Страница 268 - гдз по алгебре 8 класс учебник Макарычев, Миндюк

1202. Найдите значение выражения:

a) $125^{-1}·25^2={\left(5^3\right)}^{-1}·{\left(5^{-2}\right)}^2=5^{-3}·5^4=5^{-3+4}=5$

б) $16^{-3}·4^6={\left(2^4\right)}^{-3}{\left(2^2\right)}^6=2^{-12}·2^{12}=2^{-12+12}=2^0=1$

в) ${\left(6^2\right)}^6:6^{14}=6^{12}:6^{14}=6^{12-14}=6^{-2}=\frac{1}{6^2}=\frac{1}{36}$

г) $12^0:{\left(12^{-1}\right)}^2=12^0:12^{-2}=12^{0-\left(-2\right)}=12^2=144$

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{д)}} \frac{{\left(2^3\right)}^{\mathbf{5}}·{\left(2^{-6}\right)}^2}{4^2}=\frac{2^{15}·2^{-12}}{{\left(2^2\right)}^2}=\frac{2^{15+\left(-12\right)}}{2^4}= \\ =\frac{2^3}{2^4}=2^{3-4}=2^{-1}=\frac{1}{2} \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{e)}} \frac{{\left(3^{-2}\right)}^3·9^4}{{\left(3^3\right)}^2}=\frac{3^{-6}·{\left(3^2\right)}^4}{3^6}=\frac{3^{-6}·3^8}{3^6}=\frac{3^{-6+8}}{3^6}= \\ =\frac{3^2}{3^6}=3^{2-6}=3^{-4}=\frac{1}{3^4}=\frac{1}{81} \end{gathered}$$

а) Чтобы найти значение выражения $125^{-1} \cdot 25^2$, представим числа 125 и 25 в виде степеней с основанием 5. Так как $125 = 5^3$ и $25 = 5^2$, то выражение принимает вид:
$(5^3)^{-1} \cdot (5^2)^2$
Применяя свойство степени $(a^m)^n = a^{m \cdot n}$, получаем:
$5^{3 \cdot (-1)} \cdot 5^{2 \cdot 2} = 5^{-3} \cdot 5^4$
Применяя свойство умножения степеней с одинаковым основанием $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$, находим:
$5^{-3+4} = 5^1 = 5$
Ответ: 5

б) Чтобы найти значение выражения $16^{-3} \cdot 4^6$, представим число 16 в виде степени с основанием 4. Так как $16 = 4^2$, то выражение принимает вид:
$(4^2)^{-3} \cdot 4^6$
Используя свойство степени $(a^m)^n = a^{m \cdot n}$:
$4^{2 \cdot (-3)} \cdot 4^6 = 4^{-6} \cdot 4^6$
Используя свойство умножения степеней $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$:
$4^{-6+6} = 4^0 = 1$
Ответ: 1

в) Чтобы найти значение выражения $(6^2)^6 : 6^{14}$, сначала упростим первое выражение, используя свойство $(a^m)^n = a^{m \cdot n}$:
$(6^2)^6 = 6^{2 \cdot 6} = 6^{12}$
Теперь выражение выглядит так:
$6^{12} : 6^{14}$
Применяя свойство деления степеней с одинаковым основанием $a^m : a^n = a^{m-n}$, получаем:
$6^{12-14} = 6^{-2}$
Используя определение степени с отрицательным показателем $a^{-n} = \frac{1}{a^n}$:
$6^{-2} = \frac{1}{6^2} = \frac{1}{36}$
Ответ: $\frac{1}{36}$

г) Чтобы найти значение выражения $12^0 : (12^{-1})^2$, вспомним, что любое число (кроме нуля) в нулевой степени равно 1, то есть $12^0=1$. Упростим делитель:
$(12^{-1})^2 = 12^{-1 \cdot 2} = 12^{-2}$
Теперь разделим:
$1 : 12^{-2} = 12^0 : 12^{-2} = 12^{0 - (-2)} = 12^{0+2} = 12^2 = 144$
Ответ: 144

