Страница 263 - гдз по алгебре 8 класс учебник Макарычев, Миндюк

1172. Замените степень с целым отрицательным показателем дробью:

a) $10^{-6}=\frac{1}{10^6}=\frac{1}{1000000}=0,00000110^\{-6\}=\backslash frac\{1\}\{10^6\}=\backslash frac\{1\}\{1000000\}=0,000001$

б) $9^{-2}=\frac{1}{9^2}=\frac{1}{81}9^\{-2\}=\backslash frac\{1\}\{9^2\}=\backslash frac\{1\}\{81\}$

в) $a^{-1}=\frac{1}{a}a^\{-1\}=\backslash frac\{1\}\{a\}$

г) $x^{-20}=\frac{1}{x^{20}}x^\{-20\}=\backslash frac\{1\}\{x^\{20\}\}$

д) ${\left(ab\right)}^{-3}=\frac{1}{{\left(ab\right)}^3}=\frac{1}{a^3{b}^3}$

е) ${\left(a+b\right)}^{-4}=\frac{1}{{\left(a+b\right)}^4}$

Для решения этой задачи необходимо использовать определение степени с целым отрицательным показателем. Для любого числа $a$, не равного нулю, и любого целого числа $n$ справедливо равенство:

$a^{-n} = \frac{1}{a^n}$

Применим это правило к каждому из выражений.

а) В выражении $10^{-6}$ основание степени равно 10, а показатель степени равен -6. По определению степени с отрицательным показателем, заменяем данную степень дробью: $10^{-6} = \frac{1}{10^6}$. Значение знаменателя можно вычислить: $10^6 = 1 000 000$. Таким образом, выражение равно $\frac{1}{1000000}$. Ответ: $\frac{1}{10^6}$.

б) В выражении $9^{-2}$ основание степени равно 9, а показатель равен -2. Применяем то же правило: $9^{-2} = \frac{1}{9^2}$. Вычислим значение в знаменателе: $9^2 = 81$. Ответ: $\frac{1}{81}$.

в) В выражении $a^{-1}$ основание равно $a$, а показатель равен -1. Преобразуем степень в дробь: $a^{-1} = \frac{1}{a^1} = \frac{1}{a}$. Это преобразование верно при условии, что $a \neq 0$. Ответ: $\frac{1}{a}$.

г) Для степени $x^{-20}$ основанием является переменная $x$, а показатель равен -20. Заменяем степень дробью: $x^{-20} = \frac{1}{x^{20}}$. Это преобразование верно при условии, что $x \neq 0$. Ответ: $\frac{1}{x^{20}}$.

д) В выражении $(ab)^{-3}$ основанием является произведение $(ab)$, а показатель равен -3. Заменяем степень дробью: $(ab)^{-3} = \frac{1}{(ab)^3}$. Используя свойство степени произведения, $(xy)^m = x^m y^m$, можно упростить знаменатель: $\frac{1}{(ab)^3} = \frac{1}{a^3b^3}$. Это преобразование верно при условии, что $a \neq 0$ и $b \neq 0$. Ответ: $\frac{1}{a^3b^3}$.

е) В выражении $(a + b)^{-4}$ основанием является сумма $(a + b)$, а показатель равен -4. Преобразуем степень в дробь: $(a + b)^{-4} = \frac{1}{(a + b)^4}$. Это преобразование верно при условии, что $a + b \neq 0$. Ответ: $\frac{1}{(a + b)^4}$.

1173. Замените дробь степенью с отрицательным показателем:

a) $\frac{1}{10^2}=10^{-2}\backslash frac\{1\}\{10^2\}=10^\{-2\}$;

б) $\frac{1}{6^7}=6^{-7}\backslash frac\{1\}\{6^7\}=6^\{-7\}$;

в) $\frac{1}{x^7}=x^{-7}\backslash frac\{1\}\{x^7\}=x^\{-7\}$;

г) $\frac{1}{y^{10}}=y^{-10}\backslash frac\{1\}\{y^\{10\}\}=y^\{-10\}$;

д) $\frac{1}{7}=7^{-1}\backslash frac\{1\}\{7\}=7^\{-1\}$

Чтобы заменить дробь степенью с отрицательным показателем, мы будем использовать основное свойство степени с отрицательным показателем: $ \frac{1}{a^n} = a^{-n} $, где $a \neq 0$ и $n$ — целое число.

