Номер 1165, страница 260 - гдз по алгебре 8 класс учебник Макарычев, Миндюк

К параграфу 14. Дополнительные упражнения к главе V. Глава 5. Функции - номер 1165, страница 260.

1165. С помощью графиков найдите приближённое значение корня уравнения x =2x.

$$\begin{gathered} \sqrt{x}=\frac{2}{x} \\ y=\sqrt{x} \text{и} y=\frac{2}{x} \end{gathered}$$

x≈1,6

Ответ: ≈1,6

Для того чтобы найти корень уравнения $\sqrt{x} = \frac{2}{x}$ графическим методом, необходимо построить графики двух функций в одной системе координат: $y = \sqrt{x}$ и $y = \frac{2}{x}$. Абсцисса (координата $x$) точки пересечения этих графиков будет являться решением уравнения.

1. Построим график функции $y = \sqrt{x}$. Это стандартная функция квадратного корня, её график — ветвь параболы, расположенная в первой координатной четверти. Область определения функции — $x \ge 0$. Построим его по точкам:

• при $x=0$, $y=0$
• при $x=1$, $y=1$
• при $x=4$, $y=2$

2. Построим график функции $y = \frac{2}{x}$. Это гипербола. Так как для функции $y=\sqrt{x}$ значения $x$ должны быть неотрицательными, а для функции $y = \frac{2}{x}$ значение $x$ не может быть равно нулю, мы ищем решение при $x > 0$. Следовательно, нас интересует только ветвь гиперболы, расположенная в первой координатной четверти. Построим её по точкам:

• при $x=0,5$, $y=4$
• при $x=1$, $y=2$
• при $x=2$, $y=1$
• при $x=4$, $y=0,5$

3. Найдём точку пересечения. Нанесём графики на координатную плоскость.

Из графика видно, что функции пересекаются в одной точке. Абсцисса этой точки находится между значениями $x=1$ и $x=2$. Визуально можно оценить, что она немного больше 1,5. Сделаем предположение, что $x \approx 1,6$.

Для проверки подставим это значение в обе части уравнения:

• Левая часть: $\sqrt{x} = \sqrt{1,6} \approx 1,265$
• Правая часть: $\frac{2}{x} = \frac{2}{1,6} = 1,25$

Значения очень близки, следовательно, приближенное значение корня найдено достаточно точно.

Ответ: $x \approx 1,6$.