Страница 258 - гдз по алгебре 8 класс учебник Макарычев, Миндюк

1150. Найдите нули функции (если они существуют):

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{a) }}y=\frac{2x+11}{10} \\ \frac{2x+11}{10}=0 \\ 2x+11=0 \\ 2x=-11 \\ x=-5,5 \end{gathered}$$

Ответ: -5,5

б) $y=\frac{6}{8-0,5x}y=\backslash frac\{6\}\{8-0,5x\}$

Ответ: нулей нет

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{в) }}y=\frac{3x^2-12}{4} \\ \frac{3x^2-12}{4}=0 \\ 3x^2-12=0 \\ 3x^2=12 \\ {x}^2=4 \\ x=2\text{ или }x=-2 \end{gathered}$$

Ответ: -2 и 2

Нули функции — это значения аргумента ($x$), при которых значение функции ($y$) равно нулю. Чтобы найти нули функции, необходимо приравнять ее к нулю и решить полученное уравнение.

а) $y = \frac{2x + 11}{10}$

Приравняем функцию к нулю:

$\frac{2x + 11}{10} = 0$

Дробь равна нулю тогда и только тогда, когда её числитель равен нулю, а знаменатель не равен нулю. Знаменатель равен 10, что не равно нулю, поэтому приравниваем к нулю числитель:

$2x + 11 = 0$

$2x = -11$

$x = -\frac{11}{2}$

$x = -5,5$

Ответ: -5,5

б) $y = \frac{6}{8 - 0,5x}$

Приравняем функцию к нулю:

$\frac{6}{8 - 0,5x} = 0$

Дробь может быть равна нулю только если её числитель равен нулю. В данном уравнении числитель равен 6. Так как $6 \neq 0$, то уравнение не имеет решений, а значит, функция не имеет нулей. Область определения функции при этом требует, чтобы знаменатель не был равен нулю: $8 - 0,5x \neq 0$, то есть $x \neq 16$.

Ответ: нулей не существует

в) $y = \frac{3x^2 - 12}{4}$

Приравняем функцию к нулю:

$\frac{3x^2 - 12}{4} = 0$

Дробь равна нулю, когда её числитель равен нулю, а знаменатель не равен нулю. Знаменатель равен 4, что не равно нулю. Решаем уравнение для числителя:

$3x^2 - 12 = 0$

Перенесем 12 в правую часть:

$3x^2 = 12$

Разделим обе части на 3:

$x^2 = \frac{12}{3}$

$x^2 = 4$

Уравнение имеет два корня:

$x_1 = \sqrt{4} = 2$

$x_2 = -\sqrt{4} = -2$

Ответ: -2; 2

1151. Известно, что y = f(x) и y = g(x) — возрастающие (убывающие) функции. Докажите, что функция φ = f(x) + g(x) является возрастающей (убывающей) функцией.

1) Так как y=f(x) и y=g(x) - возрастающие, то при $x_1>x_2$

$$\begin{gathered} +\begin{array}{c}f\left(x_1\right)>f\left(x_2\right)\\ g\left(x_1\right)>g\left(x_2\right)\end{array} \\ \overline{f\left(x_1\right)+g\left(x_1\right)>f\left(x_2\right)+g\left(x_2\right)} \end{gathered}$$

Пусть $\phi \left(x_1\right)=f\left(x_1\right)+g\left(x_1\right); \phi \left(x_2\right)=f\left(x_2\right)+g\left(x_2\right)\backslash varphi(x\_1)=f(x\_1)+g(x\_1);\; \backslash varphi(x\_2)=f(x\_2)+g(x\_2)$, тогда $\phi \left(x_1\right)>\phi \left(x_2\right)\backslash varphi(x\_1)\; >\; \backslash varphi(x\_2)$ при $x_1>x_{2}x\_1\; >\; x\_2$

Значит, сумма двух возрастающих функций является функцией возрастающей.

