Номер 1175, страница 263 - гдз по алгебре 8 класс учебник Макарычев, Миндюк

47. Определение степени с целым отрицательным показателем. § 15. Степень с целым показателем и её свойства. Глава 6. Степень с целым показателем - номер 1175, страница 263.

1175. Представьте числа:

а) 181, 127, 19, 13, 1, 3, 9, 27, 81 в виде степени с основанием 3;

б) 100, 10, 1, 0,1, 0,01, 0,001, 0,0001 в виде степени с основанием 10.

a) $\frac{1}{81}=3^{-4}; \frac{1}{27}=3^{-3}; \frac{1}{9}=3^{-2}; \frac{1}{3}=3^{-1}$

$1=3^0; 3=3^1; 9=3^2; 27=3^3; 81=3^4$

б) $100=10^{2}100=10^\{2\}; 10=10^{1}10=10^\{1\}; 1=10^{0}1=10^\{0\}; 0,1=10^{-1}0,1=10^\{-1\}$;

$0,01=10^{-2}0,01=10^\{-2\}; 0,001=10^{-3}0,001=10^\{-3\}; 0,0001=10^{-4}0,0001=10^\{-4\}$

а) Для того чтобы представить указанные числа в виде степени с основанием 3, мы будем использовать свойство степени с целым показателем. Для положительных степеней это прямое возведение в степень, для нулевой степени любое число (кроме нуля) равно единице ($a^0 = 1$), а для отрицательных степеней используется формула $a^{-n} = \frac{1}{a^n}$.

Последовательно преобразуем каждое число:

• Число $\frac{1}{81}$. Так как $81 = 3 \times 3 \times 3 \times 3 = 3^4$, то $\frac{1}{81} = \frac{1}{3^4} = 3^{-4}$.
• Число $\frac{1}{27}$. Так как $27 = 3 \times 3 \times 3 = 3^3$, то $\frac{1}{27} = \frac{1}{3^3} = 3^{-3}$.
• Число $\frac{1}{9}$. Так как $9 = 3 \times 3 = 3^2$, то $\frac{1}{9} = \frac{1}{3^2} = 3^{-2}$.
• Число $\frac{1}{3}$. Это можно записать как $\frac{1}{3^1}$, что равно $3^{-1}$.
• Число $1$. Любое число в нулевой степени равно 1, поэтому $1 = 3^0$.
• Число $3$. Это $3$ в первой степени, то есть $3^1$.
• Число $9$. Это $3 \times 3 = 3^2$.
• Число $27$. Это $3 \times 3 \times 3 = 3^3$.
• Число $81$. Это $3 \times 3 \times 3 \times 3 = 3^4$.

Ответ: $\frac{1}{81}=3^{-4}$; $\frac{1}{27}=3^{-3}$; $\frac{1}{9}=3^{-2}$; $\frac{1}{3}=3^{-1}$; $1=3^0$; $3=3^1$; $9=3^2$; $27=3^3$; $81=3^4$.

б) Аналогичным образом представим числа в виде степени с основанием 10. Для целых чисел найдем степень 10, а десятичные дроби представим в виде обыкновенных дробей и воспользуемся свойством степени с отрицательным показателем.

Последовательно преобразуем каждое число:

• Число $100$. Это $10 \times 10 = 10^2$.
• Число $10$. Это $10$ в первой степени, то есть $10^1$.
• Число $1$. По определению, $1 = 10^0$.
• Число $0,1$. Это $\frac{1}{10} = \frac{1}{10^1} = 10^{-1}$.
• Число $0,01$. Это $\frac{1}{100} = \frac{1}{10^2} = 10^{-2}$.
• Число $0,001$. Это $\frac{1}{1000} = \frac{1}{10^3} = 10^{-3}$.
• Число $0,0001$. Это $\frac{1}{10000} = \frac{1}{10^4} = 10^{-4}$.

Ответ: $100=10^2$; $10=10^1$; $1=10^0$; $0,1=10^{-1}$; $0,01=10^{-2}$; $0,001=10^{-3}$; $0,0001=10^{-4}$.