Страница 256 - гдз по алгебре 8 класс учебник Макарычев, Миндюк

1137. Найдите [а], если а = 4,7; 98; - 223; –0,01.

$\begin{array}{llll}a=4,7; & a=98& a=-2\frac{2}{3} & a=-0,01\\ \left[a\right]=4& \left[a\right]=98 & \left[a\right]=-3& \left[a\right]=-1\end{array}$

Обозначение $[a]$ представляет собой целую часть числа $a$. Целая часть числа (также называемая функцией «антье» или «пол») — это наибольшее целое число, которое не превосходит (то есть меньше или равно) $a$.

Найдем значение $[a]$ для каждого из предложенных случаев.

Если a = 4,7

Нам нужно найти $[4,7]$. Мы ищем наибольшее целое число, которое меньше или равно $4,7$. На числовой прямой число $4,7$ находится между целыми числами $4$ и $5$. Целые числа, не превосходящие $4,7$, это $4, 3, 2, \dots$ и так далее. Наибольшим из этих целых чисел является $4$.

Следовательно, $[4,7] = 4$.

Ответ: $4$

Если a = 98

Нам нужно найти $[98]$. Поскольку число $98$ само является целым, наибольшее целое число, которое не превосходит $98$, — это само число $98$.

Следовательно, $[98] = 98$.

Ответ: $98$

Если a = -2\frac{2}{3}

Нам нужно найти $[-2\frac{2}{3}]$. Число $-2\frac{2}{3}$ равно примерно $-2,67$ и находится на числовой прямой между целыми числами $-3$ и $-2$. Целые числа, которые не превосходят $-2\frac{2}{3}$, это $-3, -4, -5, \dots$ и так далее. Наибольшим из этих целых чисел является $-3$. Важно помнить, что для отрицательных чисел целая часть «округляет» в меньшую сторону (влево по числовой оси).

Следовательно, $[-2\frac{2}{3}] = -3$.

Ответ: $-3$

Если a = -0,01

Нам нужно найти $[-0,01]$. Число $-0,01$ находится на числовой прямой между целыми числами $-1$ и $0$. Целые числа, не превосходящие $-0,01$, это $-1, -2, -3, \dots$ и так далее. Наибольшим из этих целых чисел является $-1$.

Следовательно, $[-0,01] = -1$.

Ответ: $-1$

1138. Найдите {c}, если с = 5; -89; –0,95; 0; 1,17.

c=5

$$\begin{gathered} \left\{c\right\}=c-\left[c\right]=5-5=0 \\ c=-\frac{8}{9} \\ \left\{c\right\}=c-\left[c\right]=-\frac{8}{9}-\left(-1\right)=-\frac{8}{9}+1=-\frac{1}{9} \end{gathered}$$

c=-0,95

$\{c\}=c-[c]=-0,95-\left(-1\right)=-0,95+1=0,05\backslash \{c\backslash \}=c-[c]=-0,95\; -\; (-1)=-0,95+1=0,05$

c=0

$\{c\}=c-[c]=0-0=0\backslash \{c\backslash \}=c-[c]=0-0=0$

c=1,17

$\{c\}=1,17-1=0,17\backslash \{c\backslash \}=1,17-1=0,17$

Выражение $\{c\}$ обозначает дробную часть числа $c$. Дробная часть числа $x$ определяется как разность между самим числом и его целой частью: $\{x\} = x - [x]$, где $[x]$ — это целая часть числа $x$ (наибольшее целое число, не превосходящее $x$). По определению, дробная часть числа всегда неотрицательна и меньше 1, то есть $0 \le \{x\} < 1$.

