Страница 257 - гдз по алгебре 8 класс учебник Макарычев, Миндюк

1144. Найдите область определения функции:

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{a) }}y=\frac{1}{6x}+\frac{1}{6+x} \\ \left\{\begin{array}{l}6x\ne 0\\ 6+x\ne 0\end{array}\right.\left\{\begin{array}{l}x\ne 0\\ x\ne -6\end{array}\right. \end{gathered}$$

Ответ: $D\left(y\right)=\left(-\mathrm{\infty }; -6\right)\cup \left(-6; 0\right)\cup \left(0; +\mathrm{\infty }\right)D(y)=(-\backslash infty;\; -6)\; \backslash cup\; (-6;0)\; \backslash cup\; (0;+\backslash infty)$, т.е. все числа, кроме -6 и 0

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{б) }}y=\sqrt{x}-\sqrt{x-4} \\ \left\{\begin{array}{l}x\ge 0\\ x-4\ge 0\end{array}\right.\left\{\begin{array}{l}x\ge 0\\ x\ge 4\end{array}\right. \end{gathered}$$

Ответ: $D\left(y\right)=[4; +\mathrm{\infty })$, если $x\ge 4x\; \backslash geq\; 4$

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{в) }}y=\frac{1}{1+{\displaystyle \frac{1}{x}}} \\ \left\{\begin{array}{l}x\ne 0\\ 1+\frac{1}{x}\ne 0\end{array}\right.\left\{\begin{array}{l}x\ne 0\\ \frac{1}{x}\ne -1\end{array}\right.\left\{\begin{array}{l}x\ne 0\\ x\ne -1\end{array}\right. \end{gathered}$$

Ответ: $D\left(y\right)=\left(-\mathrm{\infty }; -1\right)\cup \left(-1; 0\right)\cup \left(0; +\mathrm{\infty }\right)D(y)=(-\backslash infty;-1)\; \backslash cup\; (-1;0)\; \backslash cup\; (0;+\backslash infty)$, т.е. все числа, кроме -1 и 0

а)

Дана функция $y = \frac{1}{6x} + \frac{1}{6+x}$.

Область определения функции — это множество всех значений аргумента $x$, при которых функция имеет смысл. В данном случае функция представляет собой сумму двух дробей. Дробь имеет смысл, когда её знаменатель не равен нулю. Поэтому мы должны исключить значения $x$, которые обращают в ноль знаменатели дробей $6x$ и $6+x$.

1. Знаменатель первой дроби не должен быть равен нулю:

$6x \neq 0$

$x \neq 0$

2. Знаменатель второй дроби также не должен быть равен нулю:

$6+x \neq 0$

$x \neq -6$

Таким образом, область определения функции — это все действительные числа, кроме $x=0$ и $x=-6$.

Ответ: $x \in (-\infty; -6) \cup (-6; 0) \cup (0; +\infty)$

б)

Дана функция $y = \sqrt{x} - \sqrt{x-4}$.

Эта функция содержит квадратные корни. Выражение под знаком квадратного корня (подкоренное выражение) должно быть неотрицательным, то есть больше или равно нулю.

Следовательно, должны одновременно выполняться два условия, которые составляют систему неравенств:

$\begin{cases} x \ge 0 \\ x-4 \ge 0 \end{cases}$

Решим второе неравенство:

$x-4 \ge 0 \implies x \ge 4$

Теперь нам нужно найти пересечение решений двух неравенств: $x \ge 0$ и $x \ge 4$. На числовой оси отмечаем оба решения. Общим решением будет промежуток, где штриховки пересекаются, то есть $x \ge 4$.

Область определения функции — это все действительные числа, большие или равные 4.

Ответ: $x \in [4; +\infty)$

в)

Дана функция $y = \frac{1}{1 + \frac{1}{x}}$.

Эта функция является "многоэтажной" дробью. Мы должны учесть, что все знаменатели в выражении не должны быть равны нулю.

1. Во внутренней дроби $\frac{1}{x}$ знаменатель $x$ не должен быть равен нулю:

$x \neq 0$

2. Знаменатель основной дроби, выражение $1 + \frac{1}{x}$, также не должен быть равен нулю:

$1 + \frac{1}{x} \neq 0$

Решим это неравенство:

$\frac{1}{x} \neq -1$

Отсюда следует, что $x \neq -1$.

