Номер 1160, страница 259 - гдз по алгебре 8 класс учебник Макарычев, Миндюк

К параграфу 14. Дополнительные упражнения к главе V. Глава 5. Функции - номер 1160, страница 259.

1160. При каких значениях a функция у = (a – 2)x + 3:

а) является возрастающей;

б) является убывающей;

в) не является ни возрастающей, ни убывающей?

y=(a-2)x+3

a) a-2>0; a>2

б) a-2<0; a<2

в) a-2=0; a=2

Данная функция $y = (a - 2)x + 3$ является линейной функцией вида $y = kx + b$. Её характер монотонности (возрастание или убывание) полностью определяется знаком углового коэффициента $k$, который в данном случае равен $a - 2$.

а) является возрастающей;

Линейная функция является возрастающей, если её угловой коэффициент $k$ больше нуля. Для данной функции это условие записывается в виде неравенства:

$k = a - 2 > 0$

Решим это неравенство относительно $a$:

$a > 2$

Следовательно, функция является возрастающей при всех значениях $a$, которые больше 2.

Ответ: при $a > 2$.

б) является убывающей;

Линейная функция является убывающей, если её угловой коэффициент $k$ меньше нуля. Для данной функции это условие записывается в виде неравенства:

$k = a - 2 < 0$

Решим это неравенство относительно $a$:

$a < 2$

Следовательно, функция является убывающей при всех значениях $a$, которые меньше 2.

Ответ: при $a < 2$.

в) не является ни возрастающей, ни убывающей?

Функция не является ни возрастающей, ни убывающей в том случае, если она является постоянной (константой). Для линейной функции это означает, что её угловой коэффициент $k$ равен нулю. В этом случае график функции представляет собой горизонтальную прямую, параллельную оси абсцисс.

Приравняем угловой коэффициент к нулю:

$k = a - 2 = 0$

Решим это уравнение относительно $a$:

$a = 2$

При $a = 2$ функция принимает вид $y = (2 - 2)x + 3$, что упрощается до $y = 3$. Это постоянная функция.

Ответ: при $a = 2$.