c = 5
Число 5 является целым. Целая часть любого целого числа равна ему самому, поэтому $[5] = 5$. Дробная часть вычисляется как $\{5\} = 5 - [5] = 5 - 5 = 0$.
Ответ: 0

c = 8/9
Число $\frac{8}{9}$ — это положительная дробь, которая удовлетворяет условию $0 \le \frac{8}{9} < 1$. Целая часть этого числа равна 0, то есть $[\frac{8}{9}] = 0$. Дробная часть равна $\{\frac{8}{9}\} = \frac{8}{9} - [\frac{8}{9}] = \frac{8}{9} - 0 = \frac{8}{9}$.
Ответ: $\frac{8}{9}$

c = -0,95
Для отрицательного числа $-0,95$ целой частью является наибольшее целое число, которое не больше, чем $-0,95$. Этим числом является $-1$, так как $-1 \le -0,95 < 0$. Таким образом, $[-0,95] = -1$. Дробная часть вычисляется как $\{-0,95\} = -0,95 - [-0,95] = -0,95 - (-1) = -0,95 + 1 = 0,05$.
Ответ: 0,05

c = 0
Число 0 является целым, поэтому его целая часть равна 0: $[0] = 0$. Дробная часть равна $\{0\} = 0 - [0] = 0 - 0 = 0$.
Ответ: 0

c = 1,17
Целой частью числа $1,17$ является $1$, так как $1 \le 1,17 < 2$. Таким образом, $[1,17] = 1$. Дробная часть вычисляется как $\{1,17\} = 1,17 - [1,17] = 1,17 - 1 = 0,17$.
Ответ: 0,17

1139. Найдите целую и дробную части числа π.

[π]=3; {π}=π-[π]=3,14...-3=0,14...

Для того чтобы найти целую и дробную части числа $\pi$, необходимо воспользоваться их определениями. Любое действительное число x можно представить в виде суммы его целой и дробной частей: $x = [x] + \{x\}$.

Число $\pi$ (пи) — это иррациональная математическая константа, значение которой приблизительно равно $3.14159...$

Целая часть

Целой частью числа x (также называется антье и обозначается $[x]$) является наибольшее целое число, которое не превышает x.

Рассмотрим число $\pi$. Очевидно, что выполняется двойное неравенство: $3 < \pi < 4$.

Из этого неравенства следует, что наибольшее целое число, которое не превосходит $\pi$, — это 3. Следовательно, целая часть числа $\pi$ равна 3: $[\pi] = 3$.

Дробная часть

Дробной частью числа x (обозначается $\{x\}$) называется разность между самим числом x и его целой частью $[x]$.

Формула для вычисления дробной части: $\{x\} = x - [x]$.

Для числа $\pi$ и его найденной целой части $[\pi] = 3$ получаем: $\{\pi\} = \pi - 3$.

Это точное значение дробной части. Дробная часть любого числа всегда удовлетворяет условию $0 \le \{x\} < 1$. В нашем случае $0 < \pi - 3 < 1$, что является верным, так как $3 < \pi < 4$.

Ответ: целая часть числа $\pi$ равна 3; дробная часть числа $\pi$ равна $\pi - 3$.

1140. Известно, что x = 2,7. Найдите: 2[x]; [2x]; [–2x].

$$\begin{gathered} x=\mathrm{2,7}x=2,7 \\ 2[x]=2·2=42[x]=2\; \backslash cdot\; 2=4 \\ [2x]=[2·\mathrm{2,7}]=[\mathrm{5,4}]=5[2x]=[2\; \backslash cdot\; 2,7]=[5,4]=5 \\ [-2x]=[-2·\mathrm{2,7}]=[-\mathrm{5,4}]=-6[-2x]=[-2\; \backslash cdot\; 2,7]=[-5,4]=-6 \end{gathered}$$

В данной задаче используется операция взятия целой части числа (функция «пол» или «антье»), которая обозначается квадратными скобками $[a]$. Целая часть числа $a$ — это наибольшее целое число, которое не превосходит $a$.
Нам дано значение $x = 2,7$.

