Страница 272 - гдз по алгебре 8 класс учебник Макарычев, Миндюк

1224. Представьте число в стандартном виде:

a) $1024 000=1,024·{10}^6$

б) $6 000 000=6·{10}^6$

в) $21,56=2,156·{10}^1$

г) $0,85=8,5·{10}^{-1}$

д) $0,000004=4·{10}^{-6}$

е) $0,000282=2,82·{10}^{-4}$

ж) $508·{10}^{-7}=5,08·{10}^2·{10}^{-7}=5,08·{10}^{-5}$

з) $0,042·{10}^2=4,2·{10}^{-2}·{10}^2=4,2·{10}^0$

Стандартный вид числа — это его запись в виде $a \cdot 10^n$, где $1 \le a < 10$ и $n$ — целое число. Это также известно как научная нотация.

а) Для числа $1 024 000$ необходимо переместить десятичную запятую (которая неявно стоит в конце числа) так, чтобы перед ней осталась только одна ненулевая цифра. Перемещаем запятую на 6 позиций влево, чтобы получить $1,024$. Поскольку запятая была сдвинута влево на 6 позиций, показатель степени $n$ будет равен 6.
$1 024 000 = 1,024 \cdot 10^6$.
Ответ: $1,024 \cdot 10^6$

б) Для числа $6 000 000$ перемещаем запятую на 6 позиций влево, чтобы получить $6$. Показатель степени $n$ равен 6.
$6 000 000 = 6 \cdot 10^6$.
Ответ: $6 \cdot 10^6$

в) В числе $21,56$ нужно переместить запятую на 1 позицию влево, чтобы получить $2,156$. Так как сдвиг был на 1 позицию влево, показатель степени $n$ равен 1.
$21,56 = 2,156 \cdot 10^1$.
Ответ: $2,156 \cdot 10^1$

г) В числе $0,85$ нужно переместить запятую на 1 позицию вправо, чтобы получить $8,5$. Так как сдвиг был на 1 позицию вправо, показатель степени $n$ равен -1.
$0,85 = 8,5 \cdot 10^{-1}$.
Ответ: $8,5 \cdot 10^{-1}$

д) В числе $0,000004$ перемещаем запятую на 6 позиций вправо, чтобы получить $4$. Показатель степени $n$ равен -6.
$0,000004 = 4 \cdot 10^{-6}$.
Ответ: $4 \cdot 10^{-6}$

е) В числе $0,000282$ перемещаем запятую на 4 позиции вправо, чтобы получить $2,82$. Показатель степени $n$ равен -4.
$0,000282 = 2,82 \cdot 10^{-4}$.
Ответ: $2,82 \cdot 10^{-4}$

ж) Число $508 \cdot 10^{-7}$ уже содержит множитель $10^{-7}$, но первый множитель $508$ не удовлетворяет условию $1 \le a < 10$. Сначала представим $508$ в стандартном виде: $508 = 5,08 \cdot 10^2$.
Теперь подставим это в исходное выражение:
$508 \cdot 10^{-7} = (5,08 \cdot 10^2) \cdot 10^{-7} = 5,08 \cdot 10^{2 + (-7)} = 5,08 \cdot 10^{-5}$.
Ответ: $5,08 \cdot 10^{-5}$

з) В числе $0,042 \cdot 10^2$ первый множитель $0,042$ не удовлетворяет условию $1 \le a < 10$. Представим $0,042$ в стандартном виде: $0,042 = 4,2 \cdot 10^{-2}$.
Теперь подставим это в исходное выражение:
$0,042 \cdot 10^2 = (4,2 \cdot 10^{-2}) \cdot 10^2 = 4,2 \cdot 10^{-2 + 2} = 4,2 \cdot 10^0$.
Ответ: $4,2 \cdot 10^0$

1225. Масса Земли приближённо равна 6 000 000 000 000 000 000 000 т, а масса атома водорода 0,0000000000000000000017 г. Запишите в стандартном виде массу Земли и массу атома водорода.

$$\begin{gathered} 6 000 000 000 000 000 000 000\text{т}=6·{10}^{21}\text{т} \\ 0,00 000 000 000 000 000 000 17\text{г}=1.7·{10}^{-21}\text{г} \end{gathered}$$

Стандартный вид числа — это его запись в виде $a \cdot 10^n$, где $1 \le a < 10$ и $n$ — целое число. Для записи числа в стандартном виде необходимо представить его как произведение числа от 1 (включительно) до 10 (не включительно) на соответствующую степень числа 10.