Объединяя оба условия, получаем, что $x$ не может быть равен 0 и -1.

Область определения функции — это все действительные числа, кроме $x=0$ и $x=-1$.

Ответ: $x \in (-\infty; -1) \cup (-1; 0) \cup (0; +\infty)$

1145. Длина прямоугольника ABCD (рис. 75) равна 10 см, а ширина — 7 см. Отрезок MN передвигается от отрезка AD до отрезка BC, оставаясь параллельным отрезку AD. Площадь y (см²) закрашенной части есть функция расстояния x (см) от точки D до точки N. Задайте функцию y = f(x) формулой. Найдите множество значений этой функции.

$\begin{array}{cl}y=10x, \text{где}& 0<x<7\\ & 0<10x<70\end{array}$

Ответ: y=10x, E(y)=(0; 70)

Задайте функцию y = f(x) формулой.

Согласно условию задачи, имеется прямоугольник $ABCD$ со следующими размерами: длина $AD = 10$ см и ширина $DC = 7$ см. Закрашенная часть на рисунке представляет собой прямоугольник $AMND$.

Площадь $y$ этого прямоугольника вычисляется как произведение длин его смежных сторон, то есть $y = AD \cdot DN$.

Из условия мы знаем, что длина стороны $AD$ равна $10$ см. Также по условию, переменная $x$ — это расстояние от точки $D$ до точки $N$, следовательно, длина стороны $DN$ равна $x$ см.

Подставим известные значения в формулу площади:

$y = 10 \cdot x$

Таким образом, функция $y = f(x)$ задается формулой $y = 10x$.

Ответ: $y = 10x$.

Найдите множество значений этой функции.

Чтобы найти множество значений функции $y = 10x$, необходимо сначала определить ее область определения, то есть все возможные значения, которые может принимать переменная $x$.

Переменная $x$ представляет собой длину отрезка $DN$. Отрезок $MN$ передвигается от отрезка $AD$ до отрезка $BC$.

• Когда отрезок $MN$ совпадает с отрезком $AD$, точка $N$ совпадает с точкой $D$. В этом случае расстояние $DN$ минимально и равно $0$. То есть, $x_{min} = 0$.
• Когда отрезок $MN$ совпадает с отрезком $BC$, точка $N$ совпадает с точкой $C$. В этом случае расстояние $DN$ максимально и равно длине стороны $DC$, то есть $7$ см. То есть, $x_{max} = 7$.

Таким образом, область определения функции — это все значения $x$ в промежутке от $0$ до $7$, включая концы: $0 \le x \le 7$.

Теперь найдем множество значений функции $y = 10x$ на отрезке $[0; 7]$. Так как эта функция является линейной с положительным коэффициентом ($k=10 > 0$), она возрастает на всей своей области определения. Следовательно, наименьшее значение функции будет при наименьшем значении $x$, а наибольшее — при наибольшем значении $x$.

• Минимальное значение функции: $y_{min} = 10 \cdot 0 = 0$.
• Максимальное значение функции: $y_{max} = 10 \cdot 7 = 70$.

Значит, множество значений функции $y$ — это все числа от $0$ до $70$ включительно.

Ответ: Множество значений функции — это отрезок $[0; 70]$, или $0 \le y \le 70$.

1146. В равнобедренном треугольнике ABC основание AC равно 6 см, а боковая сторона — 5 см. Концы подвижного отрезка, параллельного основанию, лежат на боковых сторонах. Его длина равна y (см), а расстояние от вершины — x (см). Задайте формулой y как функцию от x. Найдите множество значений этой функции.

Если x - расстояние от вершины B до MN, где $MN\mathrm{\mid }\mathrm{\mid }ACMN\; ||\; AC$, то $BO\perp MNBO\; \backslash perp\; MN$.

По теореме Пифагора $BD=\sqrt{A{B}^2-A{D}^2}=\sqrt{5^2-3^2}=\sqrt{25-9}=\sqrt{16}=4$(см)

$\frac{MN}{AC}=\frac{BO}{BD}$

$\frac{y}{6}=\frac{x}{4}; y=\frac{6x}{4}; y=1,5x$, где 

Ответ: $y=1,5x; E\left(y\right)=\left(0; 6\right)$

Задайте формулой y как функцию от x.

