Страница 259 - гдз по алгебре 8 класс учебник Макарычев, Миндюк

1158. Функция задана формулой у = 3,5х – 7. Задайте формулой какую-нибудь линейную функцию, график которой пересекает график первой функции:

а) в точке, расположенной в третьей координатной четверти;

б) в точке, расположенной на оси х;

в) в точке, расположенной на оси у.

y=3,5x-7

а) y=-3,5x-14

б) y=-3,5x-7

в) y=2,5x-5

Исходная функция — это линейная функция, заданная формулой $y = 3,5x - 7$. Общий вид линейной функции — $y = kx + b$, где $k$ — угловой коэффициент, а $b$ — ордината точки пересечения с осью $y$. Для нашей функции $k = 3,5$ и $b = -7$.

Чтобы графики двух линейных функций пересекались, их угловые коэффициенты должны быть различны. То есть для искомой функции $y_1 = k_1x + b_1$ должно выполняться условие $k_1 \neq 3,5$. В каждом пункте мы найдем точку, удовлетворяющую условию, а затем проведем через нее новую прямую с другим угловым коэффициентом.

а) в точке, расположенной в третьей координатной четверти;

Точка находится в третьей координатной четверти, если обе ее координаты (абсцисса $x$ и ордината $y$) отрицательны, то есть $x < 0$ и $y < 0$.

1. Найдем любую точку на графике функции $y = 3,5x - 7$, которая лежит в третьей четверти. Для этого выберем любое отрицательное значение $x$. Например, пусть $x = -2$.

2. Вычислим соответствующее значение $y$:
$y = 3,5 \cdot (-2) - 7 = -7 - 7 = -14$.

3. Мы получили точку пересечения $(-2; -14)$. Обе ее координаты отрицательны ($x=-2 < 0$, $y=-14 < 0$), значит, точка находится в третьей четверти.

4. Теперь зададим новую линейную функцию $y_1 = k_1x + b_1$, график которой также проходит через эту точку. Для этого выберем любой угловой коэффициент $k_1$, не равный $3,5$. Например, пусть $k_1 = 1$.

5. Подставим координаты точки $(-2; -14)$ и значение $k_1 = 1$ в уравнение новой функции, чтобы найти $b_1$:
$-14 = 1 \cdot (-2) + b_1$
$-14 = -2 + b_1$
$b_1 = -14 + 2 = -12$.

6. Таким образом, мы получили формулу для искомой линейной функции: $y = x - 12$.
Ответ: $y = x - 12$.

б) в точке, расположенной на оси x;

Точка лежит на оси $x$, если ее ордината $y$ равна нулю.

1. Найдем точку пересечения графика функции $y = 3,5x - 7$ с осью $x$. Для этого приравняем $y$ к нулю:
$0 = 3,5x - 7$
$3,5x = 7$
$x = \frac{7}{3,5} = 2$.

2. Точка пересечения — $(2; 0)$.

3. Зададим новую линейную функцию $y_1 = k_1x + b_1$, которая проходит через эту точку. Выберем угловой коэффициент $k_1 \neq 3,5$. Например, пусть $k_1 = -1$.

4. Подставим координаты точки $(2; 0)$ и значение $k_1 = -1$ в уравнение новой функции, чтобы найти $b_1$:
$0 = -1 \cdot 2 + b_1$
$0 = -2 + b_1$
$b_1 = 2$.

5. Таким образом, формула для искомой функции: $y = -x + 2$.
Ответ: $y = -x + 2$.

в) в точке, расположенной на оси y.

Точка лежит на оси $y$, если ее абсцисса $x$ равна нулю.

1. Найдем точку пересечения графика функции $y = 3,5x - 7$ с осью $y$. Для этого подставим $x = 0$ в уравнение:
$y = 3,5 \cdot 0 - 7 = -7$.

2. Точка пересечения — $(0; -7)$.

3. Зададим новую линейную функцию $y_1 = k_1x + b_1$, которая проходит через эту точку. Любая прямая, проходящая через точку $(0; -7)$, имеет в своем уравнении $b_1 = -7$.

4. Нам нужно лишь выбрать угловой коэффициент $k_1$, не равный $3,5$. Например, пусть $k_1 = 2$.