2[x]
Сначала необходимо найти целую часть числа $x$.
$[x] = [2,7]$. Наибольшее целое число, не превосходящее 2,7, это 2. Таким образом, $[x] = 2$.
Теперь умножим полученное значение на 2:
$2[x] = 2 \cdot 2 = 4$.
Ответ: 4

[2x]
Сначала необходимо вычислить значение выражения $2x$.
$2x = 2 \cdot 2,7 = 5,4$.
Теперь найдем целую часть от полученного результата:
$[2x] = [5,4]$. Наибольшее целое число, не превосходящее 5,4, это 5.
Таким образом, $[2x] = 5$.
Ответ: 5

[-2x]
Сначала необходимо вычислить значение выражения $-2x$.
$-2x = -2 \cdot 2,7 = -5,4$.
Теперь найдем целую часть от полученного отрицательного числа:
$[-2x] = [-5,4]$.
Наибольшее целое число, не превосходящее -5,4, это -6. Важно помнить, что для отрицательных чисел целая часть — это ближайшее целое слева на числовой оси (например, $-6 < -5,4 < -5$).
Таким образом, $[-2x] = -6$.
Ответ: -6

1141. Известно, что x = 4,8. Найдите: {3x}; {–3x}.

$$\begin{gathered} x=4,8 \\ \left\{3x\right\}=\left\{3·4,8\right\}=3x-\left[3x\right]=14,4-[14,4]= \\ =14,4-14=0,4 \\ \left\{-3x\right\}=\left\{-3·4,8\right\}=\left\{-14,4\right\}=-14,4-[-14,4]= \\ =-14,4-\left(-15\right)=-14,4+15=0,6 \end{gathered}$$

В данной задаче требуется найти дробную часть выражений. Дробная часть числа $y$, обозначаемая как ${y}$, определяется по формуле ${y} = y - [y]$, где $[y]$ — это целая часть числа $y$ (наибольшее целое число, не превосходящее $y$). Значение дробной части всегда находится в промежутке $[0, 1)$.

{3x}

Сначала вычислим значение выражения $3x$, зная, что $x = 4,8$:
$3x = 3 \cdot 4,8 = 14,4$.

Теперь найдем дробную часть полученного числа. Целая часть числа $14,4$ равна $14$.
Дробная часть вычисляется как разность самого числа и его целой части:
${14,4} = 14,4 - [14,4] = 14,4 - 14 = 0,4$.

Ответ: $0,4$.

{-3x}

Аналогично, сначала вычислим значение выражения $-3x$:
$-3x = -3 \cdot 4,8 = -14,4$.

Теперь найдем дробную часть числа $-14,4$. Важно правильно определить целую часть отрицательного числа. Целая часть $[-14,4]$ — это наибольшее целое число, которое меньше или равно $-14,4$. Таким числом является $-15$.
Вычисляем дробную часть:
${-14,4} = -14,4 - [-14,4] = -14,4 - (-15) = -14,4 + 15 = 0,6$.

Ответ: $0,6$.

1142. Постройте график функции:

а) y = 2[x];

б) y = [2x];

в) y = –[x].

а) y=2[x]

б) y=[2x]

в) y=-[x]

а) $y = 2[x]$

Функция $[x]$ (целая часть числа $x$ или антье от $x$) определяется как наибольшее целое число, не превосходящее $x$. График функции $y = [x]$ является ступенчатой функцией. Он состоит из горизонтальных отрезков-ступенек.

Для построения графика функции $y = 2[x]$, мы сначала находим значение $[x]$, а затем умножаем его на 2. Это соответствует преобразованию графика функции $y = [x]$ путем растяжения вдоль оси ординат (оси $Oy$) в 2 раза.

Рассмотрим поведение функции на нескольких целочисленных промежутках:

• Если $-2 \le x < -1$, то $[x] = -2$, и $y = 2 \cdot (-2) = -4$.
• Если $-1 \le x < 0$, то $[x] = -1$, и $y = 2 \cdot (-1) = -2$.
• Если $0 \le x < 1$, то $[x] = 0$, и $y = 2 \cdot 0 = 0$.
• Если $1 \le x < 2$, то $[x] = 1$, и $y = 2 \cdot 1 = 2$.
• Если $2 \le x < 3$, то $[x] = 2$, и $y = 2 \cdot 2 = 4$.

В общем виде, для любого целого числа $n$, если $x \in [n, n+1)$, то $[x] = n$, и $y = 2n$.

