Номер 1164, страница 259 - гдз по алгебре 8 класс учебник Макарычев, Миндюк

К параграфу 14. Дополнительные упражнения к главе V. Глава 5. Функции - номер 1164, страница 259.

1164. Постройте график функции и перечислите её свойства:

a) $y=\left\{\begin{array}{l}{x}^2,\text{ если }x\le 1\\ \sqrt{x},\text{ если }x>1\end{array}\right.$

D(y)=R

E(y)=[0;+∞)

y=0 при x=0

y>0 при x∈(-∞; 0)∪(0; +∞) функция убывает на промежутке (-∞;0] и возрастает на промежутке [0;+∞)

Наибольшего значения функция не имеет; наименьшее значение y=0 при x=0

б) $y=\left\{\begin{array}{l}{\left(x-1\right)}^2,\text{ если }x\le 2\\ -2x+5,\text{ если }2<x\le 3\end{array}\right.$

D(y)=(-∞; 3]

E(y)=[-1;+∞)

y=0 при x=1, x=2,5

y>0 при x∈(-∞; 1)∪(1; 2,5)

y<0 при x ∈ (2,5; 3] функция убывает при x∈(-∞;1] и [2;3]; функция возрастает при x∈[1; 2]

Наибольшего значения функция не имеет; наименьшее значение y=-1 при x=3

а)

Функция задана кусочно: $y = \begin{cases} x^2, & \text{если } x \le 1 \\ \sqrt{x}, & \text{если } x > 1 \end{cases}$.

1. Построение графика.
График функции состоит из двух частей.
- Для $x \le 1$ строим график параболы $y = x^2$. Это стандартная парабола с вершиной в точке $(0, 0)$ и ветвями, направленными вверх. Для нашей функции мы берем левую ветвь параболы и часть правой ветви до точки $(1, 1)$ включительно.
- Для $x > 1$ строим график функции $y = \sqrt{x}$. Это ветвь параболы, симметричной графику $y=x^2$ ($x \ge 0$) относительно прямой $y=x$. График начинается от точки $(1, 1)$ (не включая ее) и плавно идет вверх и вправо, проходя, например, через точку $(4, 2)$.
Проверим непрерывность в точке "стыка" $x=1$. Для $x=1$ первая формула дает $y = 1^2 = 1$. Для второй формулы предел справа $\lim_{x\to 1^+} \sqrt{x} = 1$. Так как значения совпадают, график является непрерывной линией, и обе части соединяются в точке $(1, 1)$.

2. Свойства функции.
1. Область определения: $D(y) = (-\infty; +\infty)$, так как функция определена для всех действительных чисел.
2. Область значений: $E(y) = [0; +\infty)$.
3. Нули функции: $y=0$. На первом участке $x^2=0$ при $x=0$ (условие $x \le 1$ выполнено). На втором участке $\sqrt{x}=0$ при $x=0$ (условие $x > 1$ не выполнено). Таким образом, у функции один нуль: $x=0$.
4. Промежутки знакопостоянства: $y > 0$ при $x \in (-\infty; 0) \cup (0; +\infty)$. Нет значений $x$, при которых $y < 0$.
5. Монотонность: функция убывает на промежутке $(-\infty; 0]$ и возрастает на промежутке $[0; +\infty)$.
6. Экстремумы: в точке $x=0$ убывание сменяется возрастанием, следовательно, это точка минимума. $x_{min}=0$, $y_{min}=0$.
7. Четность/нечетность: функция является функцией общего вида (ни четной, ни нечетной), так как ее график несимметричен ни относительно оси ординат, ни относительно начала координат. Например, $y(-2) = (-2)^2 = 4$, а $y(2) = \sqrt{2} \ne 4$ и $y(2) \ne -4$.
8. Непрерывность: функция непрерывна на всей своей области определения.

Ответ: График функции состоит из части параболы $y=x^2$ при $x \le 1$ и ветви графика $y=\sqrt{x}$ при $x > 1$, которые непрерывно соединяются в точке $(1,1)$. Свойства функции перечислены выше.

---

б)

Функция задана кусочно: $y = \begin{cases} (x-1)^2, & \text{если } x \le 2 \\ -2x+5, & \text{если } 2 < x \le 3 \end{cases}$.

1. Построение графика.
График функции состоит из двух частей на области определения $(-\infty; 3]$.
- Для $x \le 2$ строим график параболы $y = (x-1)^2$. Это стандартная парабола $y=x^2$, смещенная на 1 единицу вправо по оси абсцисс. Ее вершина находится в точке $(1, 0)$. Строим параболу до $x=2$. В этой точке $y=(2-1)^2=1$. Точка $(2,1)$ принадлежит этому участку графика.
- Для $2 < x \le 3$ строим отрезок прямой $y = -2x+5$. Это убывающая прямая. Найдем координаты ее концов: при $x=2$ (граничная точка, не включается) $y = -2(2)+5 = 1$. При $x=3$ (включается) $y = -2(3)+5 = -1$. Таким образом, это отрезок прямой, соединяющий точку $(2, 1)$ (выколота) и $(3, -1)$ (закрашена).
Проверим непрерывность в точке "стыка" $x=2$. Для $x=2$ первая формула дает $y = (2-1)^2 = 1$. Для второй формулы предел справа $\lim_{x\to 2^+} (-2x+5) = 1$. Значения совпадают, поэтому график является непрерывной линией, и парабола соединяется с отрезком в точке $(2, 1)$.

2. Свойства функции.
1. Область определения: $D(y) = (-\infty; 3]$.
2. Область значений: $E(y) = [-1; +\infty)$. Наименьшее значение $y=-1$ достигается при $x=3$.
3. Нули функции: $y=0$. На первом участке $(x-1)^2=0$ при $x=1$ (условие $x \le 2$ выполнено). На втором участке $-2x+5=0$ при $x=2.5$ (условие $2 < 2.5 \le 3$ выполнено). Нули функции: $x=1$ и $x=2.5$.
4. Промежутки знакопостоянства: $y > 0$ при $x \in (-\infty; 1) \cup (1; 2.5)$; $y < 0$ при $x \in (2.5; 3]$.
5. Монотонность: функция убывает на промежутках $(-\infty; 1]$ и $[2; 3]$; возрастает на промежутке $[1; 2]$.
6. Экстремумы: $x=1$ — точка локального минимума, $y_{лок.min}=0$; $x=2$ — точка локального максимума, $y_{лок.max}=1$. Также функция имеет наименьшее значение $y_{наим}=-1$ на краю области определения при $x=3$. Наибольшего значения не существует.
7. Четность/нечетность: функция общего вида, так как ее область определения $(-\infty; 3]$ несимметрична относительно начала координат.
8. Непрерывность: функция непрерывна на всей своей области определения $(-\infty; 3]$.

Ответ: График функции состоит из части параболы $y=(x-1)^2$ при $x \le 2$ и отрезка прямой $y=-2x+5$ при $2 < x \le 3$, которые непрерывно соединяются в точке $(2,1)$. Свойства функции перечислены выше.