5. Таким образом, формула для искомой функции: $y = 2x - 7$.
Ответ: $y = 2x - 7$.

1159. Функция задана формулой у = –2х + 6. Задайте формулой функцию, график которой параллелен графику данной функции и проходит:

а) через начало координат;

б) через точку (–4; 0);

в) через точку (0; 3);

г) через точку (–2; 2).

y=-2x+6

a) y=-2x

б) y=-2x-8

в) y=-2x+3

г) y=-2x-2

Общий вид линейной функции задается формулой $y = kx + b$, где $k$ – угловой коэффициент, а $b$ – свободный член. Графики двух линейных функций параллельны, если их угловые коэффициенты $k$ равны.

Данная функция задана формулой $y = -2x + 6$. Ее угловой коэффициент $k = -2$.

Следовательно, любая функция, график которой параллелен графику данной функции, будет иметь вид $y = -2x + b$. Чтобы найти конкретную формулу для каждого случая, необходимо определить значение коэффициента $b$, используя координаты точки, через которую проходит график.

а) через начало координат;

Начало координат — это точка с координатами $(0; 0)$. Подставим эти значения ($x=0$ и $y=0$) в уравнение $y = -2x + b$:

$0 = -2 \cdot 0 + b$

$0 = 0 + b$

$b = 0$

Таким образом, искомая формула функции: $y = -2x$.

Ответ: $y = -2x$

б) через точку (–4; 0);

Подставим координаты точки $(–4; 0)$ (где $x=-4$ и $y=0$) в уравнение $y = -2x + b$:

$0 = -2 \cdot (-4) + b$

$0 = 8 + b$

$b = -8$

Таким образом, искомая формула функции: $y = -2x - 8$.

Ответ: $y = -2x - 8$

в) через точку (0; 3);

Подставим координаты точки $(0; 3)$ (где $x=0$ и $y=3$) в уравнение $y = -2x + b$:

$3 = -2 \cdot 0 + b$

$3 = 0 + b$

$b = 3$

Таким образом, искомая формула функции: $y = -2x + 3$.

Ответ: $y = -2x + 3$

г) через точку (–2; 2).

Подставим координаты точки $(–2; 2)$ (где $x=-2$ и $y=2$) в уравнение $y = -2x + b$:

$2 = -2 \cdot (-2) + b$

$2 = 4 + b$

$b = 2 - 4$

$b = -2$

Таким образом, искомая формула функции: $y = -2x - 2$.

Ответ: $y = -2x - 2$

1160. При каких значениях a функция у = (a – 2)x + 3:

а) является возрастающей;

б) является убывающей;

в) не является ни возрастающей, ни убывающей?

y=(a-2)x+3

a) a-2>0; a>2

б) a-2<0; a<2

в) a-2=0; a=2

Данная функция $y = (a - 2)x + 3$ является линейной функцией вида $y = kx + b$. Её характер монотонности (возрастание или убывание) полностью определяется знаком углового коэффициента $k$, который в данном случае равен $a - 2$.

а) является возрастающей;

Линейная функция является возрастающей, если её угловой коэффициент $k$ больше нуля. Для данной функции это условие записывается в виде неравенства:

$k = a - 2 > 0$

Решим это неравенство относительно $a$:

$a > 2$

Следовательно, функция является возрастающей при всех значениях $a$, которые больше 2.

Ответ: при $a > 2$.

б) является убывающей;

Линейная функция является убывающей, если её угловой коэффициент $k$ меньше нуля. Для данной функции это условие записывается в виде неравенства:

$k = a - 2 < 0$

Решим это неравенство относительно $a$:

$a < 2$

Следовательно, функция является убывающей при всех значениях $a$, которые меньше 2.

Ответ: при $a < 2$.

в) не является ни возрастающей, ни убывающей?

Функция не является ни возрастающей, ни убывающей в том случае, если она является постоянной (константой). Для линейной функции это означает, что её угловой коэффициент $k$ равен нулю. В этом случае график функции представляет собой горизонтальную прямую, параллельную оси абсцисс.

Приравняем угловой коэффициент к нулю:

$k = a - 2 = 0$

Решим это уравнение относительно $a$:

$a = 2$

При $a = 2$ функция принимает вид $y = (2 - 2)x + 3$, что упрощается до $y = 3$. Это постоянная функция.