2) Так как y=f(x) и y=g(x) -yбывающие, то при $x_1>x_2$

$$\begin{gathered} +\begin{array}{c}f\left(x_1\right)<f\left(x_2\right)\\ g\left(x_1\right)<g\left(x_2\right)\end{array} \\ \overline{f\left(x_1\right)+g\left(x_1\right)<f\left(x_2\right)+g\left(x_2\right)} \end{gathered}$$

Пусть $\phi \left(x_1\right)=f\left(x_1\right)+g\left(x_1\right); \phi \left(x_2\right)=f\left(x_2\right)+g\left(x_2\right)\backslash varphi(x\_1)=f(x\_1)+g(x\_1);\; \backslash varphi(x\_2)=f(x\_2)+g(x\_2)$, тогда при $x_1>x_{2}x\_1\; >\; x\_2$

Значит, сумма двух убывающих функций является функцией убывающей

Докажем утверждение для двух случаев, упомянутых в условии.

Доказательство для возрастающих функций

Пусть функции $y = f(x)$ и $y = g(x)$ являются возрастающими на некотором множестве $D$. Это означает, что для любых двух значений $x_1$ и $x_2$ из множества $D$, таких что $x_1 < x_2$, выполняются неравенства: $f(x_1) < f(x_2)$ и $g(x_1) < g(x_2)$.

Рассмотрим функцию $\phi(x) = f(x) + g(x)$. Нам нужно доказать, что она также является возрастающей, то есть что для любых $x_1, x_2 \in D$ и $x_1 < x_2$ выполняется неравенство $\phi(x_1) < \phi(x_2)$.

Возьмем два верных неравенства для $x_1 < x_2$:
$f(x_1) < f(x_2)$
$g(x_1) < g(x_2)$

Сложим эти неравенства почленно (согласно свойству числовых неравенств, неравенства одного знака можно складывать): $f(x_1) + g(x_1) < f(x_2) + g(x_2)$.

Так как $\phi(x_1) = f(x_1) + g(x_1)$ и $\phi(x_2) = f(x_2) + g(x_2)$, то полученное неравенство можно записать как: $\phi(x_1) < \phi(x_2)$.

Таким образом, для любых $x_1 < x_2$ из области определения следует, что $\phi(x_1) < \phi(x_2)$, что по определению означает, что функция $\phi(x)$ является возрастающей.

Ответ: Сумма двух возрастающих функций является возрастающей функцией.

Доказательство для убывающих функций

Пусть функции $y = f(x)$ и $y = g(x)$ являются убывающими на некотором множестве $D$. Это означает, что для любых двух значений $x_1$ и $x_2$ из множества $D$, таких что $x_1 < x_2$, выполняются неравенства: $f(x_1) > f(x_2)$ и $g(x_1) > g(x_2)$.

Рассмотрим функцию $\phi(x) = f(x) + g(x)$. Нам нужно доказать, что она также является убывающей, то есть что для любых $x_1, x_2 \in D$ и $x_1 < x_2$ выполняется неравенство $\phi(x_1) > \phi(x_2)$.

Возьмем два верных неравенства для $x_1 < x_2$:
$f(x_1) > f(x_2)$
$g(x_1) > g(x_2)$

Сложим эти неравенства почленно: $f(x_1) + g(x_1) > f(x_2) + g(x_2)$.

Так как $\phi(x_1) = f(x_1) + g(x_1)$ и $\phi(x_2) = f(x_2) + g(x_2)$, то полученное неравенство можно записать как: $\phi(x_1) > \phi(x_2)$.

Таким образом, для любых $x_1 < x_2$ из области определения следует, что $\phi(x_1) > \phi(x_2)$, что по определению означает, что функция $\phi(x)$ является убывающей.

Ответ: Сумма двух убывающих функций является убывающей функцией.

1152. Известно, что y = f(x) — возрастающая функция и a — некоторое число. Докажите, что уравнение f(x) = a имеет не более одного корня.

Предположим, что уравнение $f\left(x\right)=а$ имеет более одного корня. Пусть ${х}_1<x_2$ - корни уравнения, Тогда $f\left(x_1\right)<f\left(x_2\right)$ (T.к. функция возрастающая).

Ho $f\left(x_1\right)=а$ и $f\left(x_2\right)=а$. Получили, что $f\left(x_1\right)=\left(x_2\right)=а$

Значит, ${х}_1={х}_2$ и уравнение $f\left(x\right)=а$ имеет не более одного корня

Для доказательства данного утверждения воспользуемся методом от противного.

