Номер 1148, страница 257 - гдз по алгебре 8 класс учебник Макарычев, Миндюк

К параграфу 13. Дополнительные упражнения к главе V. Глава 5. Функции - номер 1148, страница 257.

1148. Катер отправляется от пристани A и идёт вниз по реке к пристани B, до которой 60 км. После двухчасовой стоянки на пристани B он возвращается обратно. Расстояние l (км), пройденное катером от пристани A, зависит от времени t (ч), отсчитываемого с момента отправления катера из A до момента возвращения. Собственная скорость катера 16 км/ч, скорость течения реки 4 км/ч. Задайте l как функцию от t формулами, постройте график функции, опишите по графику её свойства и объясните их физический смысл.

16+4=20 (км/ч) - скорость катера по течению

16-4=12 (км/ч) - скорость катера против течения

60:20=3 (ч) - время, потраченное на путь от A к B

60:12=5 (ч) - время, потраченное на путь от В к А

$l=\left\{\begin{array}{l}20t, 0\le t<3\\ 60, 3\le t<5\\ 60+\left(60-12t\right), 5\le t\le 10\end{array}\right.$

1. D(l)=[0;10]

2. E(l)=[0;60]

3. l(0)=0; l(10)=0

0 и 10 - нули функции

4. При 0≤t<3 функция l(t) возрастает, т.е. первые 3ч катер удалялся от пристани А и его расстояние возрастает.

При 3≤t<5 функция l(t) сохраняет постоянные значения, т.к. катер 2ч стоял

При 5≤t≤10 функция l(t) убывает, т.е. 5ч катер возвращался в А и расстояние убывает.

Задание l как функцию от t формулами

Для того чтобы задать расстояние $l$ (в км) как функцию от времени $t$ (в часах), необходимо рассмотреть три этапа движения катера: путь от пристани А до пристани В, стоянка на пристани В и обратный путь от В к А.

1. Движение от А до В (вниз по течению).
Скорость катера по течению равна сумме его собственной скорости и скорости течения реки: $v_{по\ теч.} = 16 + 4 = 20$ км/ч.
Расстояние между пристанями составляет 60 км. Время, затраченное на этот путь: $t_1 = \frac{60 \text{ км}}{20 \text{ км/ч}} = 3$ часа.
На этом участке, при $0 \le t \le 3$, расстояние от пристани А вычисляется по формуле: $l(t) = 20t$.

2. Стоянка на пристани В.
Катер прибывает в В в момент времени $t=3$ ч. Стоянка длится 2 часа, то есть до $t = 3 + 2 = 5$ ч.
В течение этого времени катер не движется, и расстояние от пристани А остается постоянным и равным 60 км.
Таким образом, при $3 < t \le 5$, имеем $l(t) = 60$.

3. Движение от В до А (против течения).
Скорость катера против течения равна разности его собственной скорости и скорости течения: $v_{против\ теч.} = 16 - 4 = 12$ км/ч.
Время, затраченное на обратный путь: $t_2 = \frac{60 \text{ км}}{12 \text{ км/ч}} = 5$ часов.
Катер отправляется от пристани В в момент $t=5$ и возвращается в А в момент $t = 5 + 5 = 10$ ч.
На этом участке, при $5 < t \le 10$, расстояние от пристани А уменьшается. В момент времени $t$ (где $t > 5$) катер движется от В в течение $(t-5)$ часов. Расстояние от А будет равно: $l(t) = 60 - v_{против\ теч.} \cdot (t - 5) = 60 - 12(t - 5) = 60 - 12t + 60 = 120 - 12t$.

Объединив все три случая, получаем кусочно-заданную функцию.

Ответ: $l(t) = \begin{cases} 20t, & \text{если } 0 \le t \le 3 \\ 60, & \text{если } 3 < t \le 5 \\ 120 - 12t, & \text{если } 5 < t \le 10 \end{cases}$

Построение графика функции

График функции $l(t)$ строится в системе координат, где по горизонтальной оси откладывается время $t$ в часах, а по вертикальной — расстояние $l$ в километрах. График состоит из трех линейных сегментов, соответствующих трем этапам движения.

1. На интервале $0 \le t \le 3$ график представляет собой отрезок прямой $l = 20t$, соединяющий точки $(0, 0)$ и $(3, 60)$.

2. На интервале $3 < t \le 5$ график представляет собой горизонтальный отрезок прямой $l = 60$, соединяющий точки $(3, 60)$ и $(5, 60)$.

3. На интервале $5 < t \le 10$ график представляет собой отрезок прямой $l = 120 - 12t$, соединяющий точки $(5, 60)$ и $(10, 0)$.

Ответ: График функции представляет собой ломаную линию, последовательно соединяющую точки с координатами $(0, 0)$, $(3, 60)$, $(5, 60)$ и $(10, 0)$.

Описание свойств функции по графику и их физический смысл

На основе построенного графика и формул можно выделить следующие свойства функции $l(t)$ и объяснить их физический смысл.

Ответ:

• Область определения: $D(l) = [0, 10]$.
  Физический смысл: Весь рейс катера от отправления из А до возвращения в А занимает 10 часов. Функция рассматривается именно на этом промежутке времени.
• Область значений: $E(l) = [0, 60]$.
  Физический смысл: Расстояние катера от пристани А никогда не превышает 60 км, что равно расстоянию до пристани В. Минимальное расстояние равно 0 (когда катер находится в А).
• Непрерывность: Функция непрерывна на всей области определения.
  Физический смысл: Расстояние катера от пристани А изменяется плавно, без скачков, что соответствует реальному движению физического объекта.
• Монотонность:
  • Функция возрастает на промежутке $[0, 3]$.
    Физический смысл: Катер удаляется от пристани А, двигаясь вниз по течению. Угловой коэффициент графика (20) равен скорости удаления (20 км/ч).
  • Функция постоянна на промежутке $(3, 5]$.
    Физический смысл: Катер стоит на пристани В. Его расстояние от А не меняется и равно 60 км. Скорость равна 0.
  • Функция убывает на промежутке $(5, 10]$.
    Физический смысл: Катер возвращается к пристани А, двигаясь против течения. Расстояние от А уменьшается. Модуль углового коэффициента (-12), равный 12, есть скорость возвращения (12 км/ч).
• Нули функции: $l(t) = 0$ при $t=0$ и $t=10$.
  Физический смысл: В начальный момент времени ($t=0$) и в конечный ($t=10$) катер находится на пристани А, то есть на нулевом расстоянии от нее.
• Наибольшее и наименьшее значения:
  Наибольшее значение функции $l_{max} = 60$ достигается при любом $t \in [3, 5]$.
  Физический смысл: Максимальное удаление от пристани А составляет 60 км и достигается в момент прибытия в В и в течение всей стоянки.
  Наименьшее значение функции $l_{min} = 0$ достигается при $t=0$ и $t=10$.
  Физический смысл: Минимальное расстояние от А равно 0, что соответствует нахождению катера на пристани А.