Ответ: при $a = 2$.

1161. Дана функция g(x) = 1 – x. Расположите в порядке возрастания значения этой функции при:

x = 0; x = 1; x = 0,25; x = 0,09; x = 36.

$$\begin{gathered} g\left(x\right)=1-\sqrt{x} \\ x=0; g\left(0\right)=1-\sqrt{0}=1 \\ x=1; g\left(1\right)=1-\sqrt{1}=0 \\ x=0,25; g\left(0,25\right)=1-\sqrt{0,25}=1-0,5=0,5 \\ x=0,09; g\left(0,09\right)=1-\sqrt{0,09}=1-0,3=0,7 \\ x=36; g\left(36\right)=1-\sqrt{36}=1-6=-5 \end{gathered}$$

-5; 0; 0,5; 0,7; 1

Для того чтобы расположить значения функции $g(x) = 1 - \sqrt{x}$ в порядке возрастания, необходимо вычислить значение функции для каждого из заданных значений аргумента $x$.

При x = 0:
$g(0) = 1 - \sqrt{0} = 1 - 0 = 1$

При x = 1:
$g(1) = 1 - \sqrt{1} = 1 - 1 = 0$

При x = 0,25:
$g(0,25) = 1 - \sqrt{0,25} = 1 - 0,5 = 0,5$

При x = 0,09:
$g(0,09) = 1 - \sqrt{0,09} = 1 - 0,3 = 0,7$

При x = 36:
$g(36) = 1 - \sqrt{36} = 1 - 6 = -5$

Мы получили следующие значения функции: $1;\ 0;\ 0,5;\ 0,7;\ -5$.

Теперь расположим эти значения в порядке возрастания, то есть от наименьшего к наибольшему:

$-5;\ 0;\ 0,5;\ 0,7;\ 1$.

Этот упорядоченный ряд соответствует значениям функции $g(36); g(1); g(0,25); g(0,09); g(0)$.

Ответ: $-5; 0; 0,5; 0,7; 1$.

1162. Какие из прямых у = 4x – 5, у = 0,5x –2, у = –1, у = – x + 3 имеют общие точки с графиком функции у = x?

y=4x-5 проходит через І четверть

y=0,5х-2 проходит через І четверть

у=-1 - проходит через III и IV четверть

у=-x+3 проходит через І, ІІ и III четверть

Так как график функции $y=\sqrt{x}$ проходит в І четверти, то прямые y=4x-5; y=0,5x-2; y=-x+3 имеют общие точки с графиком функции $y=\sqrt{x}$

Чтобы определить, какие из данных прямых имеют общие точки с графиком функции $y = \sqrt{x}$, необходимо для каждой прямой решить систему уравнений, состоящую из уравнения этой прямой и уравнения $y = \sqrt{x}$. Наличие действительных решений у системы означает, что графики имеют общие точки. Важно помнить, что для функции $y = \sqrt{x}$ область определения $x \ge 0$, а область значений $y \ge 0$.

Приравняем правые части уравнений $y = \sqrt{x}$ и $y = 4x - 5$: $$ \sqrt{x} = 4x - 5 $$ Поскольку $\sqrt{x} \ge 0$, должно выполняться условие $4x - 5 \ge 0$, откуда $4x \ge 5$, то есть $x \ge \frac{5}{4}$. Возведем обе части уравнения в квадрат: $$ (\sqrt{x})^2 = (4x - 5)^2 $$ $$ x = 16x^2 - 40x + 25 $$ $$ 16x^2 - 41x + 25 = 0 $$ Это квадратное уравнение. Найдем его корни через дискриминант. $D = b^2 - 4ac = (-41)^2 - 4 \cdot 16 \cdot 25 = 1681 - 1600 = 81 = 9^2$. Корни уравнения: $x_1 = \frac{-(-41) - \sqrt{81}}{2 \cdot 16} = \frac{41 - 9}{32} = \frac{32}{32} = 1$. $x_2 = \frac{-(-41) + \sqrt{81}}{2 \cdot 16} = \frac{41 + 9}{32} = \frac{50}{32} = \frac{25}{16}$. Проверим, удовлетворяют ли найденные корни условию $x \ge \frac{5}{4}$. Для $x_1 = 1$: $1 < \frac{5}{4}$ (или $1 < 1.25$), следовательно, этот корень является посторонним. Для $x_2 = \frac{25}{16}$: $\frac{25}{16} = 1.5625$, что больше $\frac{5}{4} = 1.25$. Условие $x \ge \frac{5}{4}$ выполняется. Так как существует один действительный корень, удовлетворяющий условиям, прямая и график функции имеют одну общую точку.