а) В дроби $ \frac{1}{10^2} $ основание степени равно 10, а показатель равен 2. Применим правило.

$ \frac{1}{10^2} = 10^{-2} $

Ответ: $10^{-2}$

б) В дроби $ \frac{1}{6^7} $ основание степени равно 6, а показатель равен 7. Применим то же правило.

$ \frac{1}{6^7} = 6^{-7} $

Ответ: $6^{-7}$

в) В дроби $ \frac{1}{x^7} $ основание степени равно $x$, а показатель равен 7. По правилу получаем:

$ \frac{1}{x^7} = x^{-7} $

Ответ: $x^{-7}$

г) В дроби $ \frac{1}{y^{10}} $ основание степени равно $y$, а показатель равен 10. По правилу получаем:

$ \frac{1}{y^{10}} = y^{-10} $

Ответ: $y^{-10}$

д) В дроби $ \frac{1}{7} $ число в знаменателе не представлено в виде степени. Однако любое число можно представить как это число в первой степени: $ 7 = 7^1 $.

Теперь мы можем применить правило к дроби $ \frac{1}{7^1} $:

$ \frac{1}{7} = \frac{1}{7^1} = 7^{-1} $

Ответ: $7^{-1}$

1174. Представьте числа:

а) 8, 4, 2, 1, 12, 14, и 18, в виде степени с основанием 2;

б) 1125, 125, 15, 1, 5, 25, 125 в виде степени с основанием 5.

a) $8=2^{3}8=2^3; 4=2^{2}4=2^2; 2=2^{1}2=2^1; 1=2^{0}1=2^0$;

$\frac{1}{2}=2^{-1}; \frac{1}{4}=2^{-2}; \frac{1}{8}=2^{-3}$

б) $\frac{1}{125}=5^{-3}; \frac{1}{25}=5^{-2}; \frac{1}{5}=5^{-1}; 1=5^0$

$5=5^1; 25=5^2; 125=5^3$

а) Для представления чисел в виде степени с основанием 2, необходимо найти соответствующий показатель степени для каждого числа. Мы будем использовать свойства степени с целым показателем: степень с натуральным показателем, а также $a^1=a$, $a^0=1$ и $a^{-n}=\frac{1}{a^n}$.

Для числа 8: $8$ это $2$, умноженное само на себя 3 раза, поэтому $8 = 2 \cdot 2 \cdot 2 = 2^3$.

Для числа 4: $4 = 2 \cdot 2 = 2^2$.

Для числа 2: по определению степени с показателем 1, $2 = 2^1$.

Для числа 1: любое ненулевое число в степени 0 равно 1, поэтому $1 = 2^0$.

Для числа $\frac{1}{2}$: используя свойство для отрицательной степени, $\frac{1}{2} = \frac{1}{2^1} = 2^{-1}$.

Для числа $\frac{1}{4}$: так как $4 = 2^2$, то $\frac{1}{4} = \frac{1}{2^2} = 2^{-2}$.

Для числа $\frac{1}{8}$: так как $8 = 2^3$, то $\frac{1}{8} = \frac{1}{2^3} = 2^{-3}$.

Ответ: $8=2^3$; $4=2^2$; $2=2^1$; $1=2^0$; $\frac{1}{2}=2^{-1}$; $\frac{1}{4}=2^{-2}$; $\frac{1}{8}=2^{-3}$.

б) Аналогично представим числа в виде степени с основанием 5.

Для числа $\frac{1}{125}$: так как $125 = 5 \cdot 5 \cdot 5 = 5^3$, то $\frac{1}{125} = \frac{1}{5^3} = 5^{-3}$.

Для числа $\frac{1}{25}$: так как $25 = 5 \cdot 5 = 5^2$, то $\frac{1}{25} = \frac{1}{5^2} = 5^{-2}$.

Для числа $\frac{1}{5}$: $\frac{1}{5} = \frac{1}{5^1} = 5^{-1}$.