Пусть дан равнобедренный треугольник $ABC$ с основанием $AC = 6$ см и боковыми сторонами $AB = BC = 5$ см. Проведем высоту $BH$ из вершины $B$ к основанию $AC$. В равнобедренном треугольнике высота, проведенная к основанию, является также и медианой, поэтому $H$ — середина $AC$. Следовательно, $AH = HC = AC/2 = 6/2 = 3$ см.

Рассмотрим прямоугольный треугольник $ABH$. По теореме Пифагора найдем длину высоты $BH$:
$BH = \sqrt{AB^2 - AH^2} = \sqrt{5^2 - 3^2} = \sqrt{25 - 9} = \sqrt{16} = 4$ см.

Пусть $MN$ — подвижный отрезок, параллельный основанию $AC$, где точка $M$ лежит на стороне $AB$, а точка $N$ — на стороне $BC$. Длина этого отрезка равна $y$, то есть $MN = y$.

Расстояние от вершины $B$ до отрезка $MN$ равно $x$. Это расстояние измеряется по высоте. Обозначим точку пересечения высоты $BH$ с отрезком $MN$ как $K$. Тогда $BK = x$.

Рассмотрим треугольники $MBN$ и $ABC$. Поскольку $MN || AC$, то треугольник $MBN$ подобен треугольнику $ABC$ (по двум углам: $\angle B$ — общий, $\angle BMN = \angle BAC$ как соответственные углы при параллельных прямых $MN$ и $AC$ и секущей $AB$).

В подобных треугольниках отношение соответственных сторон равно отношению соответственных высот. Высотой в треугольнике $MBN$, проведенной из вершины $B$, является отрезок $BK = x$. Высотой в треугольнике $ABC$, проведенной из вершины $B$, является отрезок $BH = 4$ см.

Составим пропорцию: $\frac{MN}{AC} = \frac{BK}{BH}$

Подставим известные значения и переменные: $\frac{y}{6} = \frac{x}{4}$

Выразим $y$ через $x$: $y = \frac{6x}{4} = \frac{3}{2}x = 1.5x$

Ответ: $y = 1.5x$.

Найдите множество значений этой функции.

Множество значений функции $y(x)$ зависит от области определения переменной $x$. Переменная $x$ — это расстояние от вершины $B$ до отрезка $MN$.

Минимальное значение $x$ равно 0. Это происходит, когда отрезок $MN$ "стягивается" в точку в вершине $B$. В этом случае его длина $y$ также равна 0: $y = 1.5 \cdot 0 = 0$.

Максимальное значение $x$ достигается, когда отрезок $MN$ совпадает с основанием $AC$. В этом случае расстояние от вершины $B$ до отрезка равно всей высоте $BH$, то есть $x = 4$ см. При этом длина отрезка $y$ будет равна длине основания $AC$: $y = 1.5 \cdot 4 = 6$ см.

Таким образом, переменная $x$ может принимать любые значения в промежутке от 0 до 4 включительно, то есть $x \in [0, 4]$.

Поскольку функция $y = 1.5x$ является линейной и возрастающей, ее значения будут находиться в промежутке от $y(0)$ до $y(4)$.

При $x=0$, $y=0$.
При $x=4$, $y=6$.

Следовательно, множество значений функции $y$ — это все числа от 0 до 6 включительно.

Ответ: Множество значений функции – это отрезок $[0, 6]$, или $0 \le y \le 6$.

1147. Функция задана формулой y =1x² + 1. Пересекает ли её график ось x? ось y? В каких координатных четвертях расположен график этой функции?

y=$\frac{1}{x^2+1}\backslash frac\{1\}\{x^2+1\}$

С осью х: y=0; $\frac{1}{x^2+1}\backslash frac\{1\}\{x^2+1\}$=0; нет корней

Значит, нет точек пересечения с осью х.

С осью у: х=0; y=$\frac{1}{0^2+1}\backslash frac\{1\}\{0^2+1\}$ ; y=1

Значит, график функции пересекает ось у в тоже (0;1)

Так как у>0 при любых значениях х, то график расположен в І и II координатных четвертях

Пересекает ли её график ось x?
Чтобы найти точки пересечения графика функции с осью абсцисс (осью $x$), необходимо приравнять значение функции $y$ к нулю.
Получаем уравнение:
$y = \frac{1}{x^2 + 1} = 0$
Дробь равна нулю тогда и только тогда, когда её числитель равен нулю, а знаменатель не равен нулю. В данном случае числитель равен 1, что не равно нулю. Следовательно, это уравнение не имеет решений.
Это означает, что график функции не пересекает ось $x$.
Ответ: нет, не пересекает.