д) Чтобы найти значение выражения $\frac{(2^3)^5 \cdot (2^{-6})^2}{4^2}$, упростим числитель и знаменатель.
В числителе:
$(2^3)^5 \cdot (2^{-6})^2 = 2^{3 \cdot 5} \cdot 2^{-6 \cdot 2} = 2^{15} \cdot 2^{-12} = 2^{15-12} = 2^3$
В знаменателе представим 4 как $2^2$:
$4^2 = (2^2)^2 = 2^{2 \cdot 2} = 2^4$
Теперь разделим числитель на знаменатель:
$\frac{2^3}{2^4} = 2^{3-4} = 2^{-1} = \frac{1}{2}$
Ответ: $\frac{1}{2}$

е) Чтобы найти значение выражения $\frac{(3^{-2})^3 \cdot 9^4}{(3^3)^2}$, упростим числитель и знаменатель, приведя все к основанию 3.
В числителе:
$(3^{-2})^3 \cdot 9^4 = 3^{-2 \cdot 3} \cdot (3^2)^4 = 3^{-6} \cdot 3^{2 \cdot 4} = 3^{-6} \cdot 3^8 = 3^{-6+8} = 3^2$
В знаменателе:
$(3^3)^2 = 3^{3 \cdot 2} = 3^6$
Теперь разделим числитель на знаменатель:
$\frac{3^2}{3^6} = 3^{2-6} = 3^{-4} = \frac{1}{3^4} = \frac{1}{81}$
Ответ: $\frac{1}{81}$

1203. (Для работы в парах.) Зная, что m — целое число, сократите дробь:

1) Распределите, кто выполняет задание а), а кто — задание б), и выполните их.

2) Проверьте друг у друга, правильно ли выполнены задания.

3) Исправьте ошибки, если они допущены.

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{a) }}\frac{25^m}{5^{2m-1}}=\frac{{\left(5^2\right)}^m}{5^{2m-1}}=\frac{5^{2m}}{5^{2m-1}}=5^{2m-\left(2m-1\right)}= \\ =5^{2m-2m+1}=5^1=5 \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{б) }}\frac{6^m}{2^{m-1}·3^{m+1}}=\frac{{\left(2·3\right)}^m}{2^{m-1}·3^{m+1}}=\frac{2^m·3^m}{2^{m-1}·3^{m+1}}= \\ =2^{m-\left(m-1\right)}·3^{m-\left(m+1\right)}=2^{m-m+1}·3^{m-m-1}= \\ =2·3^{-1}=2·\frac{1}{3}=\frac{2}{3} \end{gathered}$$

а) Чтобы сократить дробь $\frac{25^m}{5^{2m-1}}$, необходимо привести степени к общему основанию. В данном случае это основание 5.

1. Представим числитель дроби с основанием 5. Поскольку $25 = 5^2$, то $25^m = (5^2)^m$.

2. Используя свойство возведения степени в степень $(a^b)^c = a^{b \cdot c}$, получим: $(5^2)^m = 5^{2m}$.

3. Теперь исходная дробь имеет вид: $\frac{5^{2m}}{5^{2m-1}}$.

4. При делении степеней с одинаковым основанием их показатели вычитаются ($\frac{a^b}{a^c} = a^{b-c}$). Применим это правило:

$\frac{5^{2m}}{5^{2m-1}} = 5^{2m - (2m - 1)} = 5^{2m - 2m + 1} = 5^1 = 5$.

Ответ: $5$

б) Чтобы сократить дробь $\frac{6^m}{2^{m-1} \cdot 3^{m+1}}$, необходимо разложить числитель на множители, основания которых совпадают с основаниями в знаменателе.

1. Представим основание 6 в виде произведения простых множителей: $6 = 2 \cdot 3$.

2. Тогда числитель $6^m$ можно записать как $(2 \cdot 3)^m$. Используя свойство возведения произведения в степень $(a \cdot b)^c = a^c \cdot b^c$, получим: $(2 \cdot 3)^m = 2^m \cdot 3^m$.

