Номер 1179, страница 264 - гдз по алгебре 8 класс учебник Макарычев, Миндюк

47. Определение степени с целым отрицательным показателем. § 15. Степень с целым показателем и её свойства. Глава 6. Степень с целым показателем - номер 1179, страница 264.

1179. Сравните с нулём значение степени:

a) $9^{-5}=\frac{1}{9^5}>09^\{-5\}=\backslash frac\{1\}\{9^5\}\; >\; 0$

б) $2,6^{-4}=\frac{1}{2,6^4}>02,6^\{-4\}=\backslash frac\{1\}\{2,6^4\}\; >\; 0$

в) ${\left(-7,1\right)}^{-6}=\frac{1}{{\left(-7,1\right)}^6}=\frac{1}{7,1^6}>0$

г) ${\left(-3,9\right)}^{-3}=\frac{1}{{\left(-3,9\right)}^3}=-\frac{1}{3,9^3}<0$

д) ${\left(-\frac{5}{6}\right)}^{-5}=\frac{1}{{\left(-{\displaystyle \frac{5}{6}}\right)}^5}=-\frac{1}{{\left({\displaystyle \frac{5}{6}}\right)}^5}<0$

е) ${\left(2\frac{3}{4}\right)}^{-2}=\frac{1}{{\left({\displaystyle 2\frac{3}{4}}\right)}^2}=\frac{1}{{\left({\displaystyle \frac{11}{4}}\right)}^2}={\left(\frac{4}{11}\right)}^2>0$

Чтобы сравнить значение степени с нулём, нужно определить знак этого значения. Знак степени $a^n$ зависит от знака основания $a$ и чётности/нечётности показателя $n$.

• Если основание $a > 0$, то $a^n > 0$ при любом показателе $n$.
• Если основание $a < 0$:
  • $a^n > 0$, если показатель $n$ — чётное целое число.
  • $a^n < 0$, если показатель $n$ — нечётное целое число.

Свойство степени с отрицательным показателем $a^{-n} = \frac{1}{a^n}$ (при $a \neq 0$) не меняет знак результата, так как знак дроби $\frac{1}{a^n}$ совпадает со знаком знаменателя $a^n$.

а)

Основание степени $9^{-5}$ равно 9, что является положительным числом ($9 > 0$). Любая степень положительного числа есть число положительное. Следовательно, $9^{-5} > 0$.
Проверка: $9^{-5} = \frac{1}{9^5}$. Так как $9^5 > 0$, то и вся дробь $\frac{1}{9^5} > 0$.
Ответ: $9^{-5} > 0$.

б)

Основание степени $2,6^{-4}$ равно 2,6, что является положительным числом ($2,6 > 0$). Любая степень положительного числа есть число положительное. Следовательно, $2,6^{-4} > 0$.
Проверка: $2,6^{-4} = \frac{1}{2,6^4}$. Так как $2,6^4 > 0$, то и вся дробь $\frac{1}{2,6^4} > 0$.
Ответ: $2,6^{-4} > 0$.

в)

Рассмотрим степень $(-7,1)^{-6}$. Основание степени равно -7,1 (отрицательное число). Показатель степени -6. Чтобы определить знак, посмотрим на степень без учёта знака "минус" в показателе, то есть на $(-7,1)^6$. Так как отрицательное число возводится в чётную степень (6 — чётное число), результат будет положительным. $(-7,1)^6 > 0$.
Так как $(-7,1)^{-6} = \frac{1}{(-7,1)^6}$ и знаменатель положителен, то и вся дробь положительна.
Ответ: $(-7,1)^{-6} > 0$.

г)

Рассмотрим степень $(-3,9)^{-3}$. Основание степени равно -3,9 (отрицательное число). Показатель степени -3. Чтобы определить знак, посмотрим на степень без учёта знака "минус" в показателе, то есть на $(-3,9)^3$. Так как отрицательное число возводится в нечётную степень (3 — нечётное число), результат будет отрицательным. $(-3,9)^3 < 0$.
Так как $(-3,9)^{-3} = \frac{1}{(-3,9)^3}$ и знаменатель отрицателен, то и вся дробь отрицательна.
Ответ: $(-3,9)^{-3} < 0$.

д)

Рассмотрим степень $(-\frac{5}{6})^{-5}$. Основание степени равно $-\frac{5}{6}$ (отрицательное число). Показатель степени -5. Чтобы определить знак, посмотрим на степень $(-\frac{5}{6})^5$. Так как отрицательное число возводится в нечётную степень (5 — нечётное число), результат будет отрицательным.
Можно также использовать свойство $(\frac{a}{b})^{-n} = (\frac{b}{a})^n$: $(-\frac{5}{6})^{-5} = (-\frac{6}{5})^5$. Отрицательное основание в нечётной степени даёт отрицательный результат.
Ответ: $(-\frac{5}{6})^{-5} < 0$.

е)

Рассмотрим степень $(2\frac{3}{4})^{-2}$. Преобразуем смешанное число в неправильную дробь: $2\frac{3}{4} = \frac{11}{4}$. Выражение примет вид $(\frac{11}{4})^{-2}$. Основание степени равно $\frac{11}{4}$ (положительное число). Любая степень положительного числа есть число положительное. Следовательно, $(\frac{11}{4})^{-2} > 0$.
Проверка: $(\frac{11}{4})^{-2} = (\frac{4}{11})^2$. Квадрат любого ненулевого числа — число положительное.
Ответ: $(2\frac{3}{4})^{-2} > 0$.