ось y?
Чтобы найти точку пересечения графика функции с осью ординат (осью $y$), необходимо найти значение функции при $x = 0$.
Подставим $x = 0$ в формулу функции:
$y = \frac{1}{0^2 + 1} = \frac{1}{0 + 1} = 1$
Таким образом, график функции пересекает ось $y$ в точке с координатами $(0; 1)$.
Ответ: да, пересекает в точке $(0; 1)$.

В каких координатных четвертях расположен график этой функции?
Для определения расположения графика в координатных четвертях проанализируем знаки значений $x$ и $y$.
1. Область определения функции (возможные значения $x$): Знаменатель дроби $x^2 + 1$ никогда не обращается в нуль, так как $x^2 \ge 0$ для любого действительного числа, а значит $x^2 + 1 \ge 1$. Следовательно, функция определена для всех действительных значений $x$.
2. Область значений функции (возможные значения $y$): Числитель дроби равен 1 (положительное число). Знаменатель $x^2 + 1$ также всегда положителен. Частное двух положительных чисел всегда является положительным числом. Таким образом, $y = \frac{1}{x^2 + 1} > 0$ для всех значений $x$.
Координатные четверти, в которых $y > 0$, — это I и II четверти.

• В I четверти $x > 0$ и $y > 0$.
• Во II четверти $x < 0$ и $y > 0$.

Поскольку функция определена как для положительных, так и для отрицательных значений $x$, а значение $y$ всегда положительно, график функции расположен в I и II координатных четвертях.
Ответ: в I и II координатных четвертях.

1148. Катер отправляется от пристани A и идёт вниз по реке к пристани B, до которой 60 км. После двухчасовой стоянки на пристани B он возвращается обратно. Расстояние l (км), пройденное катером от пристани A, зависит от времени t (ч), отсчитываемого с момента отправления катера из A до момента возвращения. Собственная скорость катера 16 км/ч, скорость течения реки 4 км/ч. Задайте l как функцию от t формулами, постройте график функции, опишите по графику её свойства и объясните их физический смысл.

16+4=20 (км/ч) - скорость катера по течению

16-4=12 (км/ч) - скорость катера против течения

60:20=3 (ч) - время, потраченное на путь от A к B

60:12=5 (ч) - время, потраченное на путь от В к А

$l=\left\{\begin{array}{l}20t, 0\le t<3\\ 60, 3\le t<5\\ 60+\left(60-12t\right), 5\le t\le 10\end{array}\right.$

1. D(l)=[0;10]

2. E(l)=[0;60]

3. l(0)=0; l(10)=0

0 и 10 - нули функции

4. При 0≤t<3 функция l(t) возрастает, т.е. первые 3ч катер удалялся от пристани А и его расстояние возрастает.

При 3≤t<5 функция l(t) сохраняет постоянные значения, т.к. катер 2ч стоял

При 5≤t≤10 функция l(t) убывает, т.е. 5ч катер возвращался в А и расстояние убывает.

Задание l как функцию от t формулами

Для того чтобы задать расстояние $l$ (в км) как функцию от времени $t$ (в часах), необходимо рассмотреть три этапа движения катера: путь от пристани А до пристани В, стоянка на пристани В и обратный путь от В к А.

1. Движение от А до В (вниз по течению).
Скорость катера по течению равна сумме его собственной скорости и скорости течения реки: $v_{по\ теч.} = 16 + 4 = 20$ км/ч.
Расстояние между пристанями составляет 60 км. Время, затраченное на этот путь: $t_1 = \frac{60 \text{ км}}{20 \text{ км/ч}} = 3$ часа.
На этом участке, при $0 \le t \le 3$, расстояние от пристани А вычисляется по формуле: $l(t) = 20t$.

2. Стоянка на пристани В.
Катер прибывает в В в момент времени $t=3$ ч. Стоянка длится 2 часа, то есть до $t = 3 + 2 = 5$ ч.
В течение этого времени катер не движется, и расстояние от пристани А остается постоянным и равным 60 км.
Таким образом, при $3 < t \le 5$, имеем $l(t) = 60$.

