Страница 250 - гдз по алгебре 8 класс учебник Макарычев, Миндюк

1114. Постройте график функции и перечислите её свойства:

а) y = 1,5x – 3;

б) y = –0,6x + 5.

a) y=1,5x-3

1. D(y)=R

2. E(y)=R

3. y=0 при х=2

4. y<0 при x∈(-∞; 2)

y>0 при х∈(2;+∞)

5. Т.к. k=1,5>0, то функция возрастает

б) y=-0,6x+5

1. D(y)=R

2. E(y)=R

3. y=0 при$x=8\frac{1}{3}$

4. y<0 при x∈($8\frac{1}{3}$;+∞)

y>0 при x∈(-∞; $8\frac{1}{3}$)

5. Т.к. k=-0,6<0, то функция убывает

а) $y = 1.5x - 3$

Данная функция является линейной, её график — прямая. Для построения прямой достаточно найти координаты двух любых её точек.

1. Найдём точку пересечения с осью ординат (Оу). Для этого примем $x=0$:
$y = 1.5 \cdot 0 - 3 = -3$.
Получили точку $(0; -3)$.

2. Найдём точку пересечения с осью абсцисс (Ох), или ноль функции. Для этого примем $y=0$:
$0 = 1.5x - 3$
$1.5x = 3$
$x = 3 / 1.5 = 2$.
Получили точку $(2; 0)$.

Отметив на координатной плоскости точки $(0; -3)$ и $(2; 0)$ и проведя через них прямую, мы получим график функции $y = 1.5x - 3$.

Свойства функции:

1. Область определения: $D(y) = (-\infty; +\infty)$ (все действительные числа).

2. Область значений: $E(y) = (-\infty; +\infty)$ (все действительные числа).

3. Монотонность: функция является возрастающей на всей области определения, так как угловой коэффициент $k = 1.5 > 0$.

4. Нули функции: $y=0$ при $x=2$.

5. Промежутки знакопостоянства: функция принимает положительные значения ($y>0$) при $x \in (2; +\infty)$ и отрицательные значения ($y<0$) при $x \in (-\infty; 2)$.

6. Пересечение с осями координат: с осью ОХ в точке $(2; 0)$ и с осью ОУ в точке $(0; -3)$.

7. Функция является функцией общего вида (не является ни чётной, ни нечётной).

Ответ: График функции $y=1.5x-3$ — прямая, проходящая через точки $(0; -3)$ и $(2; 0)$. Функция возрастающая, область определения и значений — все действительные числа, ноль функции при $x=2$, пересекает оси в точках $(2; 0)$ и $(0; -3)$.

б) $y = -0.6x + 5$

Данная функция является линейной, её график — прямая. Для построения прямой найдем координаты двух точек.

1. Найдём точку пересечения с осью ординат (Оу). Для этого примем $x=0$:
$y = -0.6 \cdot 0 + 5 = 5$.
Получили точку $(0; 5)$.

2. Найдём точку пересечения с осью абсцисс (Ох), или ноль функции. Для этого примем $y=0$:
$0 = -0.6x + 5$
$0.6x = 5$
$x = 5 / 0.6 = 5 / (3/5) = 25/3 \approx 8.33$.
Получили точку $(25/3; 0)$.

Отметив на координатной плоскости точки $(0; 5)$ и $(25/3; 0)$ и проведя через них прямую, мы получим график функции $y = -0.6x + 5$.

Свойства функции:

1. Область определения: $D(y) = (-\infty; +\infty)$ (все действительные числа).

2. Область значений: $E(y) = (-\infty; +\infty)$ (все действительные числа).

3. Монотонность: функция является убывающей на всей области определения, так как угловой коэффициент $k = -0.6 < 0$.

4. Нули функции: $y=0$ при $x=25/3$.

5. Промежутки знакопостоянства: функция принимает положительные значения ($y>0$) при $x \in (-\infty; 25/3)$ и отрицательные значения ($y<0$) при $x \in (25/3; +\infty)$.

6. Пересечение с осями координат: с осью ОХ в точке $(25/3; 0)$ и с осью ОУ в точке $(0; 5)$.

7. Функция является функцией общего вида (не является ни чётной, ни нечётной).

Ответ: График функции $y=-0.6x+5$ — прямая, проходящая через точки $(0; 5)$ и $(25/3; 0)$. Функция убывающая, область определения и значений — все действительные числа, ноль функции при $x=25/3$, пересекает оси в точках $(25/3; 0)$ и $(0; 5)$.