3. Теперь исходная дробь имеет вид: $\frac{2^m \cdot 3^m}{2^{m-1} \cdot 3^{m+1}}$.

4. Сгруппируем степени с одинаковыми основаниями и применим свойство деления степеней ($\frac{a^b}{a^c} = a^{b-c}$):

$\frac{2^m}{2^{m-1}} \cdot \frac{3^m}{3^{m+1}} = 2^{m - (m-1)} \cdot 3^{m - (m+1)} = 2^{m-m+1} \cdot 3^{m-m-1} = 2^1 \cdot 3^{-1}$.

5. Используя свойство степени с отрицательным показателем $a^{-n} = \frac{1}{a^n}$, получаем:

$2^1 \cdot 3^{-1} = 2 \cdot \frac{1}{3} = \frac{2}{3}$.

Ответ: $\frac{2}{3}$

1204. Представьте какими-либо тремя способами выражение х⁻¹⁰ в виде произведения степеней.

$x^{-10}=x^{-2}·x^{-8}=x^{-20}·x^{10}=x^{-5}·x^{-5}$

Для того чтобы представить выражение $x^{-10}$ в виде произведения степеней, необходимо воспользоваться свойством умножения степеней с одинаковым основанием: $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$. Задача сводится к тому, чтобы найти различные комбинации показателей (чисел $m$, $n$ и т.д.), сумма которых будет равна $-10$. Существует бесконечное множество таких комбинаций. Приведем три возможных способа.

Способ 1

Представим показатель степени $-10$ как сумму двух отрицательных целых чисел. Например, возьмем числа $-4$ и $-6$. Их сумма равна $-10$:
$-4 + (-6) = -10$
Тогда, согласно свойству умножения степеней, можно записать:
$x^{-10} = x^{-4 + (-6)} = x^{-4} \cdot x^{-6}$

Ответ: $x^{-4} \cdot x^{-6}$

Способ 2

Представим $-10$ как сумму положительного и отрицательного числа. Например, возьмем числа $2$ и $-12$. Их сумма также равна $-10$:
$2 + (-12) = -10$
В этом случае выражение будет выглядеть так:
$x^{-10} = x^{2 + (-12)} = x^{2} \cdot x^{-12}$

Ответ: $x^{2} \cdot x^{-12}$

Способ 3

Можно представить показатель $-10$ как сумму трех или более слагаемых. Например, возьмем числа $-2$, $-3$ и $-5$. Их сумма равна $-10$:
$-2 + (-3) + (-5) = -10$
Тогда произведение будет состоять из трех множителей:
$x^{-10} = x^{-2 + (-3) + (-5)} = x^{-2} \cdot x^{-3} \cdot x^{-5}$

Ответ: $x^{-2} \cdot x^{-3} \cdot x^{-5}$

1205. Представьте выражение а¹², где a ≠ 0, в виде степени:

а) с основанием а⁴;

б) с основанием а⁻⁶.

а) $a^{12}={\left(a^4\right)}^3, a\ne 0$

б) $a^{12}={\left(a^{-6}\right)}^{-2}, a\ne 0$

Для решения этой задачи воспользуемся свойством возведения степени в степень: $(b^m)^n = b^{m \cdot n}$. Нам нужно найти такой показатель степени $x$, чтобы исходное выражение $a^{12}$ было равно новому выражению с заданным основанием.

а) с основанием $a^4$

Пусть искомое выражение имеет вид $(a^4)^x$. Тогда, согласно свойству степени, оно равно $a^{4x}$.

Нам нужно, чтобы это выражение было равно $a^{12}$. Приравняем показатели степеней:

$4x = 12$

Найдем $x$:

$x = \frac{12}{4}$

$x = 3$

Следовательно, $a^{12} = (a^4)^3$.

Ответ: $(a^4)^3$

б) с основанием $a^{-6}$

Пусть искомое выражение имеет вид $(a^{-6})^x$. Тогда, согласно свойству степени, оно равно $a^{-6x}$.

