Страница 278 - гдз по алгебре 8 класс учебник Макарычев, Миндюк

1241. Известно, что точки A a; 1247 и B(843; b) принадлежат гиперболе y = x⁻¹. Найдите а и b.

$$\begin{gathered} A\left(a; \frac{1}{247}\right), B\left(843; b\right) \\ y=x^{-1} \\ {a}^{-1}=\frac{1}{247}; \frac{1}{a}=\frac{1}{247}; a=247 \\ b=843^{-1}=\frac{1}{843} \end{gathered}$$

Ответ: $a=247; b=\frac{1}{843}a=247;\; b=\backslash frac\{1\}\{843\}$

Уравнение гиперболы дано в виде $y = x^{-1}$, что эквивалентно уравнению $y = \frac{1}{x}$.

Для того чтобы точка принадлежала графику функции, ее координаты должны удовлетворять уравнению этой функции. Мы используем это свойство, чтобы найти неизвестные значения a и b.

Нахождение a

Известно, что точка $A(a; \frac{1}{247})$ принадлежит гиперболе. Подставим координаты этой точки в уравнение $y = \frac{1}{x}$. Здесь $x = a$ и $y = \frac{1}{247}$.

Получаем следующее равенство:

$\frac{1}{247} = \frac{1}{a}$

Из этого уравнения следует, что знаменатели дробей равны.

$a = 247$

Ответ: $a = 247$.

Нахождение b

Известно, что точка $B(843; b)$ также принадлежит гиперболе. Подставим ее координаты в уравнение $y = \frac{1}{x}$. Здесь $x = 843$ и $y = b$.

Получаем следующее равенство:

$b = \frac{1}{843}$

В данном случае значение b уже выражено.

Ответ: $b = \frac{1}{843}$.

1242. Постройте в одной системе координат графики функций y = x и y = x⁻¹. Выясните, при каких значениях аргумента верны равенство x = x⁻¹ и неравенства x > x⁻¹ и x ‹ x⁻¹ в случае, если:

а) x > 0;

б) x ‹ 0.

$y=xy=x$ и $y=x^{-1}y=x^\{-1\}$

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{a) }}x>0 \\ x=x^{-1} \text{при }x=1 \\ x>x^{-1 }\text{при }x>1 \\ x<x^{-1} \text{при }0<x<1 \\ \mathbf{\text{б) }}x<0 \\ x=x^{-1} \text{при }x=-1 \\ x>x^{-1} \text{при }-1<x<0 \\ x<x^{-1} \text{при }x<-1 \end{gathered}$$

Для решения задачи построим в одной системе координат графики функций $y = x$ и $y = x^{-1}$ и проанализируем их взаимное расположение.

График функции $y = x$ — это прямая, проходящая через начало координат и являющаяся биссектрисой I и III координатных четвертей.

График функции $y = x^{-1}$ (то же самое, что и $y = \frac{1}{x}$) — это гипербола с ветвями в I и III координатных четвертях. Оси координат служат асимптотами для этой гиперболы. Область определения функции: $x \neq 0$.

Равенство $x = x^{-1}$ выполняется в точках пересечения графиков. Неравенство $x > x^{-1}$ выполняется на тех интервалах, где график прямой $y=x$ расположен выше графика гиперболы $y=\frac{1}{x}$. Неравенство $x < x^{-1}$ выполняется там, где график прямой $y=x$ расположен ниже графика гиперболы $y=\frac{1}{x}$.

Найдем абсциссы точек пересечения, решив уравнение:

$x = x^{-1}$

$x = \frac{1}{x}$

Так как $x \neq 0$, умножим обе части на $x$:

$x^2 = 1$

Это уравнение имеет два корня: $x=1$ и $x=-1$. Следовательно, графики пересекаются в точках $(1, 1)$ и $(-1, -1)$.

а) Рассмотрим случай, если $x > 0$.

В этом случае мы рассматриваем правую полуплоскость (I координатную четверть).