Для числа 1: $1 = 5^0$.

Для числа 5: $5 = 5^1$.

Для числа 25: $25 = 5 \cdot 5 = 5^2$.

Для числа 125: $125 = 5 \cdot 5 \cdot 5 = 5^3$.

Ответ: $\frac{1}{125}=5^{-3}$; $\frac{1}{25}=5^{-2}$; $\frac{1}{5}=5^{-1}$; $1=5^0$; $5=5^1$; $25=5^2$; $125=5^3$.

1175. Представьте числа:

а) 181, 127, 19, 13, 1, 3, 9, 27, 81 в виде степени с основанием 3;

б) 100, 10, 1, 0,1, 0,01, 0,001, 0,0001 в виде степени с основанием 10.

a) $\frac{1}{81}=3^{-4}; \frac{1}{27}=3^{-3}; \frac{1}{9}=3^{-2}; \frac{1}{3}=3^{-1}$

$1=3^0; 3=3^1; 9=3^2; 27=3^3; 81=3^4$

б) $100=10^{2}100=10^\{2\}; 10=10^{1}10=10^\{1\}; 1=10^{0}1=10^\{0\}; 0,1=10^{-1}0,1=10^\{-1\}$;

$0,01=10^{-2}0,01=10^\{-2\}; 0,001=10^{-3}0,001=10^\{-3\}; 0,0001=10^{-4}0,0001=10^\{-4\}$

а) Для того чтобы представить указанные числа в виде степени с основанием 3, мы будем использовать свойство степени с целым показателем. Для положительных степеней это прямое возведение в степень, для нулевой степени любое число (кроме нуля) равно единице ($a^0 = 1$), а для отрицательных степеней используется формула $a^{-n} = \frac{1}{a^n}$.

Последовательно преобразуем каждое число:

• Число $\frac{1}{81}$. Так как $81 = 3 \times 3 \times 3 \times 3 = 3^4$, то $\frac{1}{81} = \frac{1}{3^4} = 3^{-4}$.
• Число $\frac{1}{27}$. Так как $27 = 3 \times 3 \times 3 = 3^3$, то $\frac{1}{27} = \frac{1}{3^3} = 3^{-3}$.
• Число $\frac{1}{9}$. Так как $9 = 3 \times 3 = 3^2$, то $\frac{1}{9} = \frac{1}{3^2} = 3^{-2}$.
• Число $\frac{1}{3}$. Это можно записать как $\frac{1}{3^1}$, что равно $3^{-1}$.
• Число $1$. Любое число в нулевой степени равно 1, поэтому $1 = 3^0$.
• Число $3$. Это $3$ в первой степени, то есть $3^1$.
• Число $9$. Это $3 \times 3 = 3^2$.
• Число $27$. Это $3 \times 3 \times 3 = 3^3$.
• Число $81$. Это $3 \times 3 \times 3 \times 3 = 3^4$.

Ответ: $\frac{1}{81}=3^{-4}$; $\frac{1}{27}=3^{-3}$; $\frac{1}{9}=3^{-2}$; $\frac{1}{3}=3^{-1}$; $1=3^0$; $3=3^1$; $9=3^2$; $27=3^3$; $81=3^4$.

б) Аналогичным образом представим числа в виде степени с основанием 10. Для целых чисел найдем степень 10, а десятичные дроби представим в виде обыкновенных дробей и воспользуемся свойством степени с отрицательным показателем.

Последовательно преобразуем каждое число:

• Число $100$. Это $10 \times 10 = 10^2$.
• Число $10$. Это $10$ в первой степени, то есть $10^1$.
• Число $1$. По определению, $1 = 10^0$.
• Число $0,1$. Это $\frac{1}{10} = \frac{1}{10^1} = 10^{-1}$.
• Число $0,01$. Это $\frac{1}{100} = \frac{1}{10^2} = 10^{-2}$.
• Число $0,001$. Это $\frac{1}{1000} = \frac{1}{10^3} = 10^{-3}$.
• Число $0,0001$. Это $\frac{1}{10000} = \frac{1}{10^4} = 10^{-4}$.