Масса Земли

Масса Земли приблизительно равна 6 000 000 000 000 000 000 000 т. Чтобы записать это большое число в стандартном виде, мы должны переместить десятичную запятую (которая находится в конце числа) влево до тех пор, пока слева от нее не останется только одна ненулевая цифра.

Исходное число: $6 \underbrace{000 000 000 000 000 000 000}_{21 \text{ нуль}}$.

Перемещаем запятую на 21 позицию влево, чтобы получить число 6. Количество позиций, на которые мы сдвинули запятую, будет показателем степени $n$ для основания 10. Таким образом, масса Земли в стандартном виде записывается как $6 \times 10^{21}$ т.

Ответ: $6 \times 10^{21}$ т.

Масса атома водорода

Масса атома водорода приблизительно равна 0,0000000000000000000000017 г. Чтобы записать это малое число в стандартном виде, мы должны переместить десятичную запятую вправо до тех пор, пока слева от нее не окажется одна ненулевая цифра.

Исходное число: $0, \underbrace{00000000000000000000000}_{23 \text{ нуля}}17$.

Перемещаем запятую вправо, чтобы получить число 1,7. Мы сдвинули запятую на 24 позиции. Так как мы сдвигали запятую вправо у числа, которое меньше 1, показатель степени $n$ будет отрицательным. Таким образом, масса атома водорода в стандартном виде записывается как $1,7 \times 10^{-24}$ г.

Ответ: $1,7 \times 10^{-24}$ г.

1226. Выразите:

а) 3,8 ∙ 10³ т в граммах;

б) 1,7 ∙ 10⁻⁴ км в сантиметрах;

в) 8,62 ∙ 10⁻¹ кг в тоннах;

г) 5,24 ∙ 10⁵ см в метрах.

a) $3,8·{10}^3\text{т}=3,8·{10}^3·{10}^6=3,8·{10}^9\text{г}$

б) $1,7·{10}^{-4}\text{км}=1,7·{10}^{-4}·{10}^5=1,7·10=17\text{cм}$

в) $8,62·{10}^{-1}\text{кг}=8,62·{10}^{-1}·{10}^{-3}=8,62·{10}^{-4}\text{т}$

г) $5,24·{10}^5\text{см}=5,24·{10}^5·{10}^{-2}=5,24·{10}^3\text{м}$

а) Чтобы выразить тонны в граммах, воспользуемся следующими соотношениями: 1 тонна (т) равна 1000 килограммам (кг), а 1 килограмм равен 1000 граммам (г). Таким образом, 1 тонна содержит $1000 \cdot 1000 = 1 000 000$ или $10^6$ граммов.

Выполним преобразование, умножив исходное значение на количество граммов в одной тонне:

$3,8 \cdot 10^3 \text{ т} = 3,8 \cdot 10^3 \cdot 10^6 \text{ г} = 3,8 \cdot 10^{3+6} \text{ г} = 3,8 \cdot 10^9 \text{ г}$.

Ответ: $3,8 \cdot 10^9$ г.

б) Чтобы выразить километры в сантиметрах, вспомним, что 1 километр (км) равен 1000 метрам (м), а 1 метр равен 100 сантиметрам (см). Следовательно, 1 километр содержит $1000 \cdot 100 = 100 000$ или $10^5$ сантиметров.

Выполним преобразование, умножив исходное значение на количество сантиметров в одном километре:

$1,7 \cdot 10^{-4} \text{ км} = 1,7 \cdot 10^{-4} \cdot 10^5 \text{ см} = 1,7 \cdot 10^{-4+5} \text{ см} = 1,7 \cdot 10^1 \text{ см} = 17 \text{ см}$.