• Равенство $x = x^{-1}$ выполняется при $x=1$.
• Неравенство $x > x^{-1}$ (прямая выше гиперболы) выполняется для всех $x$ справа от точки пересечения, то есть при $x > 1$.
• Неравенство $x < x^{-1}$ (прямая ниже гиперболы) выполняется для всех $x$ слева от точки пересечения (но при $x>0$), то есть при $0 < x < 1$.

Ответ: при $x>0$ равенство $x = x^{-1}$ верно при $x=1$; неравенство $x > x^{-1}$ верно при $x > 1$; неравенство $x < x^{-1}$ верно при $0 < x < 1$.

б) Рассмотрим случай, если $x < 0$.

В этом случае мы рассматриваем левую полуплоскость (III координатную четверть).

• Равенство $x = x^{-1}$ выполняется при $x=-1$.
• Неравенство $x > x^{-1}$ (прямая выше гиперболы) выполняется для всех $x$ справа от точки пересечения (но при $x<0$), то есть при $-1 < x < 0$.
• Неравенство $x < x^{-1}$ (прямая ниже гиперболы) выполняется для всех $x$ слева от точки пересечения, то есть при $x < -1$.

Ответ: при $x<0$ равенство $x = x^{-1}$ верно при $x=-1$; неравенство $x > x^{-1}$ верно при $-1 < x < 0$; неравенство $x < x^{-1}$ верно при $x < -1$.

1243. Докажите, что прямая y = –x + l, где l — некоторое положительное число, и гипербола y = x⁻¹:

а) имеют две общие точки, если l > 2;

б) имеют одну общую точку, если l = 2;

в) не имеют общих точек, если l ‹ 2.

$$\begin{gathered} y=-x+l, l>0, y=x^{-1} \\ -x+l=x^{-1} \\ -x+l=\frac{1}{x}\mathrm{/}·x \\ -x^2+lx=1 \\ -x^2+lx-1=0 \\ D=l^2-4·\left(-1\right)·\left(-1\right)=l^2-4 \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{a) }}{l}^2-4>0 \\ {l}^2>4 \\ \sqrt{l^2}>\sqrt{4} \\ \mathrm{\mid }l\mathrm{\mid }>2 \end{gathered}$$

если $l>0l>0$, то $l>2l>2$

если , то - неверно, т.к. по условию $l>0l>0$

Значит, прямая и гипербола имеют две общие точки, если $l>2l>2$

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{б) }}{l}^2-4=0 \\ {l}^2=4 \end{gathered}$$
$l=2$ или , но по условию $l>0l>0$

Значит, прямая и гипербола имеют одну общую точку, если $l=2l=2$

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{в) }}{l}^2-4<0 \\ {l}^2<4 \\ \sqrt{l^2}<\sqrt{4} \\ \mathrm{\mid }l\mathrm{\mid }<2 \end{gathered}$$

если $l>0l>0$, то ,

если , то - неверно, т.к. по условию $l>0l>0$

Значит, прямая и гипербола не имеют общих точек, если

Чтобы найти количество общих точек прямой $y = -x + l$ и гиперболы $y = x^{-1}$ (что то же самое, что и $y = \frac{1}{x}$), необходимо определить количество решений системы уравнений:

$$ \begin{cases} y = -x + l \\ y = \frac{1}{x} \end{cases} $$

Приравняем правые части уравнений, чтобы найти абсциссы точек пересечения:

$-x + l = \frac{1}{x}$

Поскольку $x$ находится в знаменателе, область определения уравнения $x \neq 0$. Умножим обе части уравнения на $x$ (это допустимо, так как $x \neq 0$):

$x(-x + l) = 1$

$-x^2 + lx = 1$

Перенесем все члены уравнения в одну сторону, чтобы получить стандартное квадратное уравнение:

$x^2 - lx + 1 = 0$

Количество действительных корней этого уравнения определяет количество точек пересечения графиков. Оно зависит от знака его дискриминанта $D$. Для квадратного уравнения вида $ax^2 + bx + c = 0$ дискриминант вычисляется по формуле $D = b^2 - 4ac$. В нашем случае коэффициенты равны: $a=1$, $b=-l$, $c=1$.