Нам нужно, чтобы это выражение было равно $a^{12}$. Приравняем показатели степеней:

$-6x = 12$

Найдем $x$:

$x = \frac{12}{-6}$

$x = -2$

Следовательно, $a^{12} = (a^{-6})^{-2}$.

Ответ: $(a^{-6})^{-2}$

1206. Представьте в виде степени с основанием х частное:

a) $x^{10}:x^{12}=x^{10-12}=x^{-2}x^\{10\}\; :\; x^\{12\}=x^\{10-12\}=x^\{-2\}$

б) $x^0:x^{-5}=x^{0-\left(-5\right)}=x^{5}x^\{0\}\; :\; x^\{-5\}=x^\{0-(-5)\}=x^\{5\}$

в) $x^{n-1}:x^{-8}=x^{n-1-\left(-8\right)}=x^{n-1+8}=x^{n+7}x^\{n-1\}\; :\; x^\{-8\}=x^\{n-1-(-8)\}=x^\{n-1+8\}=x^\{n+7\}, n\in Zn\; \backslash in\; Z$

г) $x^6:x^{n+2}=x^{6-\left(n+2\right)}=x^{6-n-2}=x^{4-n}x^\{6\}\; :\; x^\{n+2\}=x^\{6-(n+2)\}=x^\{6-n-2\}=x^\{4-n\}, n\in Zn\; \backslash in\; Z$

а) Чтобы представить частное $x^{10} : x^{12}$ в виде степени с основанием $x$, необходимо воспользоваться свойством деления степеней с одинаковым основанием: $a^m : a^n = a^{m-n}$. В данном примере $m = 10$ и $n = 12$.
Подставим значения показателей в формулу:
$x^{10} : x^{12} = x^{10 - 12} = x^{-2}$.
Ответ: $x^{-2}$

б) Для частного $x^0 : x^{-5}$ применим то же свойство деления степеней. В этом случае $m = 0$ и $n = -5$.
Выполним вычитание показателей:
$x^0 : x^{-5} = x^{0 - (-5)} = x^{0 + 5} = x^5$.
Ответ: $x^5$

в) В выражении $x^{n-1} : x^{-8}$ (где $n$ — целое число) мы также используем правило деления степеней. Показатель делимого $m = n-1$, а показатель делителя $n = -8$.
Выполним преобразование:
$x^{n-1} : x^{-8} = x^{(n-1) - (-8)} = x^{n-1+8} = x^{n+7}$.
Ответ: $x^{n+7}$

г) Для частного $x^6 : x^{n+2}$ (где $n$ — целое число) снова воспользуемся свойством деления степеней. Здесь показатель делимого $m = 6$, а показатель делителя $n = n+2$.
Выполним вычитание показателей, обращая внимание на скобки:
$x^6 : x^{n+2} = x^{6 - (n+2)} = x^{6-n-2} = x^{4-n}$.
Ответ: $x^{4-n}$

1207. Упростите выражение:

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{а) }}1,5аb^{-3}·6{а}^{-2}b=(1,5·6)a^{1+(-2)}{b}^{-3+1}= \\ =9a^{-1}{b}^{-2}=\frac{9}{a{b}^2} \end{gathered}$$

б) $\frac{3}{4}{m}^{-2}{n}^4·8m^3{n}^{-2}=\left(\frac{3}{4}·8\right)m^{-2+3}{n}^{4+(-2)}=6m{n}^2$

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{в) }}0,6c^2{d}^4·\frac{1}{3}{c}^{-2}{d}^{-4}=\left(0,6·\frac{1}{3}\right)c^{2+(-2)}{d}^{4+(-4)}= \\ =\left(\frac{6}{10}·\frac{1}{3}\right)c^0{d}^0=0,2 \end{gathered}$$

г) $3,2x^{-1}{y}^{-5}·\frac{5}{8}xy=\left(3,2·\frac{5}{8}\right)x^{-1+1}{y}^{-5+1}=2y^{-4}=\frac{2}{y^4}$

