Номер 1145, страница 257 - гдз по алгебре 8 класс учебник Макарычев, Миндюк

К параграфу 13. Дополнительные упражнения к главе V. Глава 5. Функции - номер 1145, страница 257.

1145. Длина прямоугольника ABCD (рис. 75) равна 10 см, а ширина — 7 см. Отрезок MN передвигается от отрезка AD до отрезка BC, оставаясь параллельным отрезку AD. Площадь y (см²) закрашенной части есть функция расстояния x (см) от точки D до точки N. Задайте функцию y = f(x) формулой. Найдите множество значений этой функции.

$\begin{array}{cl}y=10x, \text{где}& 0<x<7\\ & 0<10x<70\end{array}$

Ответ: y=10x, E(y)=(0; 70)

Задайте функцию y = f(x) формулой.

Согласно условию задачи, имеется прямоугольник $ABCD$ со следующими размерами: длина $AD = 10$ см и ширина $DC = 7$ см. Закрашенная часть на рисунке представляет собой прямоугольник $AMND$.

Площадь $y$ этого прямоугольника вычисляется как произведение длин его смежных сторон, то есть $y = AD \cdot DN$.

Из условия мы знаем, что длина стороны $AD$ равна $10$ см. Также по условию, переменная $x$ — это расстояние от точки $D$ до точки $N$, следовательно, длина стороны $DN$ равна $x$ см.

Подставим известные значения в формулу площади:

$y = 10 \cdot x$

Таким образом, функция $y = f(x)$ задается формулой $y = 10x$.

Ответ: $y = 10x$.

Найдите множество значений этой функции.

Чтобы найти множество значений функции $y = 10x$, необходимо сначала определить ее область определения, то есть все возможные значения, которые может принимать переменная $x$.

Переменная $x$ представляет собой длину отрезка $DN$. Отрезок $MN$ передвигается от отрезка $AD$ до отрезка $BC$.

• Когда отрезок $MN$ совпадает с отрезком $AD$, точка $N$ совпадает с точкой $D$. В этом случае расстояние $DN$ минимально и равно $0$. То есть, $x_{min} = 0$.
• Когда отрезок $MN$ совпадает с отрезком $BC$, точка $N$ совпадает с точкой $C$. В этом случае расстояние $DN$ максимально и равно длине стороны $DC$, то есть $7$ см. То есть, $x_{max} = 7$.

Таким образом, область определения функции — это все значения $x$ в промежутке от $0$ до $7$, включая концы: $0 \le x \le 7$.

Теперь найдем множество значений функции $y = 10x$ на отрезке $[0; 7]$. Так как эта функция является линейной с положительным коэффициентом ($k=10 > 0$), она возрастает на всей своей области определения. Следовательно, наименьшее значение функции будет при наименьшем значении $x$, а наибольшее — при наибольшем значении $x$.

• Минимальное значение функции: $y_{min} = 10 \cdot 0 = 0$.
• Максимальное значение функции: $y_{max} = 10 \cdot 7 = 70$.

Значит, множество значений функции $y$ — это все числа от $0$ до $70$ включительно.

Ответ: Множество значений функции — это отрезок $[0; 70]$, или $0 \le y \le 70$.