График представляет собой совокупность горизонтальных отрезков. Каждый отрезок расположен на промежутке $[n, n+1)$ по оси $Ox$ и на высоте $y=2n$. Левый конец каждого отрезка (точка с координатами $(n, 2n)$) принадлежит графику, а правый конец (точка с координатами $(n+1, 2n)$) — не принадлежит.

Ответ: График функции $y = 2[x]$ — это ступенчатая функция, состоящая из горизонтальных отрезков. Для каждого целого числа $n$, на промежутке $[n, n+1)$ график представляет собой отрезок прямой $y=2n$. Левая точка отрезка $(n, 2n)$ включена, правая точка $(n+1, 2n)$ исключена.

б) $y = [2x]$

Для построения графика этой функции, мы сначала умножаем аргумент $x$ на 2, а затем берем целую часть от полученного значения. Это преобразование соответствует сжатию графика функции $y = [x]$ вдоль оси абсцисс (оси $Ox$) в 2 раза.

Значение функции меняется, когда выражение $2x$ становится равным целому числу. Пусть $2x=n$, где $n$ — целое число. Тогда $x = n/2$. Это означает, что "ступеньки" графика будут иметь длину $1/2$.

Рассмотрим поведение функции на промежутках длиной $1/2$:

• Если $-1 \le x < -0.5$, то $-2 \le 2x < -1$, и $y = [2x] = -2$.
• Если $-0.5 \le x < 0$, то $-1 \le 2x < 0$, и $y = [2x] = -1$.
• Если $0 \le x < 0.5$, то $0 \le 2x < 1$, и $y = [2x] = 0$.
• Если $0.5 \le x < 1$, то $1 \le 2x < 2$, и $y = [2x] = 1$.
• Если $1 \le x < 1.5$, то $2 \le 2x < 3$, и $y = [2x] = 2$.

В общем виде, для любого целого числа $n$, если $x \in [n/2, (n+1)/2)$, то $2x \in [n, n+1)$, и $y = [2x] = n$.

График представляет собой совокупность горизонтальных отрезков. Каждый отрезок расположен на промежутке $[n/2, (n+1)/2)$ по оси $Ox$ и на высоте $y=n$. Левый конец каждого отрезка (точка с координатами $(n/2, n)$) принадлежит графику, а правый конец (точка с координатами $((n+1)/2, n)$) — не принадлежит.

Ответ: График функции $y = [2x]$ — это ступенчатая функция, состоящая из горизонтальных отрезков. Для каждого целого числа $n$, на промежутке $[n/2, (n+1)/2)$ график представляет собой отрезок прямой $y=n$. Левая точка отрезка $(n/2, n)$ включена, правая точка $((n+1)/2, n)$ исключена. Длина каждой ступеньки равна $0.5$.

в) $y = -[x]$

Для построения графика функции $y = -[x]$, мы сначала находим значение $[x]$, а затем берем его с противоположным знаком. Это преобразование соответствует симметричному отражению графика функции $y = [x]$ относительно оси абсцисс (оси $Ox$).

Рассмотрим поведение функции на нескольких целочисленных промежутках:

• Если $-2 \le x < -1$, то $[x] = -2$, и $y = -(-2) = 2$.
• Если $-1 \le x < 0$, то $[x] = -1$, и $y = -(-1) = 1$.
• Если $0 \le x < 1$, то $[x] = 0$, и $y = -0 = 0$.
• Если $1 \le x < 2$, то $[x] = 1$, и $y = -1$.
• Если $2 \le x < 3$, то $[x] = 2$, и $y = -2$.

В общем виде, для любого целого числа $n$, если $x \in [n, n+1)$, то $[x] = n$, и $y = -n$.

График представляет собой совокупность горизонтальных отрезков, "спускающихся" вниз при увеличении $x$. Каждый отрезок расположен на промежутке $[n, n+1)$ по оси $Ox$ и на высоте $y=-n$. Левый конец каждого отрезка (точка с координатами $(n, -n)$) принадлежит графику, а правый конец (точка с координатами $(n+1, -n)$) — не принадлежит.