Предположим, что уравнение $f(x) = a$ имеет более одного корня. Это означает, что существуют как минимум два различных корня, назовем их $x_1$ и $x_2$, такие что $x_1 \neq x_2$.

Поскольку $x_1$ и $x_2$ являются корнями уравнения $f(x) = a$, то по определению корня выполняются равенства:

$f(x_1) = a$

$f(x_2) = a$

Из этих двух равенств следует, что $f(x_1) = f(x_2)$.

Так как корни $x_1$ и $x_2$ различны, то одно из них больше другого. Без ограничения общности, предположим, что $x_2 > x_1$.

По условию задачи, функция $y = f(x)$ является возрастающей. Согласно определению возрастающей функции, для любых двух значений аргумента $x_1$ и $x_2$ из области определения, если $x_2 > x_1$, то должно выполняться неравенство $f(x_2) > f(x_1)$.

Таким образом, мы пришли к противоречию:

1. Из нашего предположения о существовании двух корней следует, что $f(x_1) = f(x_2)$.
2. Из свойства возрастающей функции следует, что $f(x_2) > f(x_1)$.

Одновременное выполнение равенства и строгого неравенства невозможно. Следовательно, наше первоначальное предположение о том, что уравнение имеет более одного корня, является неверным.

Это означает, что уравнение $f(x) = a$ может иметь один корень или не иметь корней вовсе, то есть оно имеет не более одного корня.

Ответ: Утверждение доказано. Уравнение $f(x)=a$, где $f(x)$ — возрастающая функция, имеет не более одного корня.

1153. Решите уравнение:

a) $\sqrt{x}+x^2=18\backslash sqrt\{x\}+x^2=18$

Т.к. $y=\sqrt{x}y=\backslash sqrt\{x\}$ - функция возрастающая при $x\ge 0x\; \backslash ge\; 0$, то и $y=x^{2}y=x^2$ возрастает при $x\ge 0x\; \backslash ge\; 0$

Следовательно, сумме двух возрастающих функций есть функция возрастающая и данное уравнение имеет один корень

Подбором находим, что x=4

Действительно, $\sqrt{4}+4^2=2+16=18\backslash sqrt\{4\}+4^2=2+16=18$

Ответ: 4

б) $x^3+5x=6x^3+5x=6$

Функция $y=x^{3}y=x^3$ возрастающая, функция $y=5xy=5x$ возрастающая. Сумма двух возрастающих функций есть функция возрастающая. Значит, уравнение имеет один корень. Подбором находим, что x=1

Проверим: $1^3+5·1=1+5=61^3+5\; \backslash cdot\; 1=1+5=6$

Ответ: 1

а) $vx + x? = 18$

Сначала определим область допустимых значений (ОДЗ) для переменной $x$. Поскольку в уравнении присутствует квадратный корень, подкоренное выражение должно быть неотрицательным: $x ? 0$.

Рассмотрим функцию $f(x) = vx + x?$, которая находится в левой части уравнения. Эта функция определена для всех $x ? 0$. Функция $y_1 = vx$ является возрастающей на своей области определения ($x ? 0$). Функция $y_2 = x?$ также является возрастающей на промежутке $[0, +?)$. Сумма двух возрастающих на одном и том же промежутке функций также является возрастающей функцией. Следовательно, функция $f(x) = vx + x?$ строго возрастает при $x ? 0$.

Если функция строго монотонна, то любое своё значение она принимает ровно один раз. Это означает, что уравнение $f(x) = 18$ может иметь не более одного решения.

Попробуем найти этот корень методом подбора, проверяя небольшие целые значения $x$, которые являются точными квадратами.
Проверим значение $x = 4$:
$v4 + 4? = 2 + 16 = 18$.

Равенство $18 = 18$ выполняется. Следовательно, $x = 4$ является корнем уравнения. Поскольку мы установили, что решение единственное, других корней у уравнения нет.

Ответ: $x = 4$.

б) $x? + 5x = 6$

Рассмотрим функцию $f(x) = x? + 5x$. Область определения этой функции — все действительные числа ($x ? R$). Уравнение можно записать в виде $f(x) = 6$.

Для анализа поведения функции найдем её производную:
$f'(x) = (x? + 5x)' = 3x? + 5$.

