Номер 1177, страница 263 - гдз по алгебре 8 класс учебник Макарычев, Миндюк

47. Определение степени с целым отрицательным показателем. § 15. Степень с целым показателем и её свойства. Глава 6. Степень с целым показателем - номер 1177, страница 263.

1177. Найдите значение выражения:

a) $-{10}^{-4}=-\frac{1}{{10}^4}=-\frac{1}{10000}=-0,0001$

б) $-0,2^{-3}=-\frac{1}{0,2^3}=-\frac{1}{0,008}=-\frac{1000}{8}=-125$

в) $(-0,8{)}^{-2}=\frac{1}{(-0,8{)}^2}=\frac{1}{0,64}=\frac{100}{64}=\frac{25}{16}=1\frac{9}{16}$

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{г) }}(-0,5{)}^{-5}=\frac{1}{(-0,5{)}^5}=-\frac{1}{0,03125}= \\ =-\frac{100000}{3125}=-32 \end{gathered}$$

д) $-(-2{)}^{-3}=-\frac{1}{(-2{)}^3}=-\frac{1}{-8}=\frac{1}{8}$

e) $-(-3{)}^{-2}=-\frac{1}{(-3{)}^2}=-\frac{1}{9}$

а) Для нахождения значения выражения $-10^{-4}$ воспользуемся определением степени с отрицательным показателем $a^{-n} = \frac{1}{a^n}$. Важно заметить, что знак "минус" стоит перед числом, а не в скобках с ним, поэтому в степень он не возводится.

$-10^{-4} = -(10^{-4}) = -\left(\frac{1}{10^4}\right) = -\frac{1}{10 \cdot 10 \cdot 10 \cdot 10} = -\frac{1}{10000} = -0,0001$.

Ответ: $-0,0001$.

б) В выражении $-0,2^{-3}$ знак "минус" также относится ко всему выражению, а не к основанию степени. Для удобства вычислений представим десятичную дробь $0,2$ в виде обыкновенной дроби: $0,2 = \frac{2}{10} = \frac{1}{5}$.

$-0,2^{-3} = -(0,2^{-3}) = -\left(\left(\frac{1}{5}\right)^{-3}\right)$.

Чтобы возвести дробь в отрицательную степень, нужно "перевернуть" дробь и возвести в ту же степень, но с положительным знаком:

$-\left(\left(\frac{5}{1}\right)^3\right) = -(5^3) = -(5 \cdot 5 \cdot 5) = -125$.

Ответ: $-125$.

в) В выражении $(-0,8)^{-2}$ в степень возводится отрицательное число $(-0,8)$. Сначала применим правило для отрицательной степени.

$(-0,8)^{-2} = \frac{1}{(-0,8)^2}$.

При возведении отрицательного числа в четную степень (в данном случае 2) результат будет положительным:

$\frac{1}{(-0,8)^2} = \frac{1}{(-0,8) \cdot (-0,8)} = \frac{1}{0,64}$.

Для вычисления можно представить $0,64$ как $\frac{64}{100}$: $\frac{1}{\frac{64}{100}} = \frac{100}{64}$. Сократим дробь, разделив числитель и знаменатель на 4: $\frac{100}{64} = \frac{25}{16}$.

Переведем полученную дробь в десятичную: $25 \div 16 = 1,5625$.

Ответ: $1,5625$.

г) В выражении $(-0,5)^{-5}$ в степень возводится отрицательное число $(-0,5)$, а показатель степени нечетный $(-5)$. Представим основание в виде обыкновенной дроби: $-0,5 = -\frac{1}{2}$.

$(-0,5)^{-5} = \left(-\frac{1}{2}\right)^{-5}$.

Применяем правило для отрицательной степени:

$\left(-\frac{2}{1}\right)^5 = (-2)^5$.

При возведении отрицательного числа в нечетную степень результат будет отрицательным:

$(-2)^5 = (-2) \cdot (-2) \cdot (-2) \cdot (-2) \cdot (-2) = -32$.

Ответ: $-32$.

д) Выражение $-(-2)^{-3}$ имеет знак "минус" перед скобкой. Выполняем действия по порядку: сначала возведение в степень, затем умножение на $-1$.

1. Вычислим значение в скобках: $(-2)^{-3} = \frac{1}{(-2)^3}$.

2. Так как степень нечетная, результат в знаменателе будет отрицательным: $\frac{1}{-8} = -\frac{1}{8}$.

3. Теперь подставим это значение в исходное выражение: $-(-2)^{-3} = -\left(-\frac{1}{8}\right) = \frac{1}{8}$.

Переведем в десятичную дробь: $\frac{1}{8} = 0,125$.

Ответ: $0,125$.

е) Выражение $-(-3)^{-2}$ вычисляется аналогично предыдущему.

1. Вычислим значение в скобках: $(-3)^{-2} = \frac{1}{(-3)^2}$.

2. Так как степень четная, результат в знаменателе будет положительным: $\frac{1}{9}$.

3. Теперь подставим это значение в исходное выражение: $-(-3)^{-2} = -\left(\frac{1}{9}\right) = -\frac{1}{9}$.

В данном случае результат является бесконечной периодической десятичной дробью, поэтому его лучше оставить в виде обыкновенной дроби.

Ответ: $-\frac{1}{9}$.