 0\\ x^{-1},\text{ если }x>0\end{array}\right.$

а) если x=-2, то y=-2

если x=2, то y=$\frac{1}{2}\backslash frac\{1\}\{2\}$

 

б) если y=-4, то x=-4

если y=4, то x=$\frac{1}{4}\backslash frac\{1\}\{4\}$

Для построения графика функции $y = \begin{cases} x, & \text{если } x \le 0 \\ x^{-1}, & \text{если } x > 0 \end{cases}$ рассмотрим каждую часть отдельно.

1. При $x \le 0$, функция задается формулой $y = x$. Ее график — прямая линия, являющаяся биссектрисой II и IV координатных четвертей. Поскольку это условие выполняется только для неположительных $x$, мы строим луч, выходящий из начала координат (точка $(0, 0)$ включена) и проходящий через точки $(-1, -1), (-2, -2)$ и т.д. в третьей координатной четверти.

2. При $x > 0$, функция задается формулой $y = x^{-1}$, что то же самое, что и $y = \frac{1}{x}$. График этой функции — гипербола. Так как $x > 0$, мы строим только ее правую ветвь, которая целиком расположена в первой координатной четверти. Эта ветвь проходит через точки $(1, 1)$, $(2, 0.5)$, $(0.5, 2)$. Она асимптотически приближается к оси ординат (OY) при стремлении $x$ к нулю справа и к оси абсцисс (OX) при увеличении $x$.

Совместив эти две части на одной координатной плоскости, мы получим искомый график.

---

а) значение y, если x = -2; 2;

Для нахождения значения $y$ необходимо определить, в какой промежуток попадает значение $x$, и использовать соответствующую формулу.

При $x = -2$:
Поскольку $-2 \le 0$, используем первую формулу: $y = x$.
$y = -2$.

При $x = 2$:
Поскольку $2 > 0$, используем вторую формулу: $y = x^{-1} = \frac{1}{x}$.
$y = \frac{1}{2} = 0.5$.

Ответ: если $x = -2$, то $y = -2$; если $x = 2$, то $y = 0.5$.

б) значение x, при котором y = -4; 4.

Для нахождения значения $x$ по известному $y$ необходимо решить уравнение для каждой части функции и проверить, соответствует ли найденный $x$ условию этой части.

При $y = -4$:
1. Проверяем первую часть: $y=x$. Подставляем $y=-4$, получаем $x=-4$. Это значение удовлетворяет условию $x \le 0$, значит, это корень.
2. Проверяем вторую часть: $y=\frac{1}{x}$. Подставляем $y=-4$, получаем $-4 = \frac{1}{x}$, откуда $x = -\frac{1}{4}$. Это значение не удовлетворяет условию $x > 0$, значит, это не корень.
Следовательно, при $y=-4$ есть только одно решение $x=-4$.

При $y = 4$:
1. Проверяем первую часть: $y=x$. Подставляем $y=4$, получаем $x=4$. Это значение не удовлетворяет условию $x \le 0$, значит, это не корень.
2. Проверяем вторую часть: $y=\frac{1}{x}$. Подставляем $y=4$, получаем $4 = \frac{1}{x}$, откуда $x = \frac{1}{4}$. Это значение удовлетворяет условию $x > 0$, значит, это корень.
Следовательно, при $y=4$ есть только одно решение $x=\frac{1}{4}$.

Ответ: $y = -4$ при $x = -4$; $y = 4$ при $x = \frac{1}{4}$.