Номер 1180, страница 264 - гдз по алгебре 8 класс учебник Макарычев, Миндюк

47. Определение степени с целым отрицательным показателем. § 15. Степень с целым показателем и её свойства. Глава 6. Степень с целым показателем - номер 1180, страница 264.

1180. Верно ли, что:

а) если a > 0 и n — целое число, то aⁿ > 0;

б) если a ‹ 0 и n — чётное отрицательное число, то aⁿ > 0;

в) если a ‹ 0 и n — нечётное отрицательное число, то aⁿ ‹ 0?

a) если а>0, n∈Z, то $a^n>0$ - верно

б) если a<0, n - четное отрицательное число, $a^n>0$ - верно

в) если a<0, n - нечётное отрицательное число, то $a^n<0$ - верно

а) если $a > 0$ и $n$ — целое число, то $a^n > 0$

Для проверки этого утверждения рассмотрим все возможные значения целого числа $n$.

1. Если $n$ — положительное целое число (натуральное), то $a^n$ представляет собой произведение $n$ положительных чисел $a$. Произведение положительных чисел всегда положительно, следовательно, $a^n > 0$.

2. Если $n = 0$, то по определению степени с нулевым показателем $a^0 = 1$ (при условии, что $a \neq 0$). Так как по условию $a > 0$, это условие выполняется. Поскольку $1 > 0$, то и $a^0 > 0$.

3. Если $n$ — отрицательное целое число, то его можно представить как $n = -m$, где $m$ — положительное целое число. Тогда по определению степени с отрицательным показателем: $a^n = a^{-m} = \frac{1}{a^m}$. Поскольку $a > 0$ и $m$ — положительное целое число, из пункта 1 мы знаем, что знаменатель $a^m > 0$. Частное от деления положительного числа (1) на другое положительное число ($a^m$) также является положительным числом. Таким образом, $a^n > 0$.

Так как утверждение верно для всех целых $n$ (положительных, отрицательных и нуля), оно является верным.

Ответ: Да, верно.

б) если $a < 0$ и $n$ — чётное отрицательное число, то $a^n > 0$

По условию $a < 0$. Число $n$ является чётным отрицательным, следовательно, его можно представить в виде $n = -2k$, где $k$ — натуральное число (например, $n = -2, -4, -6, \dots$).

Рассмотрим степень $a^n$:

$a^n = a^{-2k} = \frac{1}{a^{2k}}$

Проанализируем знаменатель дроби, $a^{2k}$. Его можно представить как $(a^2)^k$.

Поскольку $a < 0$, то $a^2$ (произведение двух одинаковых отрицательных чисел) будет положительным числом: $a^2 > 0$.

Тогда $a^{2k} = (a^2)^k$ — это положительное число ($a^2$), возведенное в натуральную степень $k$. Как мы установили в пункте а), результат такой операции всегда положителен. Значит, $a^{2k} > 0$.

Таким образом, $a^n = \frac{1}{a^{2k}}$ — это частное от деления положительного числа 1 на положительное число $a^{2k}$, что всегда дает в результате положительное число. Следовательно, $a^n > 0$.

Утверждение является верным.

Ответ: Да, верно.

в) если $a < 0$ и $n$ — нечётное отрицательное число, то $a^n < 0$

По условию $a < 0$. Число $n$ является нечётным отрицательным, следовательно, его можно представить в виде $n = -m$, где $m$ — нечётное натуральное число (например, $m = 1, 3, 5, \dots$).

Рассмотрим степень $a^n$:

$a^n = a^{-m} = \frac{1}{a^m}$

Проанализируем знаменатель дроби, $a^m$.

Поскольку $a < 0$, а $m$ — нечётное натуральное число, то $a^m$ (произведение нечётного количества отрицательных множителей $a$) будет отрицательным числом. Например, $a^1 = a < 0$; $a^3 = a \cdot a \cdot a < 0$. В общем случае, $a^m < 0$.

Таким образом, $a^n = \frac{1}{a^m}$ — это частное от деления положительного числа 1 на отрицательное число $a^m$, что всегда дает в результате отрицательное число. Следовательно, $a^n < 0$.

Утверждение является верным.

Ответ: Да, верно.