Номер 1176, страница 263 - гдз по алгебре 8 класс учебник Макарычев, Миндюк

47. Определение степени с целым отрицательным показателем. § 15. Степень с целым показателем и её свойства. Глава 6. Степень с целым показателем - номер 1176, страница 263.

1176. Вычислите:

a) $4^{-2}=\frac{1}{4^2}=\frac{1}{16}4^\{-2\}=\backslash frac\{1\}\{4^2\}=\backslash frac\{1\}\{16\}$

б) ${\left(-3\right)}^{-3}=\frac{1}{{\left(-3\right)}^3}=\frac{1}{-27}=-\frac{1}{27}$

в) ${\left(-1\right)}^{-9}=\frac{1}{{\left(-1\right)}^9}=-1$

г) ${\left(-1\right)}^{-20}=\frac{1}{{\left(-1\right)}^{20}}=1$

д) ${\left(\frac{1}{7}\right)}^{-2}=\frac{1}{{\left({\displaystyle \frac{1}{7}}\right)}^2}=\frac{1}{{\displaystyle \frac{1}{49}}}=49$

е) ${\left(\frac{-2}{3}\right)}^{-3}=\frac{1}{{\left({\displaystyle -\frac{2}{3}}\right)}^3}=\frac{1}{{\displaystyle -\frac{8}{27}}}=-\frac{27}{8}=-3\frac{5}{8}$

ж) ${\left(1\frac{1}{2}\right)}^{-5}={\left(\frac{3}{2}\right)}^{-5}=\frac{1}{{\left({\displaystyle \frac{3}{2}}\right)}^5}=\frac{1}{{\displaystyle \frac{243}{32}}}=\frac{32}{243}$

з) ${\left(-2\frac{2}{5}\right)}^{-2}=\frac{1}{{\left({\displaystyle -\frac{12}{5}}\right)}^2}=\frac{1}{{\displaystyle \frac{144}{25}}}=\frac{25}{144}$

и) $0,01^{-2}=\frac{1}{0,01^2}=\frac{1}{0,0001}=100000,01^\{-2\}=\backslash frac\{1\}\{0,01^2\}=\backslash frac\{1\}\{0,0001\}=10000$

к) $1,125^{-1}=\frac{1}{1,125}=\frac{1000}{1125}=\frac{8}{9}1,125^\{-1\}=\backslash frac\{1\}\{1,125\}=\backslash frac\{1000\}\{1125\}=\backslash frac\{8\}\{9\}$

а) Чтобы вычислить $4^{-2}$, используем свойство степени с отрицательным показателем $a^{-n} = \frac{1}{a^n}$. Таким образом, мы получаем: $4^{-2} = \frac{1}{4^2} = \frac{1}{16}$. Ответ: $\frac{1}{16}$

б) Применяем то же свойство для отрицательного основания: $(-3)^{-3} = \frac{1}{(-3)^3}$. Поскольку показатель степени нечетный ($3$), результат возведения отрицательного числа в степень будет отрицательным: $(-3)^3 = -27$. Следовательно, $\frac{1}{-27} = -\frac{1}{27}$. Ответ: $-\frac{1}{27}$

в) Вычисляем степень с основанием $-1$ и нечетным отрицательным показателем: $(-1)^{-9} = \frac{1}{(-1)^9}$. Так как $9$ — нечетное число, $(-1)^9 = -1$. В результате получаем $\frac{1}{-1} = -1$. Ответ: $-1$

г) Вычисляем степень с основанием $-1$ и четным отрицательным показателем: $(-1)^{-20} = \frac{1}{(-1)^{20}}$. Так как $20$ — четное число, $(-1)^{20} = 1$. В результате получаем $\frac{1}{1} = 1$. Ответ: $1$

д) Для возведения дроби в отрицательную степень используем свойство $(\frac{a}{b})^{-n} = (\frac{b}{a})^n$. $(\frac{1}{7})^{-2} = (\frac{7}{1})^2 = 7^2 = 49$. Ответ: $49$

е) Применяем свойство $(\frac{a}{b})^{-n} = (\frac{b}{a})^n$. Поскольку показатель степени нечетный, знак "минус" у основания сохраняется. $(-\frac{2}{3})^{-3} = (-\frac{3}{2})^3 = -\frac{3^3}{2^3} = -\frac{27}{8}$. Ответ: $-\frac{27}{8}$

ж) Сначала преобразуем смешанное число $1\frac{1}{2}$ в неправильную дробь: $1\frac{1}{2} = \frac{1 \cdot 2 + 1}{2} = \frac{3}{2}$. Затем возводим полученную дробь в степень: $(1\frac{1}{2})^{-5} = (\frac{3}{2})^{-5} = (\frac{2}{3})^5 = \frac{2^5}{3^5} = \frac{32}{243}$. Ответ: $\frac{32}{243}$

з) Сначала преобразуем смешанное число $-2\frac{2}{5}$ в неправильную дробь: $-2\frac{2}{5} = -(\frac{2 \cdot 5 + 2}{5}) = -\frac{12}{5}$. Возводим в степень. Так как показатель степени ($2$) четный, результат будет положительным: $(-2\frac{2}{5})^{-2} = (-\frac{12}{5})^{-2} = (-\frac{5}{12})^2 = \frac{5^2}{12^2} = \frac{25}{144}$. Ответ: $\frac{25}{144}$

и) Представим десятичную дробь $0,01$ в виде обыкновенной дроби: $0,01 = \frac{1}{100}$. Теперь возведем в степень: $0,01^{-2} = (\frac{1}{100})^{-2} = (\frac{100}{1})^2 = 100^2 = 10000$. Ответ: $10000$

к) Представим десятичную дробь $1,125$ в виде обыкновенной дроби, а затем в виде неправильной: $1,125 = 1\frac{125}{1000} = 1\frac{1}{8} = \frac{9}{8}$. Теперь возводим в степень $-1$, что эквивалентно нахождению обратного числа: $1,125^{-1} = (\frac{9}{8})^{-1} = \frac{8}{9}$. Ответ: $\frac{8}{9}$