Вычислим дискриминант:

$D = (-l)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 1 = l^2 - 4$

Теперь проанализируем количество решений в зависимости от значения $l$.

а) имеют две общие точки, если $l > 2$

Если $l > 2$, то возведя в квадрат обе части неравенства (что возможно, так как обе части положительны), получаем $l^2 > 4$.

Тогда дискриминант $D = l^2 - 4 > 0$.

Поскольку дискриминант строго положителен, квадратное уравнение $x^2 - lx + 1 = 0$ имеет два различных действительных корня. Каждый корень соответствует абсциссе одной из точек пересечения. Так как при подстановке $x=0$ в уравнение мы получаем $1=0$ (неверное равенство), то $x=0$ не является корнем, и оба найденных решения отличны от нуля. Следовательно, прямая и гипербола имеют две общие точки.

Ответ: доказано, что при $l > 2$ прямая и гипербола имеют две общие точки.

б) имеют одну общую точку, если $l = 2$

Если $l = 2$, то дискриминант $D = l^2 - 4 = 2^2 - 4 = 4 - 4 = 0$.

Поскольку дискриминант равен нулю, квадратное уравнение $x^2 - 2x + 1 = 0$ имеет ровно один действительный корень (или два совпадающих корня). Это уравнение можно записать в виде $(x-1)^2 = 0$, откуда получаем единственный корень $x=1$. Этому значению абсциссы соответствует ордината $y = 1/1 = 1$. Следовательно, при $l=2$ прямая и гипербола имеют ровно одну общую точку $(1, 1)$, то есть прямая является касательной к гиперболе в этой точке.

Ответ: доказано, что при $l = 2$ прямая и гипербола имеют одну общую точку.

в) не имеют общих точек, если $l < 2$

По условию задачи $l$ — некоторое положительное число, поэтому мы рассматриваем случай $0 < l < 2$.

Если $0 < l < 2$, то $0 < l^2 < 4$.

Тогда дискриминант $D = l^2 - 4 < 0$.

Поскольку дискриминант отрицателен, квадратное уравнение $x^2 - lx + 1 = 0$ не имеет действительных корней. Это означает, что не существует таких действительных значений $x$, при которых $y$ для прямой и для гиперболы совпадают. Следовательно, прямая и гипербола не имеют общих точек.

Ответ: доказано, что при $0 < l < 2$ прямая и гипербола не имеют общих точек.

1244 Постройте график функции

Найдите:

а) значение y, если x = –2; 2;

б) значение x, при котором y = –4; 4.

$y=\left\{\begin{array}{l}x,\text{ если }x\le 0\\ x^{-1},\text{ если }x>0\end{array}\right.$

а) если x=-2, то y=-2

если x=2, то y=$\frac{1}{2}\backslash frac\{1\}\{2\}$

б) если y=-4, то x=-4

если y=4, то x=$\frac{1}{4}\backslash frac\{1\}\{4\}$

Для построения графика функции $y = \begin{cases} x, & \text{если } x \le 0 \\ x^{-1}, & \text{если } x > 0 \end{cases}$ рассмотрим каждую часть отдельно.

1. При $x \le 0$, функция задается формулой $y = x$. Ее график — прямая линия, являющаяся биссектрисой II и IV координатных четвертей. Поскольку это условие выполняется только для неположительных $x$, мы строим луч, выходящий из начала координат (точка $(0, 0)$ включена) и проходящий через точки $(-1, -1), (-2, -2)$ и т.д. в третьей координатной четверти.

2. При $x > 0$, функция задается формулой $y = x^{-1}$, что то же самое, что и $y = \frac{1}{x}$. График этой функции — гипербола. Так как $x > 0$, мы строим только ее правую ветвь, которая целиком расположена в первой координатной четверти. Эта ветвь проходит через точки $(1, 1)$, $(2, 0.5)$, $(0.5, 2)$. Она асимптотически приближается к оси ординат (OY) при стремлении $x$ к нулю справа и к оси абсцисс (OX) при увеличении $x$.