Ответ: $17$ см.

в) Чтобы выразить килограммы в тоннах, нужно знать, что 1 тонна (т) равна 1000 килограммам (кг). Это означает, что 1 килограмм составляет одну тысячную тонны, то есть $1 \text{ кг} = \frac{1}{1000} \text{ т} = 10^{-3} \text{ т}$.

Выполним преобразование, умножив исходное значение на количество тонн в одном килограмме:

$8,62 \cdot 10^{-1} \text{ кг} = 8,62 \cdot 10^{-1} \cdot 10^{-3} \text{ т} = 8,62 \cdot 10^{-1+(-3)} \text{ т} = 8,62 \cdot 10^{-4} \text{ т}$.

Ответ: $8,62 \cdot 10^{-4}$ т.

г) Чтобы выразить сантиметры в метрах, используем соотношение: 1 метр (м) равен 100 сантиметрам (см). Отсюда следует, что 1 сантиметр равен одной сотой метра, то есть $1 \text{ см} = \frac{1}{100} \text{ м} = 10^{-2} \text{ м}$.

Выполним преобразование, умножив исходное значение на количество метров в одном сантиметре:

$5,24 \cdot 10^5 \text{ см} = 5,24 \cdot 10^5 \cdot 10^{-2} \text{ м} = 5,24 \cdot 10^{5-2} \text{ м} = 5,24 \cdot 10^3 \text{ м}$.

Ответ: $5,24 \cdot 10^3$ м.

1227. Представьте:

а) 2,85 ∙ 10⁸ см в километрах;

б) 4,6 ∙ 10⁻² м в миллиметрах;

в) 6,75 ∙ 10¹⁵ г в тоннах;

г) 1,9 ∙ 10⁻² т в килограммах.

a) $2,85·{10}^8\text{см}=2,85·{10}^8·{10}^{-5}=2,85·{10}^3=2850\text{км}$

б) $4,6·{10}^{-2}\text{м}=4,6·{10}^{-2}·{10}^3=4,6·10=46\text{мм}$

в) $6,75·{10}^{15}\text{г}=6,75·{10}^{15}·{10}^{-6}=6,75·{10}^9\text{т}$

г) $1,9·{10}^{-2}\text{т}=1,9·{10}^{-2}·{10}^3=1,9·10=19\text{кг}$

а) Чтобы представить сантиметры (см) в километрах (км), необходимо установить соотношение между этими единицами. Мы знаем, что 1 километр равен 1000 метрам ($1 \text{ км} = 10^3 \text{ м}$), а 1 метр равен 100 сантиметрам ($1 \text{ м} = 10^2 \text{ см}$).

Следовательно, 1 километр содержит $10^3 \cdot 10^2 = 10^5$ сантиметров. Чтобы перевести сантиметры в километры, нужно разделить данное число на $10^5$.

Выполним вычисление:

$2,85 \cdot 10^8 \text{ см} = \frac{2,85 \cdot 10^8}{10^5} \text{ км} = 2,85 \cdot 10^{8-5} \text{ км} = 2,85 \cdot 10^3 \text{ км} = 2850 \text{ км}$.

Ответ: 2850 км.

б) Чтобы представить метры (м) в миллиметрах (мм), вспомним, что в одном метре содержится 1000 миллиметров, то есть $1 \text{ м} = 10^3 \text{ мм}$.

Для перевода метров в миллиметры необходимо умножить данное число на $10^3$.

Выполним вычисление:

$4,6 \cdot 10^{-2} \text{ м} = (4,6 \cdot 10^{-2}) \cdot 10^3 \text{ мм} = 4,6 \cdot 10^{-2+3} \text{ мм} = 4,6 \cdot 10^1 \text{ мм} = 46 \text{ мм}$.

Ответ: 46 мм.

