Номер 1171, страница 260 - гдз по алгебре 8 класс учебник Макарычев, Миндюк

К параграфу 14. Дополнительные упражнения к главе V. Глава 5. Функции - номер 1171, страница 260.

1171. В одной системе координат постройте графики функций и найдите координаты их точек пересечения:

a) $y=-\frac{1}{x}y=-\backslash frac\{1\}\{x\}; y=-xy=-x$

Ответ: (-1;1) и (1;-1)

б) $y=\frac{2}{x}y=\backslash frac\{2\}\{x\}; y=x+1y=x+1$

Ответ: (1;2) и (-2;-1)

а) $y = -\frac{1}{x}$ и $y = -x$

Чтобы построить графики данных функций и найти координаты их точек пересечения, необходимо выполнить следующие шаги.

1. Построение графика функции $y = -\frac{1}{x}$
Графиком этой функции является гипербола. Так как коэффициент $k=-1$ отрицательный, ветви гиперболы расположены во второй и четвертой координатных четвертях. Оси координат ($x=0$ и $y=0$) являются асимптотами графика. Для построения найдем несколько точек, принадлежащих графику.

$x$	-2	-1	-0.5	0.5	1	2
$y$	0.5	1	2	-2	-1	-0.5

2. Построение графика функции $y = -x$
Графиком этой функции является прямая. Эта прямая проходит через начало координат и является биссектрисой второй и четвертой координатных четвертей. Для построения прямой достаточно двух точек, например, $(0, 0)$ и $(1, -1)$.

3. Нахождение координат точек пересечения
В точках пересечения значения ординат ($y$) у обоих графиков совпадают. Поэтому, чтобы найти абсциссы ($x$) точек пересечения, приравняем правые части уравнений: $-\frac{1}{x} = -x$

Умножим обе части уравнения на $-x$. Область определения функции $y = -\frac{1}{x}$ исключает $x=0$, поэтому это преобразование является равносильным. $1 = x^2$

Решениями этого уравнения являются: $x_1 = 1$ и $x_2 = -1$.

Теперь найдем соответствующие значения $y$, подставив найденные $x$ в уравнение прямой $y = -x$:
Если $x_1 = 1$, то $y_1 = -1$.
Если $x_2 = -1$, то $y_2 = -(-1) = 1$.

Таким образом, графики пересекаются в двух точках с координатами $(1, -1)$ и $(-1, 1)$.

Ответ: $(1, -1)$ и $(-1, 1)$.

б) $y = \frac{2}{x}$ и $y = x + 1$

1. Построение графика функции $y = \frac{2}{x}$
Графиком этой функции является гипербола. Так как коэффициент $k=2$ положительный, ветви гиперболы расположены в первой и третьей координатных четвертях. Оси координат являются асимптотами. Составим таблицу значений для построения.

$x$	-4	-2	-1	1	2	4
$y$	-0.5	-1	-2	2	1	0.5

2. Построение графика функции $y = x + 1$
Графиком этой функции является прямая. Для ее построения найдем две точки: Если $x = 0$, то $y = 0 + 1 = 1$. Точка $(0, 1)$. Если $x = 1$, то $y = 1 + 1 = 2$. Точка $(1, 2)$.

3. Нахождение координат точек пересечения
Приравняем правые части уравнений, чтобы найти абсциссы точек пересечения: $\frac{2}{x} = x + 1$

Умножим обе части на $x$ (при $x \neq 0$): $2 = x(x+1)$ $2 = x^2 + x$

Перенесем все члены в одну сторону, чтобы получить стандартное квадратное уравнение: $x^2 + x - 2 = 0$

Решим это уравнение с помощью дискриминанта: $D = b^2 - 4ac = 1^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-2) = 1 + 8 = 9$
$x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{-1 \pm \sqrt{9}}{2} = \frac{-1 \pm 3}{2}$
$x_1 = \frac{-1 + 3}{2} = \frac{2}{2} = 1$
$x_2 = \frac{-1 - 3}{2} = \frac{-4}{2} = -2$

Теперь найдем соответствующие значения $y$, используя уравнение прямой $y = x + 1$:
Если $x_1 = 1$, то $y_1 = 1 + 1 = 2$.
Если $x_2 = -2$, то $y_2 = -2 + 1 = -1$.

Следовательно, точки пересечения графиков имеют координаты $(1, 2)$ и $(-2, -1)$.

Ответ: $(1, 2)$ и $(-2, -1)$.