Номер 1153, страница 258 - гдз по алгебре 8 класс учебник Макарычев, Миндюк

К параграфу 13. Дополнительные упражнения к главе V. Глава 5. Функции - номер 1153, страница 258.

1153. Решите уравнение:

a) $\sqrt{x}+x^2=18\backslash sqrt\{x\}+x^2=18$

Т.к. $y=\sqrt{x}y=\backslash sqrt\{x\}$ - функция возрастающая при $x\ge 0x\; \backslash ge\; 0$, то и $y=x^{2}y=x^2$ возрастает при $x\ge 0x\; \backslash ge\; 0$

Следовательно, сумме двух возрастающих функций есть функция возрастающая и данное уравнение имеет один корень

Подбором находим, что x=4

Действительно, $\sqrt{4}+4^2=2+16=18\backslash sqrt\{4\}+4^2=2+16=18$

Ответ: 4

б) $x^3+5x=6x^3+5x=6$

Функция $y=x^{3}y=x^3$ возрастающая, функция $y=5xy=5x$ возрастающая. Сумма двух возрастающих функций есть функция возрастающая. Значит, уравнение имеет один корень. Подбором находим, что x=1

Проверим: $1^3+5·1=1+5=61^3+5\; \backslash cdot\; 1=1+5=6$

Ответ: 1

а) $vx + x? = 18$

Сначала определим область допустимых значений (ОДЗ) для переменной $x$. Поскольку в уравнении присутствует квадратный корень, подкоренное выражение должно быть неотрицательным: $x ? 0$.

Рассмотрим функцию $f(x) = vx + x?$, которая находится в левой части уравнения. Эта функция определена для всех $x ? 0$. Функция $y_1 = vx$ является возрастающей на своей области определения ($x ? 0$). Функция $y_2 = x?$ также является возрастающей на промежутке $[0, +?)$. Сумма двух возрастающих на одном и том же промежутке функций также является возрастающей функцией. Следовательно, функция $f(x) = vx + x?$ строго возрастает при $x ? 0$.

Если функция строго монотонна, то любое своё значение она принимает ровно один раз. Это означает, что уравнение $f(x) = 18$ может иметь не более одного решения.

Попробуем найти этот корень методом подбора, проверяя небольшие целые значения $x$, которые являются точными квадратами.
Проверим значение $x = 4$:
$v4 + 4? = 2 + 16 = 18$.

Равенство $18 = 18$ выполняется. Следовательно, $x = 4$ является корнем уравнения. Поскольку мы установили, что решение единственное, других корней у уравнения нет.

Ответ: $x = 4$.

б) $x? + 5x = 6$

Рассмотрим функцию $f(x) = x? + 5x$. Область определения этой функции — все действительные числа ($x ? R$). Уравнение можно записать в виде $f(x) = 6$.

Для анализа поведения функции найдем её производную:
$f'(x) = (x? + 5x)' = 3x? + 5$.

Выражение $x?$ всегда неотрицательно ($x? ? 0$), поэтому $3x? ? 0$. Отсюда следует, что производная $f'(x) = 3x? + 5 ? 5$. Так как $f'(x) > 0$ для всех значений $x$, функция $f(x) = x? + 5x$ является строго возрастающей на всей числовой прямой.

Как и в предыдущем случае, строго возрастающая функция принимает каждое своё значение только один раз. Это значит, что уравнение $f(x) = 6$ имеет не более одного корня.

Найдем этот корень методом подбора. Проверим $x = 1$:
$1? + 5 \cdot 1 = 1 + 5 = 6$.

Равенство $6 = 6$ верно, значит $x = 1$ — это корень уравнения. Так как корень единственный, это и есть решение.

Альтернативный способ:
Перенесем все члены в одну сторону: $x? + 5x - 6 = 0$.
Мы уже подобрали корень $x=1$. Это значит, что многочлен $x? + 5x - 6$ делится на $(x - 1)$ без остатка. Выполним разложение на множители:
$x? - x? + x? - x + 6x - 6 = 0$
$x?(x - 1) + x(x - 1) + 6(x - 1) = 0$
$(x - 1)(x? + x + 6) = 0$
Произведение равно нулю, если один из множителей равен нулю:
1) $x - 1 = 0 \implies x = 1$.
2) $x? + x + 6 = 0$. Найдем дискриминант: $D = b? - 4ac = 1? - 4 \cdot 1 \cdot 6 = 1 - 24 = -23$.
Поскольку $D < 0$, квадратное уравнение не имеет действительных корней.
Таким образом, единственным решением является $x=1$.

Ответ: $x = 1$.