Ответ: Прямая $y=4x-5$ имеет общие точки с графиком функции $y=\sqrt{x}$.

Приравняем правые части уравнений: $$ \sqrt{x} = 0{,}5x - 2 $$ Из условия $\sqrt{x} \ge 0$ следует, что $0{,}5x - 2 \ge 0$, откуда $0{,}5x \ge 2$, то есть $x \ge 4$. Возведем обе части уравнения в квадрат: $$ x = (0{,}5x - 2)^2 $$ $$ x = 0{,}25x^2 - 2x + 4 $$ $$ 0{,}25x^2 - 3x + 4 = 0 $$ Умножим все уравнение на 4, чтобы избавиться от десятичной дроби: $$ x^2 - 12x + 16 = 0 $$ Найдем корни с помощью дискриминанта: $D = (-12)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 16 = 144 - 64 = 80$. $x = \frac{12 \pm \sqrt{80}}{2} = \frac{12 \pm 4\sqrt{5}}{2} = 6 \pm 2\sqrt{5}$. Имеем два корня: $x_1 = 6 + 2\sqrt{5}$ и $x_2 = 6 - 2\sqrt{5}$. Проверим корни на соответствие условию $x \ge 4$. Для $x_1 = 6 + 2\sqrt{5}$: так как $2\sqrt{5} > 0$, то $6 + 2\sqrt{5} > 6$, следовательно, $x_1 > 4$. Этот корень подходит. Для $x_2 = 6 - 2\sqrt{5}$: так как $\sqrt{5} \approx 2.236$, то $2\sqrt{5} \approx 4.472$. Тогда $x_2 \approx 6 - 4.472 = 1.528$. Это значение меньше 4, поэтому корень $x_2$ является посторонним. Система имеет одно решение, значит, графики имеют одну общую точку.

Ответ: Прямая $y=0,5x-2$ имеет общие точки с графиком функции $y=\sqrt{x}$.

Рассмотрим уравнение, которое получится при приравнивании функций: $$ \sqrt{x} = -1 $$ По определению арифметического квадратного корня, его значение не может быть отрицательным, то есть $\sqrt{x} \ge 0$ для всех допустимых значений $x$. Следовательно, уравнение $\sqrt{x} = -1$ не имеет решений. Это означает, что прямая $y = -1$ не имеет общих точек с графиком функции $y = \sqrt{x}$.

Ответ: Прямая $y=-1$ не имеет общих точек с графиком функции $y=\sqrt{x}$.

Приравняем правые части уравнений: $$ \sqrt{x} = -x + 3 $$ Для существования решения должны выполняться условия: $x \ge 0$ (из области определения $\sqrt{x}$) и $-x + 3 \ge 0$ (так как $\sqrt{x}$ неотрицателен), что дает $x \le 3$. Объединяя эти условия, получаем $0 \le x \le 3$. Возведем обе части уравнения в квадрат: $$ x = (-x + 3)^2 $$ $$ x = x^2 - 6x + 9 $$ $$ x^2 - 7x + 9 = 0 $$ Найдем корни через дискриминант: $D = (-7)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 9 = 49 - 36 = 13$. $x = \frac{7 \pm \sqrt{13}}{2}$. Получаем два корня: $x_1 = \frac{7 + \sqrt{13}}{2}$ и $x_2 = \frac{7 - \sqrt{13}}{2}$. Проверим корни на соответствие условию $0 \le x \le 3$. Для $x_1 = \frac{7 + \sqrt{13}}{2}$: зная, что $3 < \sqrt{13} < 4$, имеем $x_1 > \frac{7+3}{2} = 5$. Так как $5 > 3$, этот корень не удовлетворяет условию и является посторонним. Для $x_2 = \frac{7 - \sqrt{13}}{2}$: зная, что $3 < \sqrt{13} < 4$, имеем $\frac{7-4}{2} < x_2 < \frac{7-3}{2}$, то есть $1.5 < x_2 < 2$. Это значение находится в интервале $[0, 3]$, следовательно, корень подходит. Система имеет одно решение, значит, графики имеют одну общую точку.

