Страница 253 - гдз по алгебре 8 класс учебник Макарычев, Миндюк

1126. На рисунке 72 изображён график функции y = f (x).

Какие из следующих утверждений являются верными? В ответе запишите их номера.

1) Функция является убывающей.

2) x = 3 — нуль функции.

3) На промежутке (0; 3) функция принимает положительные значения.

4) f (–3) + f (2) > 0.

Ответ: 1), 2), 3)

Для того чтобы определить, какие из утверждений являются верными, проанализируем каждое из них на основе данного графика функции $y = f(x)$.

1) Функция является убывающей.

Функция называется убывающей на всей области определения, если для любых двух значений аргумента $x_1$ и $x_2$ из этой области, таких что $x_1 < x_2$, выполняется неравенство $f(x_1) > f(x_2)$. Возьмем две точки из области определения: $x_1 = -1$ и $x_2 = 1$. Очевидно, что $x_1 < x_2$. По графику находим значения функции: $f(-1)$ — отрицательное число (соответствующая точка находится в III координатной четверти), а $f(1)$ — положительное число (соответствующая точка находится в I координатной четверти). Таким образом, мы имеем $f(-1) < f(1)$. Это противоречит определению убывающей функции. Следовательно, утверждение неверно.

2) x = 3 - нуль функции.

Нуль функции — это значение аргумента $x$, при котором значение функции равно нулю, то есть $f(x) = 0$. Геометрически это точка пересечения графика функции с осью абсцисс ($Ox$). На представленном графике кривая не пересекает ось $Ox$, а лишь асимптотически приближается к ней. При $x = 3$ значение функции $f(3)$ отлично от нуля и является положительным, так как точка на графике с этой абсциссой находится выше оси $Ox$. Следовательно, утверждение неверно.

3) На промежутке (0; 3) функция принимает положительные значения.

Рассмотрим часть графика, где абсцисса $x$ принадлежит интервалу $(0; 3)$. Вся эта часть графика расположена выше оси $Ox$. Это означает, что для любого значения $x$ из этого интервала соответствующее значение функции $y = f(x)$ будет положительным. Следовательно, утверждение верно.

4) f(-3) + f(2) > 0.

Найдем значения функции в точках $x = -3$ и $x = 2$ по графику. При $x = 2$ точка на графике имеет координаты $(2, 1)$, из чего следует, что $f(2) = 1$. При $x = -3$ соответствующая точка графика находится ниже оси $Ox$, то есть $f(-3)$ — отрицательное число. Из графика видно, что эта точка лежит выше горизонтальной линии $y = -1$, значит, $-1 < f(-3) < 0$. Теперь вычислим сумму: $f(-3) + f(2) = f(-3) + 1$. Так как $-1 < f(-3) < 0$, мы можем прибавить $1$ ко всем частям этого двойного неравенства: $-1 + 1 < f(-3) + 1 < 0 + 1$ $0 < f(-3) + f(2) < 1$ Это означает, что сумма $f(-3) + f(2)$ является положительным числом. Следовательно, утверждение верно.

Верными являются утверждения 3 и 4.
Ответ: 34