Ответ: График функции $y = -[x]$ — это ступенчатая функция, состоящая из горизонтальных отрезков. Для каждого целого числа $n$, на промежутке $[n, n+1)$ график представляет собой отрезок прямой $y=-n$. Левая точка отрезка $(n, -n)$ включена, правая точка $(n+1, -n)$ исключена.

1143. Постройте график функции y = –{x}.

y=-{x}

Для построения графика функции $y = -\{x\}$ необходимо сначала разобраться, что такое $\{x\}$.

Выражение $\{x\}$ обозначает дробную часть числа $x$. Дробная часть числа определяется как разность между самим числом $x$ и его целой частью $[x]$ (наибольшим целым числом, не превосходящим $x$). Таким образом, по определению:$$ \{x\} = x - [x] $$Область значений функции дробной части — полуинтервал $[0, 1)$, то есть:$$ 0 \le \{x\} < 1 $$Функция $\{x\}$ является периодической с периодом $T=1$.

Теперь рассмотрим заданную функцию $y = -\{x\}$.Так как $0 \le \{x\} < 1$, то, умножив все части неравенства на $-1$, получим:$$ -1 < -\{x\} \le 0 $$Следовательно, область значений функции $y = -\{x\}$ — это полуинтервал $(-1, 0]$.Функция $y = -\{x\}$ также является периодической с периодом $T=1$.

Для построения графика достаточно построить его на любом промежутке длиной 1, например, на $[0, 1)$, а затем продолжить периодически.

Рассмотрим промежуток $x \in [0, 1)$. На этом промежутке целая часть числа $x$ равна нулю: $[x] = 0$. Тогда дробная часть $\{x\} = x - [x] = x - 0 = x$. Следовательно, на промежутке $[0, 1)$ функция принимает вид:$$ y = -x $$Это уравнение прямой. Найдем значения на концах промежутка. При $x = 0$ получаем $y = -0 = 0$, поэтому точка $(0, 0)$ принадлежит графику. Когда $x$ стремится к $1$ слева ($x \to 1^-$), $y$ стремится к $-1$. Точка $(1, -1)$ не принадлежит графику, так как $x < 1$, и в этой точке на графике будет "выколотая" точка. Таким образом, на промежутке $[0, 1)$ график представляет собой отрезок прямой, соединяющий точку $(0, 0)$ (включительно) и точку $(1, -1)$ (исключительно).

Используя периодичность функции с периодом $T=1$, мы можем получить весь график, сдвигая построенный отрезок вдоль оси $x$ на целые числа. Например, на промежутке $[1, 2)$ имеем $[x]=1$, $\{x\} = x - 1$, и $y = -(x - 1) = 1 - x$. Это отрезок от точки $(1, 0)$ до $(2, -1)$ (выколота). На промежутке $[2, 3)$ получаем $y = 2 - x$, что является отрезком от точки $(2, 0)$ до $(3, -1)$ (выколота). Аналогично, на промежутке $[-1, 0)$ имеем $y = -x - 1$, что является отрезком от точки $(-1, 0)$ до $(0, -1)$ (выколота).

В общем виде, для любого целого $n$, на промежутке $[n, n+1)$ имеем:$$ [x] = n $$$$ \{x\} = x - n $$$$ y = -(x - n) = n - x $$График функции состоит из бесконечного множества параллельных отрезков. Каждый отрезок имеет наклон $-1$ и соединяет точку $(n, 0)$ (включительно) с точкой $(n+1, -1)$ (исключительно), где $n$ — любое целое число.

Ответ: График функции $y = -\{x\}$ представляет собой совокупность отрезков. Для каждого целого числа $n$ на полуинтервале $[n, n+1)$ график является отрезком прямой $y = n - x$. Этот отрезок соединяет точку с координатами $(n, 0)$ (которая принадлежит графику) и точку с координатами $(n+1, -1)$ (которая не принадлежит графику). Все отрезки параллельны друг другу и имеют угловой коэффициент $-1$.