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{д) }}\frac{1}{2}{p}^{-1}{q}^{-3}·\frac{1}{6}{p}^2{q}^{-5}=\left(\frac{1}{2}·\frac{1}{6}\right)p^{-1+2}{q}^{-3+(-5)}= \\ =\frac{1}{12}p{q}^{-8}=\frac{p}{12q^8} \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{е) }}3\frac{1}{3}{a}^5{b}^{-18}·0,6a^{-1}{b}^{20}= \\ =\left(\frac{10}{3}·0,6\right)a^{5+(-1)}{b}^{-18+20}=2a^4{b}^2 \end{gathered}$$

а) Чтобы упростить выражение $1,5ab^{-3} \cdot 6a^{-2}b$, необходимо перемножить числовые коэффициенты и степени с одинаковыми основаниями.
Сначала сгруппируем множители: $(1,5 \cdot 6) \cdot (a \cdot a^{-2}) \cdot (b^{-3} \cdot b)$.
1. Выполним умножение числовых коэффициентов: $1,5 \cdot 6 = 9$.
2. При умножении степеней с одинаковым основанием их показатели складываются, согласно свойству $x^m \cdot x^n = x^{m+n}$.
Для переменной $a$: $a^1 \cdot a^{-2} = a^{1+(-2)} = a^{-1}$.
Для переменной $b$: $b^{-3} \cdot b^1 = b^{-3+1} = b^{-2}$.
3. Объединим полученные результаты: $9 \cdot a^{-1} \cdot b^{-2} = 9a^{-1}b^{-2}$.
Ответ: $9a^{-1}b^{-2}$

б) Упростим выражение $\frac{3}{4}m^{-2}n^4 \cdot 8m^3n^{-2}$.
Сгруппируем множители по коэффициентам и переменным: $(\frac{3}{4} \cdot 8) \cdot (m^{-2} \cdot m^3) \cdot (n^4 \cdot n^{-2})$.
1. Перемножим коэффициенты: $\frac{3}{4} \cdot 8 = \frac{3 \cdot 8}{4} = 3 \cdot 2 = 6$.
2. Перемножим степени с основанием $m$: $m^{-2} \cdot m^3 = m^{-2+3} = m^1 = m$.
3. Перемножим степени с основанием $n$: $n^4 \cdot n^{-2} = n^{4+(-2)} = n^2$.
4. Соединим все части: $6mn^2$.
Ответ: $6mn^2$

в) Упростим выражение $0,6c^2d^4 \cdot \frac{1}{3}c^{-2}d^{-4}$.
Сгруппируем множители: $(0,6 \cdot \frac{1}{3}) \cdot (c^2 \cdot c^{-2}) \cdot (d^4 \cdot d^{-4})$.
1. Перемножим коэффициенты. Для удобства представим $0,6$ в виде обыкновенной дроби $\frac{6}{10}$ или $\frac{3}{5}$: $\frac{3}{5} \cdot \frac{1}{3} = \frac{3}{15} = \frac{1}{5} = 0,2$.
2. Перемножим степени с основанием $c$: $c^2 \cdot c^{-2} = c^{2+(-2)} = c^0 = 1$ (при условии, что $c \neq 0$).
3. Перемножим степени с основанием $d$: $d^4 \cdot d^{-4} = d^{4+(-4)} = d^0 = 1$ (при условии, что $d \neq 0$).
4. Объединим результаты: $0,2 \cdot 1 \cdot 1 = 0,2$.
Ответ: $0,2$

г) Упростим выражение $3,2x^{-1}y^{-5} \cdot \frac{5}{8}xy$.
Сгруппируем множители: $(3,2 \cdot \frac{5}{8}) \cdot (x^{-1} \cdot x) \cdot (y^{-5} \cdot y)$.
1. Перемножим коэффициенты, представив $3,2$ в виде дроби $\frac{32}{10}$ или $\frac{16}{5}$: $\frac{16}{5} \cdot \frac{5}{8} = \frac{16 \cdot 5}{5 \cdot 8} = \frac{16}{8} = 2$.
2. Перемножим степени с основанием $x$: $x^{-1} \cdot x^1 = x^{-1+1} = x^0 = 1$ (при $x \neq 0$).
3. Перемножим степени с основанием $y$: $y^{-5} \cdot y^1 = y^{-5+1} = y^{-4}$.
4. Объединим полученные части: $2 \cdot 1 \cdot y^{-4} = 2y^{-4}$.
Ответ: $2y^{-4}$