Выражение $x?$ всегда неотрицательно ($x? ? 0$), поэтому $3x? ? 0$. Отсюда следует, что производная $f'(x) = 3x? + 5 ? 5$. Так как $f'(x) > 0$ для всех значений $x$, функция $f(x) = x? + 5x$ является строго возрастающей на всей числовой прямой.

Как и в предыдущем случае, строго возрастающая функция принимает каждое своё значение только один раз. Это значит, что уравнение $f(x) = 6$ имеет не более одного корня.

Найдем этот корень методом подбора. Проверим $x = 1$:
$1? + 5 \cdot 1 = 1 + 5 = 6$.

Равенство $6 = 6$ верно, значит $x = 1$ — это корень уравнения. Так как корень единственный, это и есть решение.

Альтернативный способ:
Перенесем все члены в одну сторону: $x? + 5x - 6 = 0$.
Мы уже подобрали корень $x=1$. Это значит, что многочлен $x? + 5x - 6$ делится на $(x - 1)$ без остатка. Выполним разложение на множители:
$x? - x? + x? - x + 6x - 6 = 0$
$x?(x - 1) + x(x - 1) + 6(x - 1) = 0$
$(x - 1)(x? + x + 6) = 0$
Произведение равно нулю, если один из множителей равен нулю:
1) $x - 1 = 0 \implies x = 1$.
2) $x? + x + 6 = 0$. Найдем дискриминант: $D = b? - 4ac = 1? - 4 \cdot 1 \cdot 6 = 1 - 24 = -23$.
Поскольку $D < 0$, квадратное уравнение не имеет действительных корней.
Таким образом, единственным решением является $x=1$.

Ответ: $x = 1$.

1154. Какие из функций, заданных формулами сохраняют знак на всей области определения?

$$\begin{gathered} y=x^2, D\left(y\right)=R; x^2\ge 0\text{ при любом }x\in R \\ y=x^2+5; D\left(y\right)=R; x^2+5\ge 0\text{ при любом }x\in R \\ \begin{array}{cll}y=2x+5; D\left(y\right)=R,& 2x+5>0\text{ и }& 2x+5<0\\ & 2x>-5 \\ x>-2,5& 2x<-5 \\ x<-2,5\end{array} \\ \begin{array}{r}y=x^3, D\left(y\right)=R; x^3>0\text{ при }x>0\\ x^3<0\text{ при }x<0\end{array} \\ y=-x^2, D\left(y\right)=R; -x^2\le 0\text{ при любих }x\in R \end{gathered}$$
$y=-x^2-4; D\left(y\right)=R; -x^2-4=-\left(x^2+4\right)<0$$\text{при }x\in R$
$$\begin{gathered} y=\sqrt{x}; D\left(y\right)=[0; +\mathrm{\infty }), \sqrt{x}\ge 0\text{ при }x\in D\left(y\right) \\ y=\sqrt{x}+1; D\left(y\right)=[1; +\mathrm{\infty }),\sqrt{x}+1>0\text{ при }x\in D\left(y\right) \\ y=x^4+x^2+6, D\left(y\right)=R \\ {x}^4\ge 0; x^2\ge 0; x^4+x^2\ge 0; x^4+x^2+6\ge 0 \text{при }x\in R \\ \mathbf{\text{Ответ: }}y=x^2; y=x^2+5; y=-x^2; y=-x^2-4; \\ y=\sqrt{x}; y=\sqrt{x}+1; y=x^4+x^2+6 \end{gathered}$$

Чтобы определить, какие из функций сохраняют знак на всей области определения, необходимо проанализировать каждую функцию. Функция сохраняет знак, если на всей своей области определения она принимает значения только одного знака (только положительные, только отрицательные, или неотрицательные/неположительные, включая ноль).

$y = x^2$

Область определения этой функции — все действительные числа, $x \in (-\infty; +\infty)$. Квадрат любого действительного числа является неотрицательным. То есть, $x^2 \ge 0$ для любого $x$. Значение функции равно нулю при $x = 0$ и положительно при всех остальных значениях $x$. Следовательно, функция сохраняет знак (неотрицательна) на всей области определения.

Ответ: сохраняет знак.

$y = x^2 + 5$

Область определения — все действительные числа, $x \in (-\infty; +\infty)$. Поскольку $x^2 \ge 0$ для любого $x$, то $x^2 + 5 \ge 5$. Все значения функции строго положительны ($y > 0$). Следовательно, функция сохраняет знак на всей области определения.

Ответ: сохраняет знак.

$y = 2x + 5$

Область определения — все действительные числа, $x \in (-\infty; +\infty)$. Это линейная функция. Найдем, при каком $x$ функция обращается в ноль: $2x + 5 = 0 \implies x = -2.5$. При $x > -2.5$ значения функции положительны (например, при $x=0$, $y=5$). При $x < -2.5$ значения функции отрицательны (например, при $x=-3$, $y=-1$). Функция принимает как положительные, так и отрицательные значения.

Ответ: не сохраняет знак.

$y = x^3$

Область определения — все действительные числа, $x \in (-\infty; +\infty)$. Если $x > 0$, то $y = x^3 > 0$. Если $x < 0$, то $y = x^3 < 0$. Функция принимает как положительные, так и отрицательные значения.

Ответ: не сохраняет знак.

$y = -x^2$

Область определения — все действительные числа, $x \in (-\infty; +\infty)$. Так как $x^2 \ge 0$ для любого $x$, то $-x^2 \le 0$. Значение функции равно нулю при $x = 0$ и отрицательно при всех остальных значениях $x$. Следовательно, функция сохраняет знак (неположительна) на всей области определения.

Ответ: сохраняет знак.

$y = -x^2 - 4$

Область определения — все действительные числа, $x \in (-\infty; +\infty)$. Поскольку $x^2 \ge 0$, то $-x^2 \le 0$. Следовательно, $-x^2 - 4 \le -4$. Все значения функции строго отрицательны ($y < 0$). Функция сохраняет знак на всей области определения.

Ответ: сохраняет знак.

$y = \sqrt{x}$

Область определения функции: подкоренное выражение должно быть неотрицательным, то есть $x \ge 0$. Область определения: $[0; +\infty)$. По определению арифметического квадратного корня, его значение всегда неотрицательно. На всей своей области определения $y = \sqrt{x} \ge 0$. Следовательно, функция сохраняет знак.

Ответ: сохраняет знак.

$y = \sqrt{x} + 1$

Область определения: $x \ge 0$, то есть $[0; +\infty)$. Поскольку $\sqrt{x} \ge 0$ для всех $x$ из области определения, то $\sqrt{x} + 1 \ge 1$. Все значения функции строго положительны ($y > 0$). Функция сохраняет знак на всей области определения.

Ответ: сохраняет знак.

$y = x^4 + x^2 + 6$

Область определения — все действительные числа, $x \in (-\infty; +\infty)$. Рассмотрим слагаемые: $x^4 \ge 0$ и $x^2 \ge 0$ для любых действительных $x$, так как это четные степени. Следовательно, их сумма $x^4 + x^2 \ge 0$. Тогда вся функция $y = x^4 + x^2 + 6 \ge 0 + 6 = 6$. Все значения функции строго положительны ($y > 0$). Функция сохраняет знак на всей области определения.

Ответ: сохраняет знак.

1155. На рисунке 76 изображён график одной из функций: Какой именно?

$$\begin{gathered} y=\sqrt{x-1}; x-1\ge 0; x\ge 1 \\ y=\sqrt{x+1}; x+1\ge 0; x\ge -1 \\ y=\sqrt{1-x}; 1-x\ge 0; x\le 1 \end{gathered}$$

Ответ: $y=\sqrt{1-x}y=\backslash sqrt\{1-x\}$

Для того чтобы определить, какая из функций изображена на графике, необходимо проанализировать область определения и ключевые точки для каждой из предложенных функций и сравнить их с графиком.

На графике видно, что:

1. Область определения функции — это все значения $x$, которые не превышают 1, то есть $x \le 1$.

2. График проходит через две ключевые точки: $(1, 0)$ и $(0, 1)$.

Теперь поочередно проверим каждую из функций.

$y = \sqrt{x - 1}$

Найдем область определения этой функции. Выражение под знаком квадратного корня должно быть неотрицательным: $x - 1 \ge 0$, откуда $x \ge 1$. Эта область определения ($[1; +\infty)$) не совпадает с областью определения на графике ($(-\infty; 1]$). Следовательно, эта функция не является искомой.

$y = \sqrt{x + 1}$

Найдем область определения: $x + 1 \ge 0$, откуда $x \ge -1$. Эта область определения ($[-1; +\infty)$) также не соответствует графику. Кроме того, проверим точку пересечения с осью $x$. При $y = 0$, имеем $\sqrt{x+1} = 0$, что дает $x = -1$. Точка пересечения с осью абсцисс — $(-1, 0)$, а на рисунке это точка $(1, 0)$. Таким образом, эта функция тоже не подходит.

$y = \sqrt{1 - x}$

Найдем область определения: $1 - x \ge 0$, откуда $x \le 1$. Область определения $(-\infty; 1]$ полностью совпадает с тем, что мы видим на графике.

Проверим ключевые точки:

- Если $x = 1$, то $y = \sqrt{1 - 1} = \sqrt{0} = 0$. График проходит через точку $(1, 0)$. Это соответствует рисунку.

- Если $x = 0$, то $y = \sqrt{1 - 0} = \sqrt{1} = 1$. График проходит через точку $(0, 1)$. Это также соответствует рисунку.

Так как и область определения, и ключевые точки совпали, делаем вывод, что на рисунке изображен график функции $y = \sqrt{1 - x}$.

Ответ: $y = \sqrt{1 - x}$

1156. Какой из трёх графиков, изображённых на рисунке 77, является графиком функции y = |x – 2|?

$$\begin{gathered} y=\left|x-2\right| \\ D\left(y\right)=R; E\left(y\right)=[0; +\mathrm{\infty }) \\ y\left(2\right)=\left|2-2\right|=0 \end{gathered}$$

Ответ: 2.

Для того чтобы определить, какой из графиков является графиком функции $y = |x - 2|$, проанализируем свойства этой функции и сравним их с представленными на рисунке графиками.

1. Анализ функции $y = |x - 2|$

График функции с модулем вида $y = |x - a|$ можно получить путем сдвига графика функции $y = |x|$ вдоль оси абсцисс. График $y = |x|$ — это "галочка", вершина которой находится в начале координат, в точке $(0, 0)$.

В нашем случае функция $y = |x - 2|$. Это означает, что график $y = |x|$ сдвигается на 2 единицы вправо вдоль оси OX. Следовательно, вершина графика функции $y = |x - 2|$ будет находиться в точке $(2, 0)$.

Также найдем точку пересечения графика с осью ординат (осью OY), подставив в уравнение $x = 0$:

$y = |0 - 2| = |-2| = 2$.

Таким образом, график должен проходить через точку $(0, 2)$.

Кроме того, по определению модуля, значение функции $y$ не может быть отрицательным, то есть $y \geq 0$ для любого $x$. Это значит, что весь график должен лежать выше или на оси OX.

2. Сравнение с предложенными графиками

Теперь сопоставим наши выводы с каждым из трех графиков.

1. На первом графике вершина находится в точке $(2, -2)$, что ниже оси OX. Это противоречит свойству $y \geq 0$. Следовательно, этот график не является графиком функции $y = |x - 2|$.

2. На втором графике вершина находится в точке $(2, 0)$. График пересекает ось OY в точке $(0, 2)$. Весь график расположен не ниже оси OX. Все эти свойства полностью соответствуют функции $y = |x - 2|$.

3. На третьем графике вершина находится в точке $(-2, 0)$. Этот график соответствует функции $y = |x + 2|$ (сдвиг графика $y = |x|$ на 2 единицы влево), а не $y = |x - 2|$.

Из анализа следует, что только второй график правильно изображает функцию $y = |x - 2|$.

Ответ: 2.

1157. Постройте график функции y =6|х| и опишите её свойства.

$y=\frac{6}{\mathrm{\mid }x\mathrm{\mid }}y=\backslash frac\{6\}\{|x|\}$

Если $x>0x>0$, то $y=\frac{6}{x}y=\backslash frac\{6\}\{x\}$

Если , то $y=-\frac{6}{x}y=-\backslash frac\{6\}\{x\}$

1. $D\left(y\right)=\left(-\mathrm{\infty }; 0\right)\cup \left(0; +\mathrm{\infty }\right)D(y)=(-\backslash infty;\; 0)\; \backslash cup\; (0;+\backslash infty)$

2. $E\left(y\right)=\left(0; +\mathrm{\infty }\right)E(y)=(0;+\backslash infty)$

3. Нулей нет

4. $y>0y\; >\; 0$ при $x\in \left(-\mathrm{\infty }; 0\right)\cup \left(0; +\mathrm{\infty }\right)x\; \backslash in\; (-\backslash infty;\; 0)\; \backslash cup\; (0;+\backslash infty)$

5. Функция возрастает при $x\in \left(-\mathrm{\infty }; 0\right)x\; \backslash in\; (-\backslash infty;\; 0)$, убывает при $x\in \left(0; +\mathrm{\infty }\right)x\; \backslash in\; (0;+\backslash infty)$

Наибольшего и наименьшего значения функция не имеет.

Построение графика функции $y = \frac{6}{|x|}$

1. Анализ функции.
Функция $y = \frac{6}{|x|}$ определена для всех действительных чисел $x$, при которых знаменатель не равен нулю. Условие $|x| \ne 0$ означает, что $x \ne 0$.
Область определения функции: $D(y) = (-\infty; 0) \cup (0; +\infty)$.
Исследуем функцию на четность, подставив $-x$ вместо $x$:
$y(-x) = \frac{6}{|-x|} = \frac{6}{|x|} = y(x)$.
Так как $y(-x) = y(x)$, функция является четной. Это означает, что ее график симметричен относительно оси ординат ($Oy$).

2. Раскрытие модуля и построение по частям.
Благодаря свойству четности, достаточно построить график для $x > 0$ и затем симметрично отразить его относительно оси $Oy$.
При $x > 0$, имеем $|x| = x$, и функция принимает вид $y = \frac{6}{x}$. Это ветвь стандартной гиперболы, расположенная в I координатной четверти. Для ее построения найдем координаты нескольких контрольных точек:

Построив эту ветвь, отражаем ее симметрично относительно оси $Oy$ и получаем вторую ветвь графика, которая находится во II координатной четверти. Эта ветвь соответствует функции $y = \frac{6}{-x}$ (или $y = -\frac{6}{x}$) при $x < 0$.

Ответ: График функции $y = \frac{6}{|x|}$ состоит из двух ветвей гиперболы, расположенных в I и II координатных четвертях. Первая ветвь является графиком функции $y=\frac{6}{x}$ при $x>0$. Вторая ветвь симметрична первой относительно оси $Oy$. Оси координат ($x=0$ и $y=0$) являются асимптотами графика.

Свойства функции $y = \frac{6}{|x|}$

1. Область определения: все действительные числа, кроме $x=0$.
   $D(y) = (-\infty; 0) \cup (0; +\infty)$.
2. Область значений: все положительные действительные числа.
   $E(y) = (0; +\infty)$.
3. Четность: функция четная, так как $y(-x) = y(x)$. График симметричен относительно оси $Oy$.
4. Нули функции: отсутствуют. Уравнение $\frac{6}{|x|} = 0$ не имеет решений. График не пересекает ось $Ox$.
5. Точки пересечения с осями координат: отсутствуют, так как $x \ne 0$.
6. Промежутки знакопостоянства: $y > 0$ на всей области определения.
7. Промежутки монотонности: функция возрастает на промежутке $(-\infty; 0)$ и убывает на промежутке $(0; +\infty)$.
8. Экстремумы: функция не имеет точек минимума и максимума.
9. Асимптоты:
   - вертикальная асимптота: прямая $x=0$ (ось $Oy$).
   - горизонтальная асимптота: прямая $y=0$ (ось $Ox$).

Ответ: Свойства функции:
1. Область определения: $D(y) = (-\infty; 0) \cup (0; +\infty)$.
2. Область значений: $E(y) = (0; +\infty)$.
3. Функция является четной.
4. Нулей нет, график не пересекает оси координат.
5. Функция положительна на всей области определения.
6. Возрастает на $(-\infty; 0)$, убывает на $(0; +\infty)$.
7. Экстремумов нет.
8. Асимптоты: $x=0$ (вертикальная) и $y=0$ (горизонтальная).