Ответ: Прямая $y=-x+3$ имеет общие точки с графиком функции $y=\sqrt{x}$.

1163. Постройте график функции y =4x + 34x² + 3x. Определите, при каких значениях k прямая y = kx имеет с графиком ровно одну общую точку.

$$\begin{gathered} y=\frac{4x+3}{4x^2+3x} \\ 4x^2+3x\ne 0 \\ x\left(4x+3\right)\ne 0 \\ \begin{array}{ll}x\ne 0 \text{и}& 4x+3\ne 0\\ & 4x\ne -3 \\ x\ne -\frac{3}{4}\end{array} \\ \frac{4x+3}{4x^2+3x}=\frac{4x+3}{x\left(4x+3\right)}=\frac{1}{x}; y=\frac{1}{x} \end{gathered}$$

Если $k\le 0k\; \backslash leq\; 0$, то прямая $y=kxy=kx$ с графиком не имеет общих точек.

Если $k>0k>0$, то прямая $y=kxy=kx$ с графиком функции имеет две общие точки, но, если прямая $y=kxy=kx$ проходит через точку $x=-\frac{3}{4}; y=\frac{1}{-{\displaystyle \frac{3}{4}}}=-\frac{4}{3}=-1\frac{1}{3}$
$\left(-\frac{3}{4}; -1\frac{1}{3}\right)$, то прямая будет иметь одну общую точку: $k·\left(-\frac{3}{4}\right)=-1\frac{1}{3};$$k=-\frac{4}{3}:\left(-\frac{3}{4}\right)=\frac{4}{3}·\frac{4}{3}=\frac{16}{9}=1\frac{7}{9}$

Ответ: при $k=1\frac{7}{9}k=1\backslash frac\{7\}\{9\}$

Построение графика функции

Рассмотрим функцию $y = \frac{4x + 3}{4x^2 + 3x}$.
Найдем область определения функции. Знаменатель дроби не должен быть равен нулю:
$4x^2 + 3x \neq 0$
$x(4x + 3) \neq 0$
Это означает, что $x \neq 0$ и $4x + 3 \neq 0$, то есть $x \neq -\frac{3}{4}$.
Область определения функции: $D(y) = (-\infty; -\frac{3}{4}) \cup (-\frac{3}{4}; 0) \cup (0; +\infty)$.
Теперь упростим выражение для функции при $x \in D(y)$:
$y = \frac{4x + 3}{x(4x + 3)} = \frac{1}{x}$.
Таким образом, график исходной функции совпадает с графиком функции $y = \frac{1}{x}$ во всех точках, кроме точки, где $x = -\frac{3}{4}$.
График функции $y = \frac{1}{x}$ — это гипербола, ветви которой расположены в первой и третьей координатных четвертях. Асимптотами являются оси координат: $x=0$ (ось Oy) и $y=0$ (ось Ox).
Поскольку исходная функция не определена в точке $x = -\frac{3}{4}$, на графике гиперболы $y = \frac{1}{x}$ будет "выколотая" точка. Найдем ее координаты:
$x = -\frac{3}{4}$
$y = \frac{1}{-3/4} = -\frac{4}{3}$
Следовательно, точка с координатами $(-\frac{3}{4}; -\frac{4}{3})$ не принадлежит графику исходной функции.

Ответ: График функции $y = \frac{4x + 3}{4x^2 + 3x}$ является гиперболой $y = \frac{1}{x}$ с выколотой точкой $(-\frac{3}{4}; -\frac{4}{3})$.