Ответ: $100=10^2$; $10=10^1$; $1=10^0$; $0,1=10^{-1}$; $0,01=10^{-2}$; $0,001=10^{-3}$; $0,0001=10^{-4}$.

1176. Вычислите:

a) $4^{-2}=\frac{1}{4^2}=\frac{1}{16}4^\{-2\}=\backslash frac\{1\}\{4^2\}=\backslash frac\{1\}\{16\}$

б) ${\left(-3\right)}^{-3}=\frac{1}{{\left(-3\right)}^3}=\frac{1}{-27}=-\frac{1}{27}$

в) ${\left(-1\right)}^{-9}=\frac{1}{{\left(-1\right)}^9}=-1$

г) ${\left(-1\right)}^{-20}=\frac{1}{{\left(-1\right)}^{20}}=1$

д) ${\left(\frac{1}{7}\right)}^{-2}=\frac{1}{{\left({\displaystyle \frac{1}{7}}\right)}^2}=\frac{1}{{\displaystyle \frac{1}{49}}}=49$

е) ${\left(\frac{-2}{3}\right)}^{-3}=\frac{1}{{\left({\displaystyle -\frac{2}{3}}\right)}^3}=\frac{1}{{\displaystyle -\frac{8}{27}}}=-\frac{27}{8}=-3\frac{5}{8}$

ж) ${\left(1\frac{1}{2}\right)}^{-5}={\left(\frac{3}{2}\right)}^{-5}=\frac{1}{{\left({\displaystyle \frac{3}{2}}\right)}^5}=\frac{1}{{\displaystyle \frac{243}{32}}}=\frac{32}{243}$

з) ${\left(-2\frac{2}{5}\right)}^{-2}=\frac{1}{{\left({\displaystyle -\frac{12}{5}}\right)}^2}=\frac{1}{{\displaystyle \frac{144}{25}}}=\frac{25}{144}$

и) $0,01^{-2}=\frac{1}{0,01^2}=\frac{1}{0,0001}=100000,01^\{-2\}=\backslash frac\{1\}\{0,01^2\}=\backslash frac\{1\}\{0,0001\}=10000$

к) $1,125^{-1}=\frac{1}{1,125}=\frac{1000}{1125}=\frac{8}{9}1,125^\{-1\}=\backslash frac\{1\}\{1,125\}=\backslash frac\{1000\}\{1125\}=\backslash frac\{8\}\{9\}$

а) Чтобы вычислить $4^{-2}$, используем свойство степени с отрицательным показателем $a^{-n} = \frac{1}{a^n}$. Таким образом, мы получаем: $4^{-2} = \frac{1}{4^2} = \frac{1}{16}$. Ответ: $\frac{1}{16}$

б) Применяем то же свойство для отрицательного основания: $(-3)^{-3} = \frac{1}{(-3)^3}$. Поскольку показатель степени нечетный ($3$), результат возведения отрицательного числа в степень будет отрицательным: $(-3)^3 = -27$. Следовательно, $\frac{1}{-27} = -\frac{1}{27}$. Ответ: $-\frac{1}{27}$

в) Вычисляем степень с основанием $-1$ и нечетным отрицательным показателем: $(-1)^{-9} = \frac{1}{(-1)^9}$. Так как $9$ — нечетное число, $(-1)^9 = -1$. В результате получаем $\frac{1}{-1} = -1$. Ответ: $-1$

г) Вычисляем степень с основанием $-1$ и четным отрицательным показателем: $(-1)^{-20} = \frac{1}{(-1)^{20}}$. Так как $20$ — четное число, $(-1)^{20} = 1$. В результате получаем $\frac{1}{1} = 1$. Ответ: $1$

д) Для возведения дроби в отрицательную степень используем свойство $(\frac{a}{b})^{-n} = (\frac{b}{a})^n$. $(\frac{1}{7})^{-2} = (\frac{7}{1})^2 = 7^2 = 49$. Ответ: $49$

