Номер 1152, страница 258 - гдз по алгебре 8 класс учебник Макарычев, Миндюк

К параграфу 13. Дополнительные упражнения к главе V. Глава 5. Функции - номер 1152, страница 258.

1152. Известно, что y = f(x) — возрастающая функция и a — некоторое число. Докажите, что уравнение f(x) = a имеет не более одного корня.

Предположим, что уравнение $f\left(x\right)=а$ имеет более одного корня. Пусть ${х}_1<x_2$ - корни уравнения, Тогда $f\left(x_1\right)<f\left(x_2\right)$ (T.к. функция возрастающая).

Ho $f\left(x_1\right)=а$ и $f\left(x_2\right)=а$. Получили, что $f\left(x_1\right)=\left(x_2\right)=а$

Значит, ${х}_1={х}_2$ и уравнение $f\left(x\right)=а$ имеет не более одного корня

Для доказательства данного утверждения воспользуемся методом от противного.

Предположим, что уравнение $f(x) = a$ имеет более одного корня. Это означает, что существуют как минимум два различных корня, назовем их $x_1$ и $x_2$, такие что $x_1 \neq x_2$.

Поскольку $x_1$ и $x_2$ являются корнями уравнения $f(x) = a$, то по определению корня выполняются равенства:

$f(x_1) = a$

$f(x_2) = a$

Из этих двух равенств следует, что $f(x_1) = f(x_2)$.

Так как корни $x_1$ и $x_2$ различны, то одно из них больше другого. Без ограничения общности, предположим, что $x_2 > x_1$.

По условию задачи, функция $y = f(x)$ является возрастающей. Согласно определению возрастающей функции, для любых двух значений аргумента $x_1$ и $x_2$ из области определения, если $x_2 > x_1$, то должно выполняться неравенство $f(x_2) > f(x_1)$.

Таким образом, мы пришли к противоречию:

1. Из нашего предположения о существовании двух корней следует, что $f(x_1) = f(x_2)$.
2. Из свойства возрастающей функции следует, что $f(x_2) > f(x_1)$.

Одновременное выполнение равенства и строгого неравенства невозможно. Следовательно, наше первоначальное предположение о том, что уравнение имеет более одного корня, является неверным.

Это означает, что уравнение $f(x) = a$ может иметь один корень или не иметь корней вовсе, то есть оно имеет не более одного корня.

Ответ: Утверждение доказано. Уравнение $f(x)=a$, где $f(x)$ — возрастающая функция, имеет не более одного корня.