1115. Постройте график функции: а) y = 1,6x; б) y = –0,4x. Перечислите свойства функции y = kx при k > 0 и при k ‹ 0.

a) y=1,6x

1. D(y)=R

2. E(y)=R

3. у=0 при х=0

4. у<0 при x∈(-∞;0)

у>0 при x∈(0;+∞)

5. Т.к. k>0, то функция возрастает

б) y=-0,4x

1. D(y)=R,

2. E(y)=R

3. у=0 при x=0

4. у<0 при x∈(0;+∞)

у>0 при x∈(-∞;0)

5. Т.к. k<0, то функция убывает

а)

Чтобы построить график функции $y = 1,6x$, нужно найти координаты двух точек, так как график этой функции — прямая линия.
1. Функция вида $y = kx$ всегда проходит через начало координат. Следовательно, первая точка — (0; 0).
2. Для нахождения второй точки выберем произвольное значение $x$. Для удобства расчетов возьмем $x = 5$.
Тогда $y = 1,6 \cdot 5 = 8$.
Таким образом, вторая точка имеет координаты (5; 8).
Соединив точки (0; 0) и (5; 8) прямой линией, мы получим искомый график.

Ответ: График функции $y=1,6x$ — это прямая, проходящая через точки с координатами (0; 0) и (5; 8).

б)

График функции $y = -0,4x$ также является прямой линией, проходящей через начало координат (0; 0).
1. Первая точка — (0; 0).
2. Для нахождения второй точки выберем произвольное значение $x$. Например, пусть $x = 5$.
Тогда $y = -0,4 \cdot 5 = -2$.
Таким образом, вторая точка имеет координаты (5; -2).
Проведя прямую через точки (0; 0) и (5; -2), мы получим график функции $y = -0,4x$.

Ответ: График функции $y=-0,4x$ — это прямая, проходящая через точки с координатами (0; 0) и (5; -2).

Свойства функции $y = kx$

Функция $y = kx$ (прямая пропорциональность) обладает следующими свойствами, которые зависят от знака коэффициента $k$.

При $k > 0$:

• Область определения: множество всех действительных чисел, $D(y) = (-\infty; +\infty)$.
• Область значений: множество всех действительных чисел, $E(y) = (-\infty; +\infty)$.
• График: прямая, проходящая через начало координат.
• Расположение графика: I и III координатные четверти.
• Монотонность: функция является строго возрастающей на всей области определения.
• Нули функции: $y = 0$ при $x = 0$.
• Знакопостоянство: $y > 0$ при $x > 0$; $y < 0$ при $x < 0$.
• Четность: функция является нечетной ($y(-x) = k(-x) = -kx = -y(x)$), её график симметричен относительно начала координат.

При $k < 0$:

• Область определения: множество всех действительных чисел, $D(y) = (-\infty; +\infty)$.
• Область значений: множество всех действительных чисел, $E(y) = (-\infty; +\infty)$.
• График: прямая, проходящая через начало координат.
• Расположение графика: II и IV координатные четверти.
• Монотонность: функция является строго убывающей на всей области определения.
• Нули функции: $y = 0$ при $x = 0$.
• Знакопостоянство: $y > 0$ при $x < 0$; $y < 0$ при $x > 0$.
• Четность: функция является нечетной ($y(-x) = k(-x) = -kx = -y(x)$), её график симметричен относительно начала координат.

Ответ: Свойства функции $y=kx$ зависят от знака коэффициента $k$. При $k > 0$ функция возрастает и ее график лежит в I и III четвертях. При $k < 0$ функция убывает и ее график лежит во II и IV четвертях. Общие свойства для обоих случаев: область определения и область значений — все действительные числа, график — прямая, проходящая через начало координат, функция является нечетной.

1116. При каких значениях x функция y = f(x) обращается в нуль, принимает положительные и отрицательные значения, если:

а) f(x) = –0,7x + 350;

б) f(x) = 30x + 10?

Начертите схематически график функции и проиллюстрируйте на нём установленные свойства.

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{a) }}f\left(x\right)=-0,7x+350 \\ -0,7x+350=0 \\ -0,7x=-350 \\ x=\frac{-350}{-\mathrm{0,7}} \\ x=\frac{3500}{7} \\ x=500 \end{gathered}$$

y=0 при x=500

y>0 при x∈(-∞;500)

y<0 при x∈(500;+∞)

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{б) }}f\left(x\right)=30x+10 \\ 30x+10=0 \\ 30x=-10 \\ x=\frac{-10}{30} \\ x=-\frac{1}{3} \end{gathered}$$ 

y=0 при $x=-\frac{1}{3}$

y>0 при $x\in \left(-\frac{1}{3}; +\mathrm{\infty }\right)$

y<0 при $x\in \left(-\mathrm{\infty }; -\frac{1}{3}\right)x\; \backslash in\; (-\backslash infty;-\backslash frac\{1\}\{3\})$

а) $f(x) = -0,7x + 350$

Для анализа функции $y = f(x)$ найдем ее нули, а также промежутки, где она положительна или отрицательна.