в) Чтобы представить граммы (г) в тоннах (т), установим соотношение между этими единицами массы. Мы знаем, что 1 тонна равна 1000 килограммам ($1 \text{ т} = 10^3 \text{ кг}$), а 1 килограмм равен 1000 граммам ($1 \text{ кг} = 10^3 \text{ г}$).

Следовательно, 1 тонна содержит $10^3 \cdot 10^3 = 10^6$ граммов. Чтобы перевести граммы в тонны, нужно разделить данное число на $10^6$.

Выполним вычисление:

$6,75 \cdot 10^{15} \text{ г} = \frac{6,75 \cdot 10^{15}}{10^6} \text{ т} = 6,75 \cdot 10^{15-6} \text{ т} = 6,75 \cdot 10^9 \text{ т}$.

Ответ: $6,75 \cdot 10^9$ т.

г) Чтобы представить тонны (т) в килограммах (кг), вспомним, что в одной тонне содержится 1000 килограммов, то есть $1 \text{ т} = 10^3 \text{ кг}$.

Для перевода тонн в килограммы необходимо умножить данное число на $10^3$.

Выполним вычисление:

$1,9 \cdot 10^{-2} \text{ т} = (1,9 \cdot 10^{-2}) \cdot 10^3 \text{ кг} = 1,9 \cdot 10^{-2+3} \text{ кг} = 1,9 \cdot 10^1 \text{ кг} = 19 \text{ кг}$.

Ответ: 19 кг.

1228. Выполните умножение:

а) (3,25 ∙ 10²) ∙ (1,4 ∙ 10³);

б) (4,4 ∙ 10⁻³) ∙ (5,2 ∙ 10⁴).

a) $(3,25·{10}^2)·(1,4·{10}^3)=4,55·{10}^5$

б) $(4,4·{10}^{-3})·(5,2·{10}^4)=22,88·10=2,288·{10}^2$

а) Чтобы выполнить умножение чисел, записанных в стандартном виде, необходимо перемножить их числовые коэффициенты (мантиссы) и сложить показатели степеней основания (десяти). Правило умножения чисел в стандартном виде: $(a \cdot 10^m) \cdot (b \cdot 10^n) = (a \cdot b) \cdot 10^{m+n}$.

Применим это правило к выражению $(3,25 \cdot 10^2) \cdot (1,4 \cdot 10^3)$:

$(3,25 \cdot 10^2) \cdot (1,4 \cdot 10^3) = (3,25 \cdot 1,4) \cdot (10^2 \cdot 10^3)$

Сначала вычислим произведение коэффициентов:

$3,25 \cdot 1,4 = 4,55$

Затем вычислим произведение степеней десяти, используя свойство $x^m \cdot x^n = x^{m+n}$:

$10^2 \cdot 10^3 = 10^{2+3} = 10^5$

Теперь объединим полученные результаты:

$4,55 \cdot 10^5$

Число $4,55$ удовлетворяет условию $1 \le 4,55 < 10$, поэтому результат уже записан в стандартном виде.

Ответ: $4,55 \cdot 10^5$

б) Выполним умножение для второго выражения, используя то же правило.

$(4,4 \cdot 10^{-3}) \cdot (5,2 \cdot 10^4) = (4,4 \cdot 5,2) \cdot (10^{-3} \cdot 10^4)$

Вычислим произведение коэффициентов:

$4,4 \cdot 5,2 = 22,88$

Вычислим произведение степеней десяти:

$10^{-3} \cdot 10^4 = 10^{-3+4} = 10^1$

Объединим результаты:

$22,88 \cdot 10^1$

Полученное число не записано в стандартном виде, так как коэффициент $22,88$ больше $10$. Чтобы привести его к стандартному виду, представим $22,88$ как $2,288 \cdot 10^1$.

Теперь подставим это в наше выражение:

$22,88 \cdot 10^1 = (2,288 \cdot 10^1) \cdot 10^1 = 2,288 \cdot 10^{1+1} = 2,288 \cdot 10^2$

Теперь результат записан в стандартном виде, так как $1 \le 2,288 < 10$.

Ответ: $2,288 \cdot 10^2$