д) Упростим выражение $\frac{1}{2}p^{-1}q^{-3} \cdot \frac{1}{6}p^2q^{-5}$.
Сгруппируем множители: $(\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{6}) \cdot (p^{-1} \cdot p^2) \cdot (q^{-3} \cdot q^{-5})$.
1. Перемножим коэффициенты: $\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{6} = \frac{1}{12}$.
2. Перемножим степени с основанием $p$: $p^{-1} \cdot p^2 = p^{-1+2} = p^1 = p$.
3. Перемножим степени с основанием $q$: $q^{-3} \cdot q^{-5} = q^{-3+(-5)} = q^{-8}$.
4. Соберем результат: $\frac{1}{12}pq^{-8}$.
Ответ: $\frac{1}{12}pq^{-8}$

е) Упростим выражение $3\frac{1}{3}a^5b^{-18} \cdot 0,6a^{-1}b^{20}$.
Сгруппируем множители: $(3\frac{1}{3} \cdot 0,6) \cdot (a^5 \cdot a^{-1}) \cdot (b^{-18} \cdot b^{20})$.
1. Перемножим коэффициенты, предварительно представив их в виде обыкновенных дробей: $3\frac{1}{3} = \frac{10}{3}$ и $0,6 = \frac{6}{10}$.
Произведение коэффициентов: $\frac{10}{3} \cdot \frac{6}{10} = \frac{10 \cdot 6}{3 \cdot 10} = \frac{6}{3} = 2$.
2. Перемножим степени с основанием $a$: $a^5 \cdot a^{-1} = a^{5+(-1)} = a^4$.
3. Перемножим степени с основанием $b$: $b^{-18} \cdot b^{20} = b^{-18+20} = b^2$.
4. Объединим все части: $2a^4b^2$.
Ответ: $2a^4b^2$

1208. Найдите значение выражения:

a) $0,2a^{-2}{b}^4·5a^3{b}^{-3}=\left(0,2·5\right)a^{-2+3}{b}^{4+\left(-3\right)}=ab$

при a=-0,125; b=8

-0,125*8=-1

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{б) }}\frac{1}{27}{a}^{-1}{b}^{-5}·81a^2{b}^4=\left(\frac{1}{27}·81\right)a^{-1+2}{b}^{-5+4}= \\ =3a{b}^{-1}=\frac{3a}{b} \end{gathered}$$

при $a=\frac{1}{7},b=\frac{1}{14}$

$\frac{3·{\displaystyle \frac{1}{7}}}{\frac{1}{14}}=\frac{3}{7}:\frac{1}{14}=\frac{3}{7}·\frac{14}{1}=6$

а) Сначала упростим данное выражение, используя свойства степеней ($x^m \cdot x^n = x^{m+n}$):
$0,2a^{-2}b^4 \cdot 5a^3b^{-3} = (0,2 \cdot 5) \cdot (a^{-2} \cdot a^3) \cdot (b^4 \cdot b^{-3}) = 1 \cdot a^{-2+3} \cdot b^{4+(-3)} = a^1 \cdot b^1 = ab$.
Теперь подставим значения $a = -0,125$ и $b = 8$ в упрощенное выражение:
$ab = (-0,125) \cdot 8$.
Чтобы упростить вычисление, представим десятичную дробь в виде обыкновенной: $-0,125 = -\frac{125}{1000} = -\frac{1}{8}$.
Тогда:
$(-\frac{1}{8}) \cdot 8 = -1$.
Ответ: -1