Определение значений k

Прямая $y = kx$ представляет собой семейство прямых, проходящих через начало координат $(0; 0)$. Нам нужно найти такие значения параметра $k$, при которых эта прямая имеет с построенным графиком ровно одну общую точку.
Рассмотрим возможные случаи пересечения прямой $y=kx$ с графиком $y = \frac{1}{x}$ (с выколотой точкой):
1. Если $k < 0$, прямая $y=kx$ проходит через вторую и четвертую координатные четверти. График функции $y=1/x$ расположен в первой и третьей четвертях. В этом случае общих точек нет.
2. Если $k = 0$, прямая $y=0$ (ось Ox) является горизонтальной асимптотой для гиперболы и не пересекает ее. Общих точек нет.
3. Если $k > 0$, прямая $y=kx$ проходит через первую и третью координатные четверти и пересекает каждую ветвь гиперболы $y=1/x$ в одной точке. Таким образом, обычно имеется две точки пересечения.
Единственная общая точка может быть только в том случае, если одна из двух точек пересечения прямой $y=kx$ с гиперболой $y=1/x$ совпадает с выколотой точкой $(-\frac{3}{4}; -\frac{4}{3})$. В этом случае прямая пройдет через "дырку" в графике, а вторая точка пересечения останется, что и даст ровно одну общую точку.
Найдем значение $k$, при котором прямая $y=kx$ проходит через точку $(-\frac{3}{4}; -\frac{4}{3})$. Для этого подставим координаты точки в уравнение прямой:
$-\frac{4}{3} = k \cdot (-\frac{3}{4})$
$k = \frac{-4/3}{-3/4} = \frac{4}{3} \cdot \frac{4}{3} = \frac{16}{9}$.
При $k=\frac{16}{9}$ прямая $y=\frac{16}{9}x$ проходит через выколотую точку и пересекает график в одной другой точке. Таким образом, при этом значении $k$ прямая и график функции имеют ровно одну общую точку.

Ответ: $k = \frac{16}{9}$.

1164. Постройте график функции и перечислите её свойства:

a) $y=\left\{\begin{array}{l}{x}^2,\text{ если }x\le 1\\ \sqrt{x},\text{ если }x>1\end{array}\right.$

D(y)=R

E(y)=[0;+∞)

y=0 при x=0

y>0 при x∈(-∞; 0)∪(0; +∞) функция убывает на промежутке (-∞;0] и возрастает на промежутке [0;+∞)

Наибольшего значения функция не имеет; наименьшее значение y=0 при x=0

б) $y=\left\{\begin{array}{l}{\left(x-1\right)}^2,\text{ если }x\le 2\\ -2x+5,\text{ если }2<x\le 3\end{array}\right.$

D(y)=(-∞; 3]

E(y)=[-1;+∞)

y=0 при x=1, x=2,5

y>0 при x∈(-∞; 1)∪(1; 2,5)

y<0 при x ∈ (2,5; 3] функция убывает при x∈(-∞;1] и [2;3]; функция возрастает при x∈[1; 2]

Наибольшего значения функция не имеет; наименьшее значение y=-1 при x=3

а)

Функция задана кусочно: $y = \begin{cases} x^2, & \text{если } x \le 1 \\ \sqrt{x}, & \text{если } x > 1 \end{cases}$.

1. Построение графика.
График функции состоит из двух частей.
- Для $x \le 1$ строим график параболы $y = x^2$. Это стандартная парабола с вершиной в точке $(0, 0)$ и ветвями, направленными вверх. Для нашей функции мы берем левую ветвь параболы и часть правой ветви до точки $(1, 1)$ включительно.
- Для $x > 1$ строим график функции $y = \sqrt{x}$. Это ветвь параболы, симметричной графику $y=x^2$ ($x \ge 0$) относительно прямой $y=x$. График начинается от точки $(1, 1)$ (не включая ее) и плавно идет вверх и вправо, проходя, например, через точку $(4, 2)$.
Проверим непрерывность в точке "стыка" $x=1$. Для $x=1$ первая формула дает $y = 1^2 = 1$. Для второй формулы предел справа $\lim_{x\to 1^+} \sqrt{x} = 1$. Так как значения совпадают, график является непрерывной линией, и обе части соединяются в точке $(1, 1)$.