е) Применяем свойство $(\frac{a}{b})^{-n} = (\frac{b}{a})^n$. Поскольку показатель степени нечетный, знак "минус" у основания сохраняется. $(-\frac{2}{3})^{-3} = (-\frac{3}{2})^3 = -\frac{3^3}{2^3} = -\frac{27}{8}$. Ответ: $-\frac{27}{8}$

ж) Сначала преобразуем смешанное число $1\frac{1}{2}$ в неправильную дробь: $1\frac{1}{2} = \frac{1 \cdot 2 + 1}{2} = \frac{3}{2}$. Затем возводим полученную дробь в степень: $(1\frac{1}{2})^{-5} = (\frac{3}{2})^{-5} = (\frac{2}{3})^5 = \frac{2^5}{3^5} = \frac{32}{243}$. Ответ: $\frac{32}{243}$

з) Сначала преобразуем смешанное число $-2\frac{2}{5}$ в неправильную дробь: $-2\frac{2}{5} = -(\frac{2 \cdot 5 + 2}{5}) = -\frac{12}{5}$. Возводим в степень. Так как показатель степени ($2$) четный, результат будет положительным: $(-2\frac{2}{5})^{-2} = (-\frac{12}{5})^{-2} = (-\frac{5}{12})^2 = \frac{5^2}{12^2} = \frac{25}{144}$. Ответ: $\frac{25}{144}$

и) Представим десятичную дробь $0,01$ в виде обыкновенной дроби: $0,01 = \frac{1}{100}$. Теперь возведем в степень: $0,01^{-2} = (\frac{1}{100})^{-2} = (\frac{100}{1})^2 = 100^2 = 10000$. Ответ: $10000$

к) Представим десятичную дробь $1,125$ в виде обыкновенной дроби, а затем в виде неправильной: $1,125 = 1\frac{125}{1000} = 1\frac{1}{8} = \frac{9}{8}$. Теперь возводим в степень $-1$, что эквивалентно нахождению обратного числа: $1,125^{-1} = (\frac{9}{8})^{-1} = \frac{8}{9}$. Ответ: $\frac{8}{9}$

1177. Найдите значение выражения:

a) $-{10}^{-4}=-\frac{1}{{10}^4}=-\frac{1}{10000}=-0,0001$

б) $-0,2^{-3}=-\frac{1}{0,2^3}=-\frac{1}{0,008}=-\frac{1000}{8}=-125$

в) $(-0,8{)}^{-2}=\frac{1}{(-0,8{)}^2}=\frac{1}{0,64}=\frac{100}{64}=\frac{25}{16}=1\frac{9}{16}$

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{г) }}(-0,5{)}^{-5}=\frac{1}{(-0,5{)}^5}=-\frac{1}{0,03125}= \\ =-\frac{100000}{3125}=-32 \end{gathered}$$

д) $-(-2{)}^{-3}=-\frac{1}{(-2{)}^3}=-\frac{1}{-8}=\frac{1}{8}$

e) $-(-3{)}^{-2}=-\frac{1}{(-3{)}^2}=-\frac{1}{9}$

а) Для нахождения значения выражения $-10^{-4}$ воспользуемся определением степени с отрицательным показателем $a^{-n} = \frac{1}{a^n}$. Важно заметить, что знак "минус" стоит перед числом, а не в скобках с ним, поэтому в степень он не возводится.

$-10^{-4} = -(10^{-4}) = -\left(\frac{1}{10^4}\right) = -\frac{1}{10 \cdot 10 \cdot 10 \cdot 10} = -\frac{1}{10000} = -0,0001$.

Ответ: $-0,0001$.

б) В выражении $-0,2^{-3}$ знак "минус" также относится ко всему выражению, а не к основанию степени. Для удобства вычислений представим десятичную дробь $0,2$ в виде обыкновенной дроби: $0,2 = \frac{2}{10} = \frac{1}{5}$.

$-0,2^{-3} = -(0,2^{-3}) = -\left(\left(\frac{1}{5}\right)^{-3}\right)$.

Чтобы возвести дробь в отрицательную степень, нужно "перевернуть" дробь и возвести в ту же степень, но с положительным знаком:

$-\left(\left(\frac{5}{1}\right)^3\right) = -(5^3) = -(5 \cdot 5 \cdot 5) = -125$.