б) Сначала упростим выражение:
$\frac{1}{27}a^{-1}b^{-5} \cdot 81a^2b^4 = (\frac{1}{27} \cdot 81) \cdot (a^{-1} \cdot a^2) \cdot (b^{-5} \cdot b^4) = \frac{81}{27} \cdot a^{-1+2} \cdot b^{-5+4} = 3 \cdot a^1 \cdot b^{-1} = \frac{3a}{b}$.
Теперь подставим значения $a = \frac{1}{7}$ и $b = \frac{1}{14}$ в полученное выражение:
$\frac{3a}{b} = \frac{3 \cdot \frac{1}{7}}{\frac{1}{14}} = \frac{\frac{3}{7}}{\frac{1}{14}}$.
Чтобы разделить дробь на дробь, нужно первую дробь умножить на перевернутую вторую:
$\frac{3}{7} : \frac{1}{14} = \frac{3}{7} \cdot \frac{14}{1} = \frac{3 \cdot 14}{7} = 3 \cdot 2 = 6$.
Ответ: 6

1209. Упростите выражение и найдите его значение:

a) $1,6x^{-1}{y}^{12}·5x^3{y}^{-11}=\left(1,6·5\right)x^{-1+3}{y}^{12+\left(-11\right)}=8x^{2}y$

при $x=-0,2; y=0,7$

$8·{\left(-0,2\right)}^2·0,7=8·0,04·0,7=8·0,028=0,224$

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{б) }}\frac{5}{6}{x}^{-3}{y}^3·30x^3{y}^{-4}=\left(\frac{5}{6}·30\right)x^{-3+3}{y}^{3+\left(-4\right)}= \\ =25·x^0{y}^{-1}=\frac{25}{y} \end{gathered}$$

при $y=\frac{1}{5}$

$\frac{25}{{\displaystyle \frac{1}{5}}}=25·5=125$

а) Сначала упростим данное выражение. Для этого сгруппируем числовые коэффициенты и степени с одинаковыми основаниями:

$1,6x^{-1}y^{12} \cdot 5x^3y^{-11} = (1,6 \cdot 5) \cdot (x^{-1} \cdot x^3) \cdot (y^{12} \cdot y^{-11})$

При умножении степеней с одинаковым основанием их показатели складываются ($a^m \cdot a^n = a^{m+n}$):

$1,6 \cdot 5 = 8$

$x^{-1} \cdot x^3 = x^{-1+3} = x^2$

$y^{12} \cdot y^{-11} = y^{12+(-11)} = y^1 = y$

Таким образом, упрощенное выражение имеет вид: $8x^2y$.

Теперь подставим в него заданные значения $x = -0,2$ и $y = 0,7$:

$8x^2y = 8 \cdot (-0,2)^2 \cdot 0,7 = 8 \cdot 0,04 \cdot 0,7$

$8 \cdot 0,04 = 0,32$

$0,32 \cdot 0,7 = 0,224$

Ответ: 0,224

б) Упростим второе выражение, действуя аналогично:

$\frac{5}{6}x^{-3}y^3 \cdot 30x^3y^{-4} = (\frac{5}{6} \cdot 30) \cdot (x^{-3} \cdot x^3) \cdot (y^3 \cdot y^{-4})$

Вычислим значение каждого сомножителя:

$\frac{5}{6} \cdot 30 = 5 \cdot \frac{30}{6} = 5 \cdot 5 = 25$

$x^{-3} \cdot x^3 = x^{-3+3} = x^0 = 1$ (при $x \neq 0$)

$y^3 \cdot y^{-4} = y^{3+(-4)} = y^{-1} = \frac{1}{y}$

Собираем упрощенное выражение: $25 \cdot 1 \cdot y^{-1} = 25y^{-1} = \frac{25}{y}$.

Теперь подставим в полученное выражение значение $y = \frac{1}{5}$. Заметим, что значение $x$ не влияет на результат.

$\frac{25}{y} = \frac{25}{\frac{1}{5}} = 25 \cdot 5 = 125$

Ответ: 125