1. Нули функции (когда $f(x) = 0$):
Приравниваем функцию к нулю и решаем уравнение:

$-0,7x + 350 = 0$

$-0,7x = -350$

$x = \frac{-350}{-0,7} = \frac{3500}{7} = 500$

Функция обращается в нуль при $x = 500$. Это точка пересечения графика с осью Ox.

2. Положительные значения (когда $f(x) > 0$):
Решаем неравенство:

$-0,7x + 350 > 0$

$-0,7x > -350$

При делении на отрицательное число ($-0,7$) знак неравенства меняется на противоположный:

$x < \frac{-350}{-0,7}$

$x < 500$

Функция принимает положительные значения при $x \in (-\infty; 500)$.

3. Отрицательные значения (когда $f(x) < 0$):
Решаем неравенство:

$-0,7x + 350 < 0$

$-0,7x < -350$

$x > \frac{-350}{-0,7}$

$x > 500$

Функция принимает отрицательные значения при $x \in (500; +\infty)$.

Схематический график функции
График функции $y = -0,7x + 350$ — это прямая. Так как угловой коэффициент $k = -0,7 < 0$, функция является убывающей. График пересекает ось Ox в точке $(500, 0)$ и ось Oy в точке $(0, 350)$.

Ответ: функция обращается в нуль при $x = 500$, принимает положительные значения при $x < 500$, принимает отрицательные значения при $x > 500$.

б) $f(x) = 30x + 10$

Аналогично проведем анализ для второй функции.

1. Нули функции (когда $f(x) = 0$):

$30x + 10 = 0$

$30x = -10$

$x = -\frac{10}{30} = -\frac{1}{3}$

Функция обращается в нуль при $x = -1/3$.

2. Положительные значения (когда $f(x) > 0$):

$30x + 10 > 0$

$30x > -10$

$x > -\frac{1}{3}$

Функция принимает положительные значения при $x \in (-1/3; +\infty)$.

3. Отрицательные значения (когда $f(x) < 0$):

$30x + 10 < 0$

$30x < -10$

$x < -\frac{1}{3}$

Функция принимает отрицательные значения при $x \in (-\infty; -1/3)$.

Схематический график функции
График функции $y = 30x + 10$ — это прямая. Так как угловой коэффициент $k = 30 > 0$, функция является возрастающей. График пересекает ось Ox в точке $(-1/3, 0)$ и ось Oy в точке $(0, 10)$.

Ответ: функция обращается в нуль при $x = -1/3$, принимает положительные значения при $x > -1/3$, принимает отрицательные значения при $x < -1/3$.

1117. Какие из линейных функций y = 8x – 5, y = –3x + 11, y = –49x – 100, y = x + 1, y = 1 – x являются:

а) возрастающими;

б) убывающими?

а) Возрастающими являются функции, у которых $k>0k>0$

y=8x-5; y=x+1

б) Убывающими являются функции, у которых

y=-3x+11, y=-49x-100, y=1-x

Чтобы определить, является ли линейная функция возрастающей или убывающей, нужно посмотреть на знак углового коэффициента $k$ в её уравнении $y = kx + b$.

• Если коэффициент $k$ положителен ($k > 0$), функция возрастает.
• Если коэффициент $k$ отрицателен ($k < 0$), функция убывает.

Проанализируем каждую из заданных функций:

1. Для функции $y = 8x - 5$ угловой коэффициент $k = 8$. Так как $8 > 0$, функция является возрастающей.
2. Для функции $y = -3x + 11$ угловой коэффициент $k = -3$. Так как $-3 < 0$, функция является убывающей.
3. Для функции $y = -49x - 100$ угловой коэффициент $k = -49$. Так как $-49 < 0$, функция является убывающей.
4. Для функции $y = x + 1$ коэффициент при $x$ равен 1, то есть $k = 1$. Так как $1 > 0$, функция является возрастающей.
5. Для функции $y = 1 - x$ можно поменять слагаемые местами, чтобы привести её к стандартному виду: $y = -x + 1$. Коэффициент при $x$ равен -1, то есть $k = -1$. Так как $-1 < 0$, функция является убывающей.

а) возрастающими;

Возрастающими являются функции с положительным угловым коэффициентом ($k > 0$).
Ответ: $y = 8x - 5$ и $y = x + 1$.

б) убывающими?

Убывающими являются функции с отрицательным угловым коэффициентом ($k < 0$).
Ответ: $y = -3x + 11$, $y = -49x - 100$ и $y = 1 - x$.