Совместив эти две части на одной координатной плоскости, мы получим искомый график.

а) значение y, если x = -2; 2;

Для нахождения значения $y$ необходимо определить, в какой промежуток попадает значение $x$, и использовать соответствующую формулу.

При $x = -2$:
Поскольку $-2 \le 0$, используем первую формулу: $y = x$.
$y = -2$.

При $x = 2$:
Поскольку $2 > 0$, используем вторую формулу: $y = x^{-1} = \frac{1}{x}$.
$y = \frac{1}{2} = 0.5$.

Ответ: если $x = -2$, то $y = -2$; если $x = 2$, то $y = 0.5$.

б) значение x, при котором y = -4; 4.

Для нахождения значения $x$ по известному $y$ необходимо решить уравнение для каждой части функции и проверить, соответствует ли найденный $x$ условию этой части.

При $y = -4$:
1. Проверяем первую часть: $y=x$. Подставляем $y=-4$, получаем $x=-4$. Это значение удовлетворяет условию $x \le 0$, значит, это корень.
2. Проверяем вторую часть: $y=\frac{1}{x}$. Подставляем $y=-4$, получаем $-4 = \frac{1}{x}$, откуда $x = -\frac{1}{4}$. Это значение не удовлетворяет условию $x > 0$, значит, это не корень.
Следовательно, при $y=-4$ есть только одно решение $x=-4$.

При $y = 4$:
1. Проверяем первую часть: $y=x$. Подставляем $y=4$, получаем $x=4$. Это значение не удовлетворяет условию $x \le 0$, значит, это не корень.
2. Проверяем вторую часть: $y=\frac{1}{x}$. Подставляем $y=4$, получаем $4 = \frac{1}{x}$, откуда $x = \frac{1}{4}$. Это значение удовлетворяет условию $x > 0$, значит, это корень.
Следовательно, при $y=4$ есть только одно решение $x=\frac{1}{4}$.

Ответ: $y = -4$ при $x = -4$; $y = 4$ при $x = \frac{1}{4}$.

1245. Постройте график функции y = |x⁻¹|. Как расположен этот график относительно оси y?

$y=\mathrm{\mid }{x}^{-1}\mathrm{\mid }y=|x^\{-1\}|$

Если $x^{-1}>0; \frac{1}{x}>0, x>0$, то $y=x^{-1}y=x^\{-1\}; y=\frac{1}{x}y=\backslash frac\{1\}\{x\}$

Если $x^{-1}<0; \frac{1}{x}<0, x<0$, то $y=-x^{-1}y=-x^\{-1\}; y=-\frac{1}{x}y=-\backslash frac\{1\}\{x\}$

График симметричен относительно оси y

Постройте график функции $y = |x^{-1}|$

1. Преобразуем данную функцию. Используя определение степени с отрицательным показателем, получаем: $y = |x^{-1}| = |1/x|$.

2. Построение графика будем выполнять поэтапно, используя преобразование графика базовой функции $y_1 = 1/x$.

3. График функции $y_1 = 1/x$ — это гипербола, ветви которой расположены в I и III координатных четвертях. Ось $y$ (прямая $x=0$) является вертикальной асимптотой, а ось $x$ (прямая $y=0$) — горизонтальной асимптотой.

4. Далее, чтобы построить график функции $y = |1/x|$, нужно применить операцию взятия модуля ко всей функции $y_1$. Правило преобразования графика $y=f(x)$ в график $y=|f(x)|$ заключается в следующем: та часть графика, которая лежит над осью абсцисс ($y \ge 0$), остается без изменений, а та часть, которая лежит под осью абсцисс ($y < 0$), симметрично отражается относительно этой оси.

5. Применительно к нашему случаю:

- Ветвь гиперболы $y_1 = 1/x$, расположенная в I четверти (где $x>0$ и, следовательно, $y_1>0$), остается на своем месте. Для этих $x$ график $y = |1/x|$ совпадает с графиком $y = 1/x$.