Ответ: $-125$.

в) В выражении $(-0,8)^{-2}$ в степень возводится отрицательное число $(-0,8)$. Сначала применим правило для отрицательной степени.

$(-0,8)^{-2} = \frac{1}{(-0,8)^2}$.

При возведении отрицательного числа в четную степень (в данном случае 2) результат будет положительным:

$\frac{1}{(-0,8)^2} = \frac{1}{(-0,8) \cdot (-0,8)} = \frac{1}{0,64}$.

Для вычисления можно представить $0,64$ как $\frac{64}{100}$: $\frac{1}{\frac{64}{100}} = \frac{100}{64}$. Сократим дробь, разделив числитель и знаменатель на 4: $\frac{100}{64} = \frac{25}{16}$.

Переведем полученную дробь в десятичную: $25 \div 16 = 1,5625$.

Ответ: $1,5625$.

г) В выражении $(-0,5)^{-5}$ в степень возводится отрицательное число $(-0,5)$, а показатель степени нечетный $(-5)$. Представим основание в виде обыкновенной дроби: $-0,5 = -\frac{1}{2}$.

$(-0,5)^{-5} = \left(-\frac{1}{2}\right)^{-5}$.

Применяем правило для отрицательной степени:

$\left(-\frac{2}{1}\right)^5 = (-2)^5$.

При возведении отрицательного числа в нечетную степень результат будет отрицательным:

$(-2)^5 = (-2) \cdot (-2) \cdot (-2) \cdot (-2) \cdot (-2) = -32$.

Ответ: $-32$.

д) Выражение $-(-2)^{-3}$ имеет знак "минус" перед скобкой. Выполняем действия по порядку: сначала возведение в степень, затем умножение на $-1$.

1. Вычислим значение в скобках: $(-2)^{-3} = \frac{1}{(-2)^3}$.

2. Так как степень нечетная, результат в знаменателе будет отрицательным: $\frac{1}{-8} = -\frac{1}{8}$.

3. Теперь подставим это значение в исходное выражение: $-(-2)^{-3} = -\left(-\frac{1}{8}\right) = \frac{1}{8}$.

Переведем в десятичную дробь: $\frac{1}{8} = 0,125$.

Ответ: $0,125$.

е) Выражение $-(-3)^{-2}$ вычисляется аналогично предыдущему.

1. Вычислим значение в скобках: $(-3)^{-2} = \frac{1}{(-3)^2}$.

2. Так как степень четная, результат в знаменателе будет положительным: $\frac{1}{9}$.

3. Теперь подставим это значение в исходное выражение: $-(-3)^{-2} = -\left(\frac{1}{9}\right) = -\frac{1}{9}$.

В данном случае результат является бесконечной периодической десятичной дробью, поэтому его лучше оставить в виде обыкновенной дроби.

Ответ: $-\frac{1}{9}$.

1178. Вычислите:

a) ${\left(-4\right)}^{-3}=\frac{1}{{\left(-4\right)}^3}=\frac{1}{-64}=-\frac{1}{64}$

б) $2,5^{-1}=\frac{1}{2,5}=\frac{10}{25}=\frac{2}{5}=0,42,5^\{-1\}=\backslash frac\{1\}\{2,5\}=\backslash frac\{10\}\{25\}=\backslash frac\{2\}\{5\}=0,4$

в) ${\left(-\frac{3}{4}\right)}^{-2}=\frac{1}{{\left(-{\displaystyle \frac{3}{4}}\right)}^2}=\frac{1}{{\displaystyle \frac{9}{16}}}=\frac{16}{9}=1\frac{7}{9}$

г) ${\left(1\frac{1}{3}\right)}^{-3}=\frac{1}{{\left(1{\displaystyle \frac{1}{3}}\right)}^3}=\frac{1}{{\left({\displaystyle \frac{4}{3}}\right)}^3}=\frac{1}{{\displaystyle \frac{64}{27}}}=\frac{27}{64}$