3. Движение от В до А (против течения).
Скорость катера против течения равна разности его собственной скорости и скорости течения: $v_{против\ теч.} = 16 - 4 = 12$ км/ч.
Время, затраченное на обратный путь: $t_2 = \frac{60 \text{ км}}{12 \text{ км/ч}} = 5$ часов.
Катер отправляется от пристани В в момент $t=5$ и возвращается в А в момент $t = 5 + 5 = 10$ ч.
На этом участке, при $5 < t \le 10$, расстояние от пристани А уменьшается. В момент времени $t$ (где $t > 5$) катер движется от В в течение $(t-5)$ часов. Расстояние от А будет равно: $l(t) = 60 - v_{против\ теч.} \cdot (t - 5) = 60 - 12(t - 5) = 60 - 12t + 60 = 120 - 12t$.

Объединив все три случая, получаем кусочно-заданную функцию.

Ответ: $l(t) = \begin{cases} 20t, & \text{если } 0 \le t \le 3 \\ 60, & \text{если } 3 < t \le 5 \\ 120 - 12t, & \text{если } 5 < t \le 10 \end{cases}$

Построение графика функции

График функции $l(t)$ строится в системе координат, где по горизонтальной оси откладывается время $t$ в часах, а по вертикальной — расстояние $l$ в километрах. График состоит из трех линейных сегментов, соответствующих трем этапам движения.

1. На интервале $0 \le t \le 3$ график представляет собой отрезок прямой $l = 20t$, соединяющий точки $(0, 0)$ и $(3, 60)$.

2. На интервале $3 < t \le 5$ график представляет собой горизонтальный отрезок прямой $l = 60$, соединяющий точки $(3, 60)$ и $(5, 60)$.

3. На интервале $5 < t \le 10$ график представляет собой отрезок прямой $l = 120 - 12t$, соединяющий точки $(5, 60)$ и $(10, 0)$.

Ответ: График функции представляет собой ломаную линию, последовательно соединяющую точки с координатами $(0, 0)$, $(3, 60)$, $(5, 60)$ и $(10, 0)$.

Описание свойств функции по графику и их физический смысл

На основе построенного графика и формул можно выделить следующие свойства функции $l(t)$ и объяснить их физический смысл.

Ответ:

• Область определения: $D(l) = [0, 10]$.
  Физический смысл: Весь рейс катера от отправления из А до возвращения в А занимает 10 часов. Функция рассматривается именно на этом промежутке времени.
• Область значений: $E(l) = [0, 60]$.
  Физический смысл: Расстояние катера от пристани А никогда не превышает 60 км, что равно расстоянию до пристани В. Минимальное расстояние равно 0 (когда катер находится в А).
• Непрерывность: Функция непрерывна на всей области определения.
  Физический смысл: Расстояние катера от пристани А изменяется плавно, без скачков, что соответствует реальному движению физического объекта.
• Монотонность:
  • Функция возрастает на промежутке $[0, 3]$.
    Физический смысл: Катер удаляется от пристани А, двигаясь вниз по течению. Угловой коэффициент графика (20) равен скорости удаления (20 км/ч).
  • Функция постоянна на промежутке $(3, 5]$.
    Физический смысл: Катер стоит на пристани В. Его расстояние от А не меняется и равно 60 км. Скорость равна 0.
  • Функция убывает на промежутке $(5, 10]$.
    Физический смысл: Катер возвращается к пристани А, двигаясь против течения. Расстояние от А уменьшается. Модуль углового коэффициента (-12), равный 12, есть скорость возвращения (12 км/ч).
• Нули функции: $l(t) = 0$ при $t=0$ и $t=10$.
  Физический смысл: В начальный момент времени ($t=0$) и в конечный ($t=10$) катер находится на пристани А, то есть на нулевом расстоянии от нее.
• Наибольшее и наименьшее значения:
  Наибольшее значение функции $l_{max} = 60$ достигается при любом $t \in [3, 5]$.
  Физический смысл: Максимальное удаление от пристани А составляет 60 км и достигается в момент прибытия в В и в течение всей стоянки.
  Наименьшее значение функции $l_{min} = 0$ достигается при $t=0$ и $t=10$.
  Физический смысл: Минимальное расстояние от А равно 0, что соответствует нахождению катера на пристани А.

1149. Начертите график какой-нибудь функции, областью определения которой является промежуток [–3; 4], а множеством значений — промежуток [0; 6].

D(f)=[-3;4]

E(f)=[0;6]

Для построения графика функции необходимо выполнить два условия:

1. Область определения функции должна быть промежутком $[-3; 4]$. Это означает, что график должен существовать только для значений $x$ в этом диапазоне, включая концы. Графически проекция всех точек графика на ось $Ox$ должна полностью совпадать с отрезком $[-3; 4]$.
2. Множество значений функции должно быть промежутком $[0; 6]$. Это означает, что наименьшее значение функции (самая низкая точка графика) должно быть $y=0$, а наибольшее (самая высокая точка) — $y=6$. При этом функция должна принимать все возможные значения между 0 и 6. Графически проекция всех точек графика на ось $Oy$ должна полностью совпадать с отрезком $[0; 6]$.

Существует бесконечно много функций, удовлетворяющих этим условиям. Рассмотрим несколько примеров.

Пример 1: Линейная функция

Самый простой способ — построить отрезок прямой линии, соединяющий две точки. Чтобы удовлетворить условиям, выберем конечные точки отрезка так, чтобы их координаты по $x$ были концами области определения ($-3$ и $4$), а координаты по $y$ — концами множества значений ($0$ и $6$).

Пусть наш график — это отрезок, соединяющий точки с координатами $(-3, 0)$ и $(4, 6)$.

• Когда $x$ изменяется от $-3$ до $4$, мы покрываем всю область определения $[-3; 4]$.
• Поскольку функция непрерывно возрастает, значения $y$ будут плавно изменяться от $0$ до $6$, покрывая все множество значений $[0; 6]$.

График выглядит следующим образом:

Ответ: График представляет собой отрезок прямой, соединяющий точки $(-3, 0)$ и $(4, 6).

Пример 2: Кусочно-линейная функция

Можно построить график, который не является монотонным. Например, он может сначала убывать, а затем возрастать. Главное, чтобы минимальное значение было $0$, а максимальное — $6$.

Построим ломаную линию, проходящую через три ключевые точки:

1. Начальная точка на левой границе области определения: $(-3, 6)$. Здесь достигается максимальное значение.
2. Точка, в которой достигается минимальное значение: $(1, 0)$.
3. Конечная точка на правой границе области определения: $(4, 3)$.

Соединим эти точки отрезками. На промежутке $[-3; 1]$ функция убывает от $6$ до $0$. На промежутке $[1; 4]$ функция возрастает от $0$ до $3$.

• Область определения: $x$ изменяется от $-3$ до $4$, что соответствует $[-3; 4]$.
• Множество значений: значения $y$ сначала покрывают промежуток $[0; 6]$ (при убывании), а затем $[0; 3]$ (при возрастании). Объединение этих множеств дает $[0; 6]$, что соответствует требуемому условию.

График выглядит следующим образом:

Ответ: График представляет собой ломаную линию, соединяющую последовательно точки $(-3, 6)$, $(1, 0)$ и $(4, 3)$.

Пример 3: Криволинейный график (часть параболы)

Можно использовать и кривую линию, например, часть параболы. Построим параболу с ветвями вверх, вершина которой будет точкой минимума функции.

Пусть вершина параболы находится в точке $(1, 0)$. Тогда уравнение параболы имеет вид $y = a(x-1)^2$, где $a > 0$. Чтобы найти $a$, нужно, чтобы максимальное значение $y=6$ достигалось на одной из границ области определения: при $x=-3$ или $x=4$. Расстояние от оси симметрии $x=1$ до $x=-3$ равно $|-3-1|=4$, а до $x=4$ равно $|4-1|=3$. Так как $4 > 3$, максимальное значение будет при $x=-3$.

Подставим точку $(-3, 6)$ в уравнение:

$6 = a(-3-1)^2$

$6 = a(-4)^2$

$6 = 16a$

$a = \frac{6}{16} = \frac{3}{8}$

Таким образом, функция $y = \frac{3}{8}(x-1)^2$ на отрезке $[-3; 4]$ удовлетворяет всем условиям.

• Область определения: по построению $[-3; 4]$.
• Множество значений: минимум достигается в вершине $(1, 0)$ и равен $0$. Максимум достигается на конце отрезка в точке $(-3, 6)$ и равен $6$. Все значения между $0$ и $6$ принимаются.

График выглядит следующим образом:

Ответ: График функции $y = \frac{3}{8}(x-1)^2$ на промежутке $[-3; 4]$.