- Ветвь гиперболы, расположенная в III четверти (где $x<0$ и, следовательно, $y_1<0$), симметрично отражается относительно оси $x$ и переходит во II четверть. Для этих $x$ график $y = |1/x|$ совпадает с графиком $y = -1/x$.

6. Таким образом, итоговый график функции $y = |x^{-1}|$ состоит из двух ветвей, расположенных в I и II координатных четвертях. Обе ветви имеют оси координат в качестве асимптот. Все значения функции положительны ($y>0$ для всех $x$ из области определения).

Ответ: График функции представляет собой две ветви. Одна ветвь расположена в первой координатной четверти и является графиком функции $y=1/x$ при $x>0$. Вторая ветвь расположена во второй координатной четверти и является графиком функции $y=-1/x$ при $x<0$. Ось $y$ является вертикальной асимптотой, а ось $x$ — горизонтальной асимптотой.

Как расположен этот график относительно оси y?

Чтобы определить расположение графика относительно оси $y$, исследуем функцию на четность. Функция $f(x)$ называется четной, если для любого $x$ из ее области определения выполняется равенство $f(-x) = f(x)$. График четной функции симметричен относительно оси $y$.

Наша функция: $f(x) = |x^{-1}| = |1/x|$.

Найдем $f(-x)$:

$f(-x) = |(-x)^{-1}| = |1/(-x)| = |-1/x|$.

Используя свойство модуля $|-a|=|a|$, получаем:

$f(-x) = |-1/x| = |1/x| = f(x)$.

Поскольку $f(-x) = f(x)$, функция является четной.

Ответ: График функции $y = |x^{-1}|$ расположен симметрично относительно оси $y$.

1246. Постройте в одной системе координат графики функций y = x⁻¹, где x > 0, и y = x⁻², где x > 0. Сравните значения x⁻¹ и x⁻², если:

а) 0 ‹ x ‹ 1;

б) x > 1.

$$\begin{gathered} y=x^{-1}, \text{где }x>0 \\ y=x^{-2}, \text{где }x>0 \end{gathered}$$

a) если , то $x^{-2}>x^{-1}x^\{-2\}\; >\; x^\{-1\}$

б) если $x>1x>1$, то $x^{-1}>x^{-2}x^\{-1\}\; >\; x^\{-2\}$

Для решения задачи сначала построим графики функций $y = x^{-1}$ и $y = x^{-2}$ в одной системе координат при условии $x > 0$.

Функция $y = x^{-1}$ также записывается как $y = \frac{1}{x}$. Ее график для $x > 0$ — это ветвь гиперболы, расположенная в первой координатной четверти.

Функция $y = x^{-2}$ также записывается как $y = \frac{1}{x^2}$. Ее график для $x > 0$ также является кривой в первой координатной четверти.

Найдем точку пересечения этих графиков. Для этого приравняем выражения для $y$:

$x^{-1} = x^{-2}$

$\frac{1}{x} = \frac{1}{x^2}$

Так как по условию $x > 0$, мы можем умножить обе части уравнения на $x^2$:

$x^2 \cdot \frac{1}{x} = x^2 \cdot \frac{1}{x^2}$

$x = 1$

При $x=1$ значение обеих функций равно $y = 1^{-1} = 1^{-2} = 1$. Следовательно, графики функций пересекаются в точке $(1; 1)$.

Эта точка делит область $x > 0$ на два интервала: $(0; 1)$ и $(1; +\infty)$. Сравнение значений функций на этих интервалах можно провести, анализируя, какой из графиков находится выше.

а) Сравним значения $x^{-1}$ и $x^{-2}$, если $0 < x < 1$.

Графический анализ: На интервале $(0; 1)$ график функции $y = x^{-2}$ (т.е. $y = \frac{1}{x^2}$) расположен выше графика функции $y = x^{-1}$ (т.е. $y = \frac{1}{x}$). Это означает, что для любого $x$ из этого интервала значение $x^{-2}$ будет больше значения $x^{-1}$.

Алгебраический анализ: Возьмем любое число $x$ из интервала $0 < x < 1$. Например, $x = 0.5$.