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{д) }}-0,4^{-4}=-\frac{1}{0,4^4}=-\frac{1}{0,0256}=-\frac{10000}{256}= \\ =-\frac{625}{16}=-39\frac{1}{16} \end{gathered}$$

e) $-{\left(2\frac{1}{2}\right)}^{-2}=-{\left(\frac{5}{2}\right)}^{-2}=-\frac{1}{{\left({\displaystyle \frac{5}{2}}\right)}^2}=-\frac{1}{{\displaystyle \frac{25}{4}}}=-\frac{4}{25}$

а) Для вычисления $ (-4)^{-3} $ используется свойство степени с отрицательным показателем $ a^{-n} = \frac{1}{a^n} $. Применяя это правило, получаем: $ (-4)^{-3} = \frac{1}{(-4)^3} $. Так как $ (-4)^3 = (-4) \cdot (-4) \cdot (-4) = -64 $, то итоговый результат равен $ \frac{1}{-64} = -\frac{1}{64} $.

Ответ: $ -\frac{1}{64} $.

б) Для вычисления $ 2,5^{-1} $ используется свойство $ a^{-1} = \frac{1}{a} $. Таким образом, $ 2,5^{-1} = \frac{1}{2,5} $. Чтобы преобразовать выражение, можно представить $ 2,5 $ как обыкновенную дробь $ \frac{5}{2} $, тогда $ \frac{1}{2,5} = \frac{1}{5/2} = \frac{2}{5} $. Другой способ — избавиться от десятичной дроби в знаменателе, умножив числитель и знаменатель на 10: $ \frac{1 \cdot 10}{2,5 \cdot 10} = \frac{10}{25} $, что после сокращения на 5 дает $ \frac{2}{5} $.

Ответ: $ \frac{2}{5} $.

в) Для вычисления $ (-\frac{3}{4})^{-2} $ используется свойство $ (\frac{a}{b})^{-n} = (\frac{b}{a})^n $. Согласно этому свойству, мы переворачиваем дробь и меняем знак показателя на положительный: $ (-\frac{3}{4})^{-2} = (-\frac{4}{3})^{2} $. При возведении отрицательного числа в четную степень (в данном случае в квадрат) результат становится положительным: $ (-\frac{4}{3})^{2} = \frac{(-4)^2}{3^2} = \frac{16}{9} $.

Ответ: $ \frac{16}{9} $.

г) Для вычисления $ (1\frac{1}{3})^{-3} $ сначала необходимо преобразовать смешанное число в неправильную дробь: $ 1\frac{1}{3} = \frac{1 \cdot 3 + 1}{3} = \frac{4}{3} $. Теперь задача сводится к вычислению $ (\frac{4}{3})^{-3} $. Используя свойство $ (\frac{a}{b})^{-n} = (\frac{b}{a})^n $, получаем: $ (\frac{4}{3})^{-3} = (\frac{3}{4})^{3} = \frac{3^3}{4^3} = \frac{27}{64} $.

Ответ: $ \frac{27}{64} $.

д) При вычислении $ -0,4^{-4} $ важно обратить внимание, что знак минус стоит перед числом и не находится в скобках, поэтому он не является частью основания степени. Порядок действий следующий: сначала возводим $ 0,4 $ в степень $ -4 $, а затем к результату применяем знак минус. Преобразуем $ 0,4 $ в обыкновенную дробь: $ 0,4 = \frac{4}{10} = \frac{2}{5} $. Тогда $ 0,4^{-4} = (\frac{2}{5})^{-4} = (\frac{5}{2})^{4} = \frac{5^4}{2^4} = \frac{625}{16} $. Применив знак минус, получаем $ -\frac{625}{16} $.

Ответ: $ -\frac{625}{16} $.

е) Выражение $ -(2\frac{1}{2})^{-2} $ вычисляется аналогично предыдущему примеру. Знак минус не относится к основанию степени. Сначала преобразуем смешанное число в неправильную дробь: $ 2\frac{1}{2} = \frac{5}{2} $. Затем вычисляем значение степени: $ (\frac{5}{2})^{-2} = (\frac{2}{5})^{2} = \frac{2^2}{5^2} = \frac{4}{25} $. Наконец, применяем знак минус к полученному результату: $ -\frac{4}{25} $.

Ответ: $ -\frac{4}{25} $.