2. Свойства функции.
1. Область определения: $D(y) = (-\infty; +\infty)$, так как функция определена для всех действительных чисел.
2. Область значений: $E(y) = [0; +\infty)$.
3. Нули функции: $y=0$. На первом участке $x^2=0$ при $x=0$ (условие $x \le 1$ выполнено). На втором участке $\sqrt{x}=0$ при $x=0$ (условие $x > 1$ не выполнено). Таким образом, у функции один нуль: $x=0$.
4. Промежутки знакопостоянства: $y > 0$ при $x \in (-\infty; 0) \cup (0; +\infty)$. Нет значений $x$, при которых $y < 0$.
5. Монотонность: функция убывает на промежутке $(-\infty; 0]$ и возрастает на промежутке $[0; +\infty)$.
6. Экстремумы: в точке $x=0$ убывание сменяется возрастанием, следовательно, это точка минимума. $x_{min}=0$, $y_{min}=0$.
7. Четность/нечетность: функция является функцией общего вида (ни четной, ни нечетной), так как ее график несимметричен ни относительно оси ординат, ни относительно начала координат. Например, $y(-2) = (-2)^2 = 4$, а $y(2) = \sqrt{2} \ne 4$ и $y(2) \ne -4$.
8. Непрерывность: функция непрерывна на всей своей области определения.

Ответ: График функции состоит из части параболы $y=x^2$ при $x \le 1$ и ветви графика $y=\sqrt{x}$ при $x > 1$, которые непрерывно соединяются в точке $(1,1)$. Свойства функции перечислены выше.

б)

Функция задана кусочно: $y = \begin{cases} (x-1)^2, & \text{если } x \le 2 \\ -2x+5, & \text{если } 2 < x \le 3 \end{cases}$.

1. Построение графика.
График функции состоит из двух частей на области определения $(-\infty; 3]$.
- Для $x \le 2$ строим график параболы $y = (x-1)^2$. Это стандартная парабола $y=x^2$, смещенная на 1 единицу вправо по оси абсцисс. Ее вершина находится в точке $(1, 0)$. Строим параболу до $x=2$. В этой точке $y=(2-1)^2=1$. Точка $(2,1)$ принадлежит этому участку графика.
- Для $2 < x \le 3$ строим отрезок прямой $y = -2x+5$. Это убывающая прямая. Найдем координаты ее концов: при $x=2$ (граничная точка, не включается) $y = -2(2)+5 = 1$. При $x=3$ (включается) $y = -2(3)+5 = -1$. Таким образом, это отрезок прямой, соединяющий точку $(2, 1)$ (выколота) и $(3, -1)$ (закрашена).
Проверим непрерывность в точке "стыка" $x=2$. Для $x=2$ первая формула дает $y = (2-1)^2 = 1$. Для второй формулы предел справа $\lim_{x\to 2^+} (-2x+5) = 1$. Значения совпадают, поэтому график является непрерывной линией, и парабола соединяется с отрезком в точке $(2, 1)$.

2. Свойства функции.
1. Область определения: $D(y) = (-\infty; 3]$.
2. Область значений: $E(y) = [-1; +\infty)$. Наименьшее значение $y=-1$ достигается при $x=3$.
3. Нули функции: $y=0$. На первом участке $(x-1)^2=0$ при $x=1$ (условие $x \le 2$ выполнено). На втором участке $-2x+5=0$ при $x=2.5$ (условие $2 < 2.5 \le 3$ выполнено). Нули функции: $x=1$ и $x=2.5$.
4. Промежутки знакопостоянства: $y > 0$ при $x \in (-\infty; 1) \cup (1; 2.5)$; $y < 0$ при $x \in (2.5; 3]$.
5. Монотонность: функция убывает на промежутках $(-\infty; 1]$ и $[2; 3]$; возрастает на промежутке $[1; 2]$.
6. Экстремумы: $x=1$ — точка локального минимума, $y_{лок.min}=0$; $x=2$ — точка локального максимума, $y_{лок.max}=1$. Также функция имеет наименьшее значение $y_{наим}=-1$ на краю области определения при $x=3$. Наибольшего значения не существует.
7. Четность/нечетность: функция общего вида, так как ее область определения $(-\infty; 3]$ несимметрична относительно начала координат.
8. Непрерывность: функция непрерывна на всей своей области определения $(-\infty; 3]$.

Ответ: График функции состоит из части параболы $y=(x-1)^2$ при $x \le 2$ и отрезка прямой $y=-2x+5$ при $2 < x \le 3$, которые непрерывно соединяются в точке $(2,1)$. Свойства функции перечислены выше.