$x^{-1} = (0.5)^{-1} = \frac{1}{0.5} = 2$

$x^{-2} = (0.5)^{-2} = \frac{1}{(0.5)^2} = \frac{1}{0.25} = 4$

Так как $4 > 2$, то $x^{-2} > x^{-1}$.

В общем случае, для $0 < x < 1$, возведение в квадрат уменьшает число, то есть $x^2 < x$. Поскольку мы сравниваем обратные величины $\frac{1}{x}$ и $\frac{1}{x^2}$, то из двух дробей с одинаковыми числителями (равными 1) больше та, у которой знаменатель меньше. Так как $x^2 < x$, то $\frac{1}{x^2} > \frac{1}{x}$.

Следовательно, при $0 < x < 1$ выполняется неравенство $x^{-2} > x^{-1}$.

Ответ: $x^{-1} < x^{-2}$.

б) Сравним значения $x^{-1}$ и $x^{-2}$, если $x > 1$.

Графический анализ: На интервале $(1; +\infty)$ график функции $y = x^{-1}$ расположен выше графика функции $y = x^{-2}$. Это означает, что для любого $x$ из этого интервала значение $x^{-1}$ будет больше значения $x^{-2}$.

Алгебраический анализ: Возьмем любое число $x$, такое что $x > 1$. Например, $x = 2$.

$x^{-1} = 2^{-1} = \frac{1}{2}$

$x^{-2} = 2^{-2} = \frac{1}{2^2} = \frac{1}{4}$

Так как $\frac{1}{2} > \frac{1}{4}$, то $x^{-1} > x^{-2}$.

В общем случае, для $x > 1$, возведение в квадрат увеличивает число, то есть $x^2 > x$. Сравнивая дроби $\frac{1}{x}$ и $\frac{1}{x^2}$, та дробь будет больше, у которой знаменатель меньше. Так как $x < x^2$, то $\frac{1}{x} > \frac{1}{x^2}$.

Следовательно, при $x > 1$ выполняется неравенство $x^{-1} > x^{-2}$.

Ответ: $x^{-1} > x^{-2}$.

1247. Известно, что точки A a;12601 и B(0,0625; b) принадлежат графику функции y = x⁻². Найдите а и b.

$$\begin{gathered} y=x^{-2} \\ A\left(a; \frac{1}{2601}\right), B\left(\mathrm{0,0625}; b\right) \\ {a}^{-2}=\frac{1}{2601}; \frac{1}{a^2}=\frac{1}{2601}; \\ {a}^2=2601 \\ a=51\text{ или }a=-51 \\ b=\mathrm{0,062}{5}^{-2}=\frac{1}{\mathrm{0,062}{5}^2}=\frac{1}{{\left({\left(\mathrm{0,5}\right)}^4\right)}^2}=\frac{1}{{\left(\mathrm{0,5}\right)}^8}= \\ {\left(\frac{1}{\mathrm{0,5}}\right)}^8=2^8=256 \end{gathered}$$

Ответ: a=51 или a=-51

b=256

Поскольку точки $A(a; \frac{1}{2601})$ и $B(0,0625; b)$ принадлежат графику функции $y = x^{-2}$, их координаты удовлетворяют уравнению этой функции. Мы можем найти неизвестные $a$ и $b$, подставив координаты каждой точки в уравнение.

Для точки $A(a; \frac{1}{2601})$

Подставим значения $x = a$ и $y = \frac{1}{2601}$ в уравнение $y = x^{-2}$:

$\frac{1}{2601} = a^{-2}$

Согласно свойству степени с отрицательным показателем, $a^{-2} = \frac{1}{a^2}$. Следовательно, наше уравнение можно переписать так:

$\frac{1}{2601} = \frac{1}{a^2}$

Из этого равенства следует, что $a^2 = 2601$. Чтобы найти $a$, необходимо извлечь квадратный корень из 2601.

$a = \pm\sqrt{2601}$

Так как $51^2 = 2601$, то получаем два возможных значения для $a$.

Ответ: $a = 51$ или $a = -51$.

Для точки $B(0,0625; b)$

Подставим значения $x = 0,0625$ и $y = b$ в уравнение $y = x^{-2}$:

$b = (0,0625)^{-2}$

Для удобства вычислений представим десятичную дробь $0,0625$ в виде обыкновенной дроби:

$0,0625 = \frac{625}{10000} = \frac{1}{16}$

Теперь подставим это значение в выражение для $b$:

$b = (\frac{1}{16})^{-2}$

Используя свойство $(\frac{m}{n})^{-k} = (\frac{n}{m})^k$, получаем:

$b = (\frac{16}{1})^2 = 16^2 = 256$

Ответ: $b = 256$.

1248. Расположите в порядке возрастания числа x²₀, x₀, x₀⁰, x₀⁻¹, x₀⁻², зная, что:

а) 0 ‹ x₀ ‹ 1;

б) x₀ > 1.

а) если , то $x_0^2, x_0, x_0^0, x_0^{-1}, x_0^{-2}$

б) если $x_0>1x\_0>1$, то $x_0^{-2}, x_0^{-1}, x_0^0, x_0, x_0^2$

а)

При условии $0 < x_0 < 1$ нам нужно расположить в порядке возрастания числа $x_0^2, x_0, x_0^0, x_0^{-1}, x_0^{-2}$.

Для решения этой задачи рассмотрим свойства степенной функции $y=a^p$ с основанием $a = x_0$. Поскольку по условию $0 < x_0 < 1$, данная степенная функция является убывающей. Это означает, что большему значению показателя степени $p$ соответствует меньшее значение функции.

Показатели степеней в заданных числах: $2, 1, 0, -1, -2$. Упорядочим их по убыванию:

$2 > 1 > 0 > -1 > -2$

Так как функция убывающая, для соответствующих степеней числа $x_0$ будет выполняться обратное неравенство:

$x_0^2 < x_0^1 < x_0^0 < x_0^{-1} < x_0^{-2}$

Таким образом, числа в порядке возрастания располагаются как $x_0^2, x_0, x_0^0, x_0^{-1}, x_0^{-2}$.

Для проверки можно взять конкретное значение, например, $x_0 = \frac{1}{2}$. Тогда $x_0^2 = (\frac{1}{2})^2 = \frac{1}{4}$; $x_0 = \frac{1}{2}$; $x_0^0 = 1$; $x_0^{-1} = (\frac{1}{2})^{-1} = 2$; $x_0^{-2} = (\frac{1}{2})^{-2} = 4$. Располагая эти значения в порядке возрастания, получаем $\frac{1}{4} < \frac{1}{2} < 1 < 2 < 4$, что полностью соответствует полученному результату.

Ответ: $x_0^2, x_0, x_0^0, x_0^{-1}, x_0^{-2}$.

б)

При условии $x_0 > 1$.

В этом случае основание степенной функции $a = x_0$ больше единицы. Степенная функция $y=x_0^p$ является возрастающей. Это означает, что большему значению показателя степени $p$ соответствует большее значение функции.

Показатели степеней те же: $2, 1, 0, -1, -2$. Упорядочим их по возрастанию:

$-2 < -1 < 0 < 1 < 2$

Так как функция возрастающая, для соответствующих степеней числа $x_0$ будет выполняться такое же неравенство:

$x_0^{-2} < x_0^{-1} < x_0^0 < x_0^1 < x_0^2$

Таким образом, числа в порядке возрастания располагаются как $x_0^{-2}, x_0^{-1}, x_0^0, x_0, x_0^2$.

Для проверки можно взять конкретное значение, например, $x_0 = 2$. Тогда $x_0^{-2} = 2^{-2} = \frac{1}{4}$; $x_0^{-1} = 2^{-1} = \frac{1}{2}$; $x_0^0 = 1$; $x_0 = 2$; $x_0^2 = 4$. Располагая эти значения в порядке возрастания, получаем $\frac{1}{4} < \frac{1}{2} < 1 < 2 < 4$, что полностью соответствует полученному результату.

Ответ: $x_0^{-2}, x_0^{-1}, x_0^0, x_0, x_0^2$.