Номер 1151, страница 258 - гдз по алгебре 8 класс учебник Макарычев, Миндюк

К параграфу 13. Дополнительные упражнения к главе V. Глава 5. Функции - номер 1151, страница 258.

1151. Известно, что y = f(x) и y = g(x) — возрастающие (убывающие) функции. Докажите, что функция φ = f(x) + g(x) является возрастающей (убывающей) функцией.

1) Так как y=f(x) и y=g(x) - возрастающие, то при $x_1>x_2$

$$\begin{gathered} +\begin{array}{c}f\left(x_1\right)>f\left(x_2\right)\\ g\left(x_1\right)>g\left(x_2\right)\end{array} \\ \overline{f\left(x_1\right)+g\left(x_1\right)>f\left(x_2\right)+g\left(x_2\right)} \end{gathered}$$

Пусть $\phi \left(x_1\right)=f\left(x_1\right)+g\left(x_1\right); \phi \left(x_2\right)=f\left(x_2\right)+g\left(x_2\right)\backslash varphi(x\_1)=f(x\_1)+g(x\_1);\; \backslash varphi(x\_2)=f(x\_2)+g(x\_2)$, тогда $\phi \left(x_1\right)>\phi \left(x_2\right)\backslash varphi(x\_1)\; >\; \backslash varphi(x\_2)$ при $x_1>x_{2}x\_1\; >\; x\_2$

Значит, сумма двух возрастающих функций является функцией возрастающей.

2) Так как y=f(x) и y=g(x) -yбывающие, то при $x_1>x_2$

$$\begin{gathered} +\begin{array}{c}f\left(x_1\right)<f\left(x_2\right)\\ g\left(x_1\right)<g\left(x_2\right)\end{array} \\ \overline{f\left(x_1\right)+g\left(x_1\right)<f\left(x_2\right)+g\left(x_2\right)} \end{gathered}$$

Пусть $\phi \left(x_1\right)=f\left(x_1\right)+g\left(x_1\right); \phi \left(x_2\right)=f\left(x_2\right)+g\left(x_2\right)\backslash varphi(x\_1)=f(x\_1)+g(x\_1);\; \backslash varphi(x\_2)=f(x\_2)+g(x\_2)$, тогда при $x_1>x_{2}x\_1\; >\; x\_2$

Значит, сумма двух убывающих функций является функцией убывающей

Докажем утверждение для двух случаев, упомянутых в условии.

Доказательство для возрастающих функций

Пусть функции $y = f(x)$ и $y = g(x)$ являются возрастающими на некотором множестве $D$. Это означает, что для любых двух значений $x_1$ и $x_2$ из множества $D$, таких что $x_1 < x_2$, выполняются неравенства: $f(x_1) < f(x_2)$ и $g(x_1) < g(x_2)$.

Рассмотрим функцию $\phi(x) = f(x) + g(x)$. Нам нужно доказать, что она также является возрастающей, то есть что для любых $x_1, x_2 \in D$ и $x_1 < x_2$ выполняется неравенство $\phi(x_1) < \phi(x_2)$.

Возьмем два верных неравенства для $x_1 < x_2$:
$f(x_1) < f(x_2)$
$g(x_1) < g(x_2)$

Сложим эти неравенства почленно (согласно свойству числовых неравенств, неравенства одного знака можно складывать): $f(x_1) + g(x_1) < f(x_2) + g(x_2)$.

Так как $\phi(x_1) = f(x_1) + g(x_1)$ и $\phi(x_2) = f(x_2) + g(x_2)$, то полученное неравенство можно записать как: $\phi(x_1) < \phi(x_2)$.

Таким образом, для любых $x_1 < x_2$ из области определения следует, что $\phi(x_1) < \phi(x_2)$, что по определению означает, что функция $\phi(x)$ является возрастающей.

Ответ: Сумма двух возрастающих функций является возрастающей функцией.

Доказательство для убывающих функций

Пусть функции $y = f(x)$ и $y = g(x)$ являются убывающими на некотором множестве $D$. Это означает, что для любых двух значений $x_1$ и $x_2$ из множества $D$, таких что $x_1 < x_2$, выполняются неравенства: $f(x_1) > f(x_2)$ и $g(x_1) > g(x_2)$.

Рассмотрим функцию $\phi(x) = f(x) + g(x)$. Нам нужно доказать, что она также является убывающей, то есть что для любых $x_1, x_2 \in D$ и $x_1 < x_2$ выполняется неравенство $\phi(x_1) > \phi(x_2)$.

Возьмем два верных неравенства для $x_1 < x_2$:
$f(x_1) > f(x_2)$
$g(x_1) > g(x_2)$

Сложим эти неравенства почленно: $f(x_1) + g(x_1) > f(x_2) + g(x_2)$.

Так как $\phi(x_1) = f(x_1) + g(x_1)$ и $\phi(x_2) = f(x_2) + g(x_2)$, то полученное неравенство можно записать как: $\phi(x_1) > \phi(x_2)$.

Таким образом, для любых $x_1 < x_2$ из области определения следует, что $\phi(x_1) > \phi(x_2)$, что по определению означает, что функция $\phi(x)$ является убывающей.

Ответ: Сумма